培优提升平面几何7

1、第四讲平面几何部分【例1】如图所示， 已知平行四边形ABCD交 EC 于 M ，求BMG 的面积的面积是1，E 、F是 AB 、 AD 的中点，BFAFDEHMGBCIAFDE MHGBC【解析】解法一：由题意可得， E、 F 是 AB、 AD的中点，得 EF/BD ，而FD: BC FH: HC1:，2EB :CDBG :GD1:2所以CH :CF GH :EF2: 3，并得G、H是BD的三等分点，所以BG GH ，所以BG :EFBM :MF2: 3，所以BM2 BF，11115S BFDS ABD2S ABCD4；22121211又因为 BG1S BMGBD ，所以3S BFD35430

2、35解法二：延长 CE 交 DA 于 I ，如右图，可得， AI : BCAE:EB1:1，从而可以确定 M 的点的位置，BM: MFB C:IF2 :，3 BM2BF，BG1鸟头定理 ) ，5BD (3可得 S BMG21S BDF211153534S ABCD30【例2】 如图， ABCD 为正方形， AM NBDE FC1cm 且 MN2 cm ，请问四边形PQRS 的面积为多少？DEFCDEFCRRSQSQPPAMNBAMNB【解析】 (法1)由 AB / /CD ，有 MPPC ，所以 PC2PM ，又 MQMB ，所以MNDCQCECMQ QC1MC ，所以 PQ1MC1MC1MC

3、 ，所以 SSPQR 占 SAMCF 的 1 ，22366所以 SSPQR11(1 12)2 (cm 2 ) 63(法 2 ) 如图，连结 AE ，则 S ABE14482，2( cm )而 RBER ，所以 RBAB2，SABR2S ABE2816 ( cm 2 ) ABEFEFEF333而SMBQS ANS13413( cm2 ) ，因为 MNMP ，22DCPC所以 MP1MC ，则 S MNP12 414 ( cm2 ) ，阴影部分面积等于3233S ABR S ANSS MBQS MNP163342 ( cm2 ) 333【例3】 如右图，三角形ABC 中， BD : DC4:9，C

4、E :EA4:3，求 AF:FBAFOEBDC【解析】 根据燕尾定理得AOB:AOCBD:CD4:912: 27SSS AOB :S BOCAE :CE3: 412:16（都有 AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数）所以 S AOC : S BOC27:16AF : FB【点评】 本题关键是把 AOB 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜， 如果能掌握它的转化本质， 我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC 中， BD:DC3:4， AE:CE5:6，求 AF :FB .AFOEBDC【解析】 根据燕尾定理得 S AOB : S AOC

5、BD :CD3: 415: 20S AOB : S BOCAE:CE5: 615:18（都有 AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数）所以 S AOC : S BOC20:1810:9AF : FB【巩固】如右图，三角形ABC 中， BD : DC2:3， EA: CE5: 4，求 AF :FB .AFOEBDC【解析】 根据燕尾定理得 S AOB : S AOCBD :CD2:310 :15S AOB : S BOCAE:CE5: 410 :8（都有 AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数）所以 S AOC : S BOC15:8AF : FB【点评】 本题关键是把 AOB 的面积统一，这种

6、找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜， 如果能掌握它的转化本质， 我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例4】如右图，三角形ABC 中， AF : FBBD : DCCE : AE面积是 1 ，则三角形ABE 的面积为 _，三角形AGE角形 GHI 的面积为 _AAEEFGFGHIHIBDCBD【分析】 连接 AH 、 BI、CG由于CE:AE3: 2，所以 AE2AC，故 SABE2S ABC55根据燕尾定理，S ACG :S ABGCD :BD2:3，SBCG :SABGS ACG :S ABG :S BCG4: 6:9 ，则 S ACG4 ， SBCG9 ；1919那么

7、S AGE2S AGC248 ；5519953 : 2 ，且三角形 ABC 的的面积为 _，三C2 ；5CE :EA3: 2 ，所以同样分析可得9， 则E G:E H: SS4，S ACHAC GA CH19EG :EBS ACG :S ACB4:19，所以 EG: GH:H B 4:5:，1同样分析可得AG: GI: ID10 : 5，:所以 S BIE5 SBAE521，SGHI5SBIE511 1010551919519【巩固】 如右图，三角形ABC中， AF :FB BD:DC CE:AE3 : 2，且三角形 GHI 的面积是 1 ，求三角形ABC 的面积AAFHEFHEIGIGBDC

8、BDC【解析】 连接 BG， S AGC6 份根据燕尾定理，S AGC : SBGCAF :FB3: 26:4，S ABG : S AGCBD :DC3: 29 :6得 S BGC4( 份)， SABG9( 份) ，则 SABC19 ( 份) ，因此 S AGC6 ,S ABC19同理连接 AI 、 CH 得 S ABH6, S BIC6,所以 S GHI196661S ABC19S ABC19S ABC1919三角形 GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是 19【巩固】如图，ABC 中 BD2DA ， CE2EB ， AF2 FC ，那么ABC 的面积是阴影三角形面积的倍AADGDG

9、HFHFIIBECBEC【分析】 如图，连接 AI 根据燕尾定理，S BCI :S ACIBD:AD2:1 ， S BCI:SABICF:AF1: 2，所以， S ACI : S BCI:SABI1:2:4，那么， S BCI2S ABC224SABC17同理可知ACG 和ABH 的面积也都等于ABC 面积的2 ，所以阴影三角形的面21 ，所以7积等于ABC 面积的13ABC 的面积是阴影三角形面积的7 倍77【巩固】如图在 ABC 中， DCEAFB1 GHI 的面积的值, 求 的面积DBECFA2ABCAAEEHHFGFGIIBDCBDC【解析】 连接 BG,设 1 份，根据燕尾定理S B

10、GCS AGC : S BGC AF : FB2:1 , S ABG : S AGCBD : DC 2 :1 ,得 SAGC2(份)，S ABG4(份),则 SABC7 ( 份) ，因此 S AGC2,同理连接 AI、 CH 得S ABC7S ABH2S BIC2S GHI72 221S ABC7,所以77S ABC7S ABC【点评】 如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【例5】 如图，三角形 ABC 的面积是1， BDDEEC ，CFF

11、GGA ，三角形 ABC 被分成 9 部分，请写出这9 部分的面积各是多少?AAGGQPFFMNBDECBDEC【解析】 设 BG 与 AD 交于点 P，BG 与 AE 交于点 Q， BF 与 AD 交于点 M， BF 与 AE 交于点 N连接 CP， CQ，CM ， CN根据燕尾定理，S ABP :S CBPAG :GC1: 2 ， SABP : S ACPBD:CD1:2，设1(份)，则1225(份)，所以1S ABPS ABCSABP521 , 而 SABG1213 ，同理可得， SABQ, S ABN，所以 SAPQ723753 5S AQG121 3721311239同理， S BP

12、MS BDM,所以 S四边形 PQMN，3521273570S四边形 MNED1395 , S四边形 NFCE1151 ,3357042321426S四边形 GFNQ1115321642【巩固】如图，ABC 的面积为1，点 D 、 E 是 BC 边的三等分点，点F、G是AC边的三等分点，那么四边形JKIH的面积是多少？CCFJDFDJGEGEKHKIHIABAB【解析】连接CK 、 CI 、CJ 根据燕尾定理， S ACK : S ABK CD : BD1:2，SABK :SCBKAG :CG1:2，所以 SACK :SABK :SCBK1: 2: 4，那么 S ACK1141，SAGK1SACK1 27321类似分析可得 S AGI