《2.3.1数乘向量》导学案1

1、231数乘向量导学案1课程学习目标1. 掌握实数与向量积的定义及几何意义.2. 了解数乘运算的运算律，理解向量共线的条件3. 了解向量的线性运算及其几何意义4. 掌握向量共线的判定定理和性质定理，并能熟练运用定理解决向量共线问题课程导学建议重点：向量数乘的定义及几何意义，向量数乘的运算律，共线向量定理难点:实数与向量积的几何意义的理解第一层级：知识记忆与理解知识体系梳理创设情境一条细绳横贯东西，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，若蚂蚁从点O向正东方向运动一秒钟的位移对应的向量为 a，在图中作出同一方向上3秒钟的位移对应的向量，你能用式子表示吗？它是数量还是向量？蚂蚁向西运动3秒钟的位移对应的向量

2、又怎样表示？知识导学问题1:数乘向量我们规定实数 入与向量a的积是一个向量，记作入a ，这种运算叫作向量的数乘.问题2:数乘向量的性质入a的长度和方向规定如下：(1) I 入 a|=| 入 |a|;(2) 当入0时，入a的方向与向量a的方向相同；当 入0时，入a的方向与向量a的方向相 反；当入=0或a=0时，入a=0,且方向任意.问题3:设入，为实数，a, b为任意向量则有：(1) 入(a a)=(入卩)a ;(2) (入 + 卩)a= 入 a+ a a ;(3) 入(a+b)=入 a+ 入 b.问题4:向量共线的定理向量共线的判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数入，使得 bi a ，则

3、向量b与非零向量a共线.向量共线的性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在唯一一个 实数入，使得bi a.知识链接向量的数乘运算，其实是加法运算的推广及简化，与加法、减法统称为线性运算，共线向量的定理主要应用于证明点共线或平行等几何性质，且与后续知识联系紧密基础学习交流1. 设入，卩 R,则下列说法不正确的是().A 入(1 a) = 3 (入 a)B.(入-1) a=入 a- i aC 入(a-b) = X a-入 bD入a(入丰0)的方向与向量a的方向相同【解析】由向量数乘的运算律知A B、C均正确，当入0时，X a的方向与a的方向相反，故不正确.【答案】D2. 已知ei与e2不共线，则

4、下列向量a与b不共线的是().Aa=3ei, b=-2eiB.a=ei+e2, b=-ei+e2Ca二 3ei+e2, b=-9ei+3e2Da=-e i+2e2, b=2ei- 4e2【解析】由向量共线的判定定理知：对于A,存在实数使得b=-a，故共线；对于B,不存在实数X，使得b=Xa;对于C,存在实数使得b=3a;对于D,存在实数使得b=-2a.【答案】B3. 化简:(i)2 x (-3a) =.(2)2( a+b)-3(2 a-b)=.【解析】 原式=2 x (-3) a=-6a.(2)原式=2a+2b-(3 x 2) a+3b=-4a+5b.【答案】 -6a (2) -4a+5b4.

5、 设ei、e2是两个不共线的向量，已知a=3ei+5e2, b=me3e2，且a与b共线，求 m勺值.【解析】因为a与b共线，所以存在非零实数 X，使得b=Xa,即me_3e2= X (3ei+5e2)，得 (m-3 X ) ei- (3+5 X ) e2=0,所以解得入=-,m=-,故m勺值为-.第二层级：思维探索与创新重难点探究探究一数乘向量勺定义及运算律化简下列各式 :(1)5(3 a-2b) +4(2 a+3b) ；(2)( x-y)( a+b) - ( x+y)( a-b).【方法指导】按照数乘向量勺定义及运算律进行运算 .【解析】 原式=15a-10b+8a+12b=(15+8)a

6、-(10-12)b=23a+2b. 原式=(x-y ) a+( x-y ) b-(x+y) a+( x+y) b=( x-y)-(x+y) a+( x-y)+(x+y) b=-2ya+2xb.【小结】 对于实数与向量勺积勺有关运算， 只需要按照实数与向量积所满足勺运算律进行求解 .探究二利用向量共线定理解决三点共线问题已知非零向量a, b不共线，如果=a+b, =2a+8b, =3( a-b)，求证：A, B, D三点共线.【方法指导】要证明 A，B, D三点共线，只需利用向量共线的基本定理，证明与共线即可.【解析】 =a+b, =+=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5,与共线，又t

7、ABf BD有公共点B,A, B, D三点共线.【小结】 利用向量证明三点共线问题， 只要考虑使用共线向量的基本定理， 即通过用三 个点构造向量， 来得到向量间的关系，通过它们之间的运算， 得到共线的条件，从而使问题 得以证明 .探究三共线向量性质的综合应用已知ei丰0,入 R, a=e +入e?, b=2ei，在何条件下，向量 a与b共线.【方法指导】由共线向量的条件可知，若向量a与b共线，必有b=u a,其中为实数, 列方程组即可求入.【解析】设b=卩a,则2ei=u (e计入閲, ( 1 - 2) ei+ 1 入 e2=0,解得故a与b共线的条件是入=0.问题向量ei与e2定不共线吗？结

8、论向量ei与e2不一定不共线，故要考虑ei / e.于是，正确解答如下 :(1) 当ei/e2时，a=ei+入 e2，不妨设 e=iei, a=(1+ 入 i)ei,b=2ei，故有a与b共线.(2) 当 ei, e2不共线时，设 b=i a,则 2ei=i (ei+ 入 e), ( i -2) ei+1 入 e2=0,解得故a与b共线的条件是入=0.综合(i)(2)可知，向量a与b共线的条件是ei / e2或入=0.思维拓展应用应用一化简:(4 a-3b)+b-(6a-7b) .【解析】原式 =(4a-3b+b-a+b)=(4 -)a+(-3+)b=(a-b)=a-b.应用二设ei, e2是

9、两个不共线向量，已知 =2ei+ke2, =ei+3e2, =2ei-e2,若A, B, D三点共线，求k的值.【解析】 =-=(2ei-e2)-(ei+3e2)=ei-4e2,A, B, D三点共线，共线，存在入使=入，即 2ei+ke2 =入(ei-4e2), k=-8.应用三证明平面内四点O A、B、C不共线，向量、的终点 A B、C共线，则存在实数 入、i , 且入+i =1，使得=入+1 ,反之也成立.【解析】若、的终点 A B C共线，则存在实数 m使得=m.又 =- ，=- ，所以 -=m(-) ，即 =-m+(i+m).令入=-m, i =1+m则存在实数入、i ,且入+ i

10、=1，使得=入+i .反之，若=入+ 1，其中入+卩=1 ,则口 =1-入，=入+(1 -入)，从而-=入(-)，即=入，且与有公共点B所以A B C三点共线，即向量、的终点在一条直线上 第三层级：技能应用与拓展基础智能检测1. 如图，皿雇厶ABC勺中位线，贝U ().A=B.=C=D=【解析】=-=-=(-)三【答案】B2. 已知a, b是两个非零向量，则以下命题中，正确的个数是 (). a的方向与a的方向相同，且a的模是a的模的倍；2a的方向与-4a的方向相反，且2a的模是-4a的模的；a-b与-(b-a)是一对相反向量.A 0B. 1C. 2D. 3【解析】对于，t>0,.a的方向

11、与a的方向相同.又v |a|=| a| ,.a的模是a的模的 倍，故正确.对于，v2>0, 2a的方向与a的方向相同，且|2a|=2|a|，又v-4<0, -4a 的方向与a的方向相反，且|-4a|=4|a|，二2a的方向与-4a的方向相反，且2a的模是-4a的模 的，故正确.对于，va-b与b-a是相反向量，.a-b与-(b-a)是相等的向量，因此不正确 .【答案】C3. 已知a, b是平面内两个不共线的向量，实数入，1满足3入a+(8- i) b=(4 1 +1)a+2入b,贝 y 入=, i =.【解析】由平面向量的基本定理可知，解得【答案】324. 已知非零向量8, e2不

12、共线，欲使ke1+Q与e1+ke2共线，试确定实数 k的值.【解析】因为kei+e2与ei+ke2共线，所以存在非零实数 入使kei+e2 =入（e计ke2）, 则（k-入）ei=（入 k-1） e2.由于ei, e2不共线， 因此，只能有解得k=入=± 1.全新视角拓展（2009年北京卷）已知向量a, b不共线，c=ka+b（k R）, d=a-b.如果c / d,那么（）.Ak= 1且c与 d同向B .k= 1且c与 d反向Ck=- 1且c与d同向Dk=- 1且c与d反向【解析】Vc / d,二 d=c,即 a-b=入（ka+b），又 a, b不共线，解得d=-c , Ac与d反

13、向.【答案】D第四层级：总结评价与反思思维导图构建數乘时fi学习体验分享固学案基础达标检测1. 已知向量a=ei- 2e2, b=2ei+e2,其中ei、e2不共线，则a+b与 c=6ei-2e2的关系是().A不共线B.共线C.相等D.无法确定【解析】由 a+b=e-2e2+2ei+Q=3ei-e2, c=6ei- 2e2=2(3ei-e 2) =2( a+b)，根据向量共线的性 质定理可知，它们共线.【答案】B2. 设a与 b是两个不共线的向量，且 a+入b与-(b-2a)共线，则实数入的值为().A- B. C.- 2D 2【解析】向量-(b-2a)=2a-b与a+入b共线，由向量共线定

14、理可知，存在实数，使得2a-b=(a+ 入 b)，解得 入=-.【答案】A3. 已知实数m n和向量a、b,给出下列命题：若ma=m,则a=b；若ma=mb则a=b或m=0；若ma=naa*0)，贝U m=n其中正确命题的序- 号是 .【解析】比较易知正确，显然正确.【答案】4. 化简:(a-b) - (2 a+4b) +(2 a+13b).【解析】原式=a-b-a-b+a+b=(-+) a+( -+ ) b=0 a+0 b=0+0=0.基础技能检测5.已知入，1 R,则在以下命题中，正确命题的个数是(). 入<0, a*0,入a与a的方向一定相反； 入>0, a*0,入a与a的方

15、向一定相同； 入*0, a*0,入a与a是共线向量； 入1 >0, a*0,入a与1 a的方向一定相同； 入1 <0, a*0,入a与i a的方向一定相反.A2 B. 3 C.4 D. 5【解析】要判断 入a与a的方向，必需弄清楚 入的符号，再根据数乘向量的定义判断.根据实数入与向量a的积入a的方向规定，易知 正确.对于命题，当入1 >0时，入与1同为正数或同为负数，所以 入a与1 a或者都与a同向，或者都与a反向，从而入a与1 a同向, 命题正确对于命题，当入卩0时，入与卩异号，则入a与卩a个与a同向，一个与a反 向，因而入a与卩a的方向一定相反，命题 正确.【答案】D6.

16、 已知非零向量a、b,且=a+2b, =-5a+6b，=7a-2b,则下列各组点中一定共线的是 （）.AA、B CBB、C、DC.A、B DD.A、C、D【解析】/ =+=（-5a+6b）+（7a-2b）=2a+4b=2（a+2b）=2, "、B、D三点共线.【答案】C7. 已知 ABC中/ A的平分线AE与 BC相交于点E,那么=入，请你填入一个 入可能的取值_（答案不唯一，填一个你认为正确的即可）.【解析】由向量、方向相反，故有入0,又|入|=1,所以入-1，只需填入一个比-1小的数即可.【解析】-2（只需填入一个比-1小的数）8.已知a, b是不共线向量，若 =a+2b, =2a+4b, =3a+6b，求证：A B, C三点共线.【解析】/=-=a+2b, =-=2a+4b,=2,又AC和ABt公共点A, A, B, C三点共线.技能拓展训练9. 如图，在厶ABC中，点O是BC的中点.过点0的直线分别交直线 AB AC于不同的两点 M