初中数学动态几何问题

1、学习资料收集于网络，仅供参考中考数学专题动态几何问题第一部分真题精讲【例 1】如图，在梯形 ABCD 中， AD BC ， AD3 ， DC5 ， BC10 ，梯形的高为4 动点 M 从 B 点出发沿线段BC 以每秒 2 个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从 C 点出发沿线段CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点D 运动设运动的时间为t （秒）ADNBMC（ 1）当 MN AB 时，求 t 的值；（ 2）试探究： t 为何值时， MNC 为等腰三角形【思路分析 1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要

2、找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M ，N 是在动，意味着BM,MC 以及 DN,NC 都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件 DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定 MN/AB 时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。【解析】解：（ 1）由题意知，当M 、 N 运动到 t 秒时，如图 ，过 D 作 DE AB 交 BC 于 E 点，则四边形 ABED 是平行四边形ADNBEMC AB DE ， AB MN DEMN （根据第一

3、讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN 放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） MCNC （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键）ECCD 102tt 解得 t50 103517【思路分析2】第二问失分也是最严重的， 很多同学看到等腰三角形， 理所当然以为是 MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解【解析】（ 2）分三种情况讨论：学习资料学习资料收集于网络，仅供参考 当MNNC 时，如图 作 NFB

4、C交BC于 F ，则有 MC2FC 即（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质） sinCDF4 ，CD5 cosC3 ，5 102t23t ，5解得 t25 8ADNBMFC当MNMC时，如图 ，过M作MHCD于H则CN 2CH， t2 10 2t3 5 t60 17ADNHBMC当MCCN时，则 102tt t10 3综上所述，当 t25 、 60 或 10 时， MNC 为等腰三角形8173【例 2】在 ABC中， ACB=45o点以 AD 为一边且在AD 的右侧作正方形D（与点ADEFB、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD，（ 1）如果 AB=AC如图，且点系，并证明你的结论（

5、 2）如果 AB AC，如图，且点D 在线段D 在线段BC 上运动试判断线段CF 与 BD 之间的位置关BC 上运动（ 1）中结论是否成立，为什么？（ 3）若正方形 ADEF的边 DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设 AC 42BC3，CD= x ，求线段CP 的长（用含 x 的式子表示）学习资料学习资料收集于网络，仅供参考【思路分析 1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个 “静止点” ，所以需要我们去分析由D 运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。【解

6、析】：（ 1）结论： CF与 BD 位置关系是垂直；证明如下：AB=AC ， ACB=45o， ABC=45o由正方形 ADEF得 AD=AF ， DAF= BAC =90o， DAB= FAC， DAB FAC ， ACF= ABD BCF= ACB+ ACF= 90o即 CF BD【思路分析 2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。A（ 2） CFBD(1)中结论成立F理由是：过点 A 作 AG AC 交 BC 于点 G， AC=AG可证： GAD CAF ACF=AGD

7、=45oBGDC BCF=ACB+ ACF= 90o即 CF BDE【思路分析 3】这一问有点棘手， D 在 BC之间运动和它在BC 延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X 还是 4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.（ 3）过点 A 作 AQBC交 CB的延长线于点 Q，点 D 在线段 BC 上运动时， BCA=45o，可求出 AQ= CQ=4DQ=4-x，易证 AQD DCP， CPCD ， CPx ，DQAQ4 x4x2x CP4点 D 在线段 BC延长线上运动时， BCA=45o，可求出 AQ= CQ=4，DQ=4+x过A作

8、AGAC 交 CB延长线于点 G，则 AGDACF CF BD， AQD DCP， CPCD ， CPx ，DQAQ4 x4CPx2x 4【例 3】已知如图， 在梯形ABCD中，AD BC，AD2，BC4， M是AD的中点，点 MBC 是等边三角形学习资料学习资料收集于网络，仅供参考（ 1）求证：梯形 ABCD 是等腰梯形；（2）动点 P、Q分别在线段 BC和MC 上运动，且MPQ 60保持不变设PC x， MQ求y与 x 的函数关系式；y，（ 3）在（ 2）中，当 y 取最小值时，判断 PQC 的形状，并说明理由MAD60QBCP【思路分析 1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算

9、太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例 1 一样是双动点问题， 所以就需要研究在P,Q 运动过程中什么东西是不变的。题目给定MPQ=60°， 这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来 .因为最终求两条线段的关系 ,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系 .怎么证相似三角形呢 ? 当然是利用角度咯 .于是就有了思路 .【解析】（ 1）证明：MBC 是等边三角形 MB MC， MBC MCB 60 M 是 AD中点 AM MD ADBC AMB MBC 60 ， DMC MCB 60 AM

10、B DMC AB DC梯形 ABCD 是等腰梯形（ 2）解：在等边 MBC 中， MBMCBC 4，MBC MCB60 ， MPQ60BMP BPM BPM QPC120,大家要仔细揣(这个角度传递非常重要摩 ) BMP QPC BMP CQP PCCQBMBP PC x， MQ y BP 4 x， QC 4 y x 4 y y1 x2x 44 4x4(设元以后得出比例关系 ,轻松化成二次函数的样子 )【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很学习资料学习资料收集于网络，仅供参考轻易就可以求出当X 取对称轴的值时Y 有最小值。接下来就变成了“给定PC=2，

11、求 PQC形状”的问题了。由已知的BC=4，自然看出P 是中点，于是问题轻松求解。（ 3）解： PQC 为直角三角形 y1 x2324当 y 取最小值时，xPC 2 P是 BC的中点， MPBC，而 MPQ60 ，CPQ30 ，PQC90以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢 ?接下来我们看另外两道题 .【例 4】已知正方形ABCD 中， E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EFB

12、D 交 BC 于 F ，连接 DF ， G 为 DF 中点，连接 EG，CG （ 1）直接写出线段 EG 与 CG 的数量关系；（ 2）将图 1 中BEF 绕 B 点逆时针旋转45 ，如图 2 所示，取 DF 中点 G ，连接 EG，CG ，你在（ 1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明（ 3）将图 1 中BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图3 所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）ADADAD GFGEEEFBFCBC BC图 2图 3图 1【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45°到旋转任意角度，要求考生讨论

13、其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边学习资料学习资料收集于网络，仅供参考中线自然相等。第二问将 BEF 旋转 45°之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是 G 是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接 AG 之后，抛开其他条件， 单看 G 点所在的四边形 ADFE，我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过 G 点做 AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。（ 1） CG EG（ 2）（1）中结论没有发生变化，即 CG EG 证明：连接AG ，过

14、 G 点作 MNAD 于 M ，与 EF 的延长线交于N 点在 DAG 与 DCG 中， ADCD， ADGCDG ，DGDG ， DAG DCG AG CG在 DMG 与 FNG 中，DGMFGN ，FGDG ， MDGNFG ， DMG FNG MG NG在矩形 AENM 中， AMEN在 Rt AMG与 Rt ENG 中， AMEN，MGNG ， AMG ENG AG EG EG CGMADGEFNBC图2【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果 BEF 任意旋转，学习资料学习资料收集于

15、网络，仅供参考哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考。建议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在BEF的旋转过程中，始终不变的依然是G点是 FD的中点。可以延长一倍EG到 H，从而构造一个和EFG全等的三角形，利用BE=EF这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形 EBC和三角形 CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了。（ 3）（ 1）中的结论仍然成立ADGFEBC图3【例 5】已知正方形 ABCD的边长为 6cm，点 E 是射线 BC上的一个动点，连接 AE交射线 DC于点 F，将 ABE沿直线 AE翻折，点

16、 B 落在点 B处（ 1）当BE=1 时， CF=_cm，CE（ 2）当 BE =2 时，求 sin DAB的值；CE（ 3）当 BE = x 时（点 C 与点 E 不重合），请写出 ABE翻折后与正方形ABCD公共部CE分的面积 y 与 x 的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）ABDC【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折（就是轴对称）也是一大热点。这一题是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为1，第二问比例为 2，第三问比例任意，所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化。一般说来，翻折中，角，边都是不变

17、的，所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。尤其注意的是，本题中给定的比例都是有两重情况的，E 在 BC 上和 E 在延长线上都是可能的，所以需要大家分类讨论，不要遗漏。学习资料学习资料收集于网络，仅供参考【解析】（ 1）CF= 6 cm； （延长之后一眼看出， EAZY）（ 2） 如图 1，当点 E 在 BC 上时，延长 AB交 DC于点 M ， AB CF， ABE FCE，BEAB CEFC BE =2， CF=3CE AB CF， BAE= F又 BAE=BAE， BAE= FMA=MF 设 MA=MF=k ，则 MC=k - 3， DM=9

18、- k在 RtADM 中，由勾股定理得：k2=(9- k)2+62， 解得k=MA= 13 DM= 5 （设元求解是这类题型中比较重要的方22法） sinDAB= DM5 ；AM13如图 2，当点 E 在 BC延长线上时，延长AD交 B于E点 N，同可得 NA=NE设 NA=NE=m，则 BN=12- m在 RtABN 中，由勾股定理，得m2 =(12- m)2+62， 解得m=AN= 15 BN= 9 22 sinDAB= B N3 AN5（ 3）当点 E 在 BC 上时， y= 18x；图 2x 1（所求 A BE 的面积即为 ABE 的面积，再由相似表示出边长）当点 E在 BC延长线上时

19、， y= 18x18 x【总结】通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出, 所以难度不言而喻, 但是希望考生拿到题以后不要慌张, 因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。只要条分缕析, 一个个将条件抽出来, 将大问题化成若干个小问题去解决, 就很轻松了 . 为更好的帮助考生, 笔者总结这种问题的一般思路如下：第一、仔细读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的。针对运动的量，要分析它是如何运动的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨论。针对不动的量，要分析它们和动量之间可能有什么关

20、系，如何建立这种关系。学习资料学习资料收集于网络，仅供参考第二、画出图形，进行分析，尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系。如果没有静止状态，通过比例，相等等关系建立变量间的函数关系来研究。第三、做题过程中时刻注意分类讨论，不同的情况下题目是否有不同的表现，很多同学丢分就丢在没有讨论，只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式，没有想到另外的方式，如本讲例 5 当中的比例关系意味着两种不一样的状况，是否能想到就成了关键。第二部分发散思考【思考 1】已知：如图（ 1），射线 AM / 射线 BN ， AB 是它们的公垂线，点D、C分别在 AM 、 BN 上运动（点 D 与点 A

21、不重合、点 C 与点 B 不重合）， E 是 AB 边上的动点（点E与ABDEEC，且AD DEAB a、 不重合），在运动过程中始终保持（ 1）求证：ADE BEC ；（ 2）如图（ 2），当点 E 为 AB 边的中点时，求证：ADBCCD ；（ 3）设 AEm ，请探究： BEC 的周长是否与m 值有关？若有关，请用含有m 的代数式表示BEC 的周长；若无关，请说明理由第 25 题（1）第 25题（ 2）【思路分析】本题动点较多，并且是以和的形式给出长度。思考较为不易，但是图中有多个直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。第三问计算周长，要将周长的三条线段分别转化在一

22、类关系当中，看是否为定值，如果是关于 M 的函数，那么就是有关，如果是一个定值，那么就无关，于是就可以得出结论了。【思考 2】 ABC 是等边三角形，P 为平面内的一个动点，BP=BA，若 0 PBC 180°，且 PBC平分线上的一点D 满足 DB=DA，（ 1）当 BP 与 BA 重合时（如图1）， BPD=°；（ 2）当 BP 在 ABC的内部时（如图2），求 BPD的度数；（ 3）当 BP 在 ABC的外部时，请你直接写出BPD的度数，并画出相应的图形学习资料学习资料收集于网络，仅供参考【思路分析】本题中，和动点 P 相关的动量有 PBC，以及 D 点的位置，但是不

23、动的量就是 BD 是平分线并且 DB=DA，从这几条出发，可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。事实上， P 点的轨迹就是以 B 为圆心， BA 为半径的一个圆，那 D 点是什么呢？留给大家思考一下 【思考 3】如图：已知，四边形ABCD中， AD/BC， DC BC，已知 AB=5， BC=6，cosB= 3 5点 O 为 BC 边上的一个动点，连结 OD，以 O 为圆心， BO 为半径的 O 分别交边 AB 于点 P，交线段 OD 于点 M ，交射线 BC于点 N，连结 MN （ 1）当 BO=AD时，求 BP 的长；（ 2）点 O 运动的过程中， 是否存在 BP=MN 的情况？若存在，

24、 请求出当 BO 为多长时 BP=MN；若不存在，请说明理由；（ 3）在点 O 运动的过程中，以点 C为圆心， CN 为半径作 C，请直接写出当 C 存在时， O 与 C 的位置关系，以及相应的 C 半径 CN 的取值范围。ADADPMBONC B C （备用图）【思路分析】这道题和其他题目不同点在于本题牵扯到了有关圆的动点问题。在和圆有关的问题当中，时刻不要忘记的就是圆的半径始终相等这一个隐藏的静态条件。本题第一问比较简单，等腰梯形中的计算问题。第二问则需要用设元的方法表示出 MN 和 BP，从而讨论他们的数量关系。第三问的猜想一定要记得分类分情况讨论。【思考 4】在 Y ABCD 中，过点

25、 C 作 CE CD 交 AD 于点 E,将线段 EC绕点 E 逆时针旋转 90o 得到线段 EF(如图 1)（ 1）在图 1 中画图探究：当 P 为射线 CD 上任意一点（P1 不与 C 重合）时，连结 EP1 绕点 E 逆时针旋转 90o 得到线段 EC1.判断直线 FC1 与直线 CD的位置关系，并加以证明；当 P2 为线段 DC的延长线上任意一点时，连结 EP2,将线段 EP2 绕点 E 逆时针旋转90o学习资料学习资料收集于网络，仅供参考得到线段 EC2.判断直线 C1C2 与直线 CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（ 2）若 AD=6,tanB=411 1 = y ，求

26、 y 与 x 之间的函,AE=1,在的条件下，设CP = x ， S3VPFC数关系式，并写出自变量x 的取值范围 .【思路分析】本题是去年中考原题，虽不是压轴，但动点动线一起考出来，难倒了不少同学。事实上就在于如何把握这个旋转 90°的条件。旋转 90°自然就是垂直关系，于是又出现了一堆直角三角形，于是证角，证线就手到擒来了。第二问一样是利用平行关系建立函数式，但是实际过程中很多同学依然忘记分类讨论的思想，漏掉了很多种情况，失分非常可惜。建议大家仔细研究这道中考原题，按照上面总结的一般思路去拆分条件，步步为营的去解答。第三部分思考题解析【思考 1 解析】（ 1）证明：DE

27、EC ，DEC90AEDBEC90 又AB90 ，AEDEDA90 BECEDA ADE BEC （ 2）证明：如图，过点 E 作 EF / BC ，交 CD 于点 F ， E 是 AB 的中点，容易证明 EF1(ADBC) 2在 Rt DEC 中，DFCF ， EF1CD 2第 25题 1(ADBC )1CD22 AD BC CD（ 3）解：AED 的周长AEADDEam ， BEam 设 ADx ，则 DEax 学习资料学习资料收集于网络，仅供参考 A90 ， DE2AE 2AD 2 即 a 22ax x 2m2x 2 xa2m22a由（ 1）知 ADE BEC ，a 2m2ADE 的周长

28、AD2aa mBEC 的周长BEam2a BEC 的周长2a2a ADE 的周长a m BEC 的周长与 m 值无关【思考 2 答案】解：（1） BPD= 30°；（ 2）如图 8，连结 CD解一：点 D 在 PBC的平分线上，1= 2ABC 是等边三角形，BA=BC=AC， ACB= 60°BP=BA，BP=BCBD= BD，PBD CBDBPD= 3- - - - - -3分DB=DA， BC=AC， CD=CD， BCD ACD31ACB3042 BPD =30 °解二：ABC 是等边三角形，BA =BC=ACDB=DA， CD 垂直平分 AB31ACB30

29、42 BP=BA， BP=BC 点 D 在 PBC的平分线上，APB1D342C图 8学习资料学习资料收集于网络，仅供参考 PBD 与 CBD关于 BD 所在直线对称 BPD= 3 BPD =30 °（ 3） BPD= 30°或 150° 图形见图 9、图 10PAAAPD或DBBCBCCD图 9P图 10【思考 3 解析】解：（ 1）过点 A 作 AE BC,在 RtABE 中，由 AB=5， cosB= 3 得 BE=35CD BC， AD/BC，BC=6， AD=EC=BC BE=3当 BO=AD=3 时，在 O 中，过点 O 作 OH AB,则 BH=HPBH39cos B ,BH=35BO5 BP=18 5（ 2）不存在 BP=MN 的情况 -假设 BP=MN 成立， BP 和 MN 为 O 的弦，则必有 BOP= DOC.过 P 作 PQ BC，过点 O 作 OH AB, CD BC，则有 PQO DOC-设 BO=x，则 PO=x,由 BHcosB3 ，得 BH= 3 x ,x556 BP=2BH= x .518x24x BQ=BP × cosB=， PQ