函数恒成立存在性及有解问题

1、实用标准文案函数恒成立存在性问题知识点梳理1、恒成立问题的转化：afx 恒成立afx max ； afx 恒成立afxmin2、能成立问题的转化：afx 能成立afx min ； afx 能成立afx max3、恰成立问题的转化：afx 在 M上恰成立a f xafx 在 M 上恒成立的解集为 Mafx 在 CR M 上恒成立另一转化方法： 若 x D , f ( x)A在 D上恰成立，等价于 f ( x) 在 D上的最小值f min ( x)A ，若 x D , f (x) B在 D上恰成立，则等价于f ( x) 在 D 上的最大值f max ( x) B .4、设函数f x 、 g x ，

2、对任意的 x1a , b ，存在 x2c , d ，使得 f x1g x2 ，则 f min xg min x5、设函数f x 、 g x ，对任意的x1 a , b ，存在 x2c , d ，使得f x1g x2 ，则 f max xgmax x6、设函数f x 、 g x ，存在 x1a , b ，存在 x2c , d ，使得 f x1g x2，则 f max xg min x7、设函数f x 、 g x ，存在 x1a , b ，存在 x2c , d ，使得 f x1g x2，则 f min xg maxx8、若不等式fxg x 在区间 D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数 yfx 和

3、图象在函数yg x图象上方；9、若不等式fxg x 在区间 D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数 yfx 和图象在函数yg x图象下方；例题讲解：题型一、常见方法1、已知函数f()x221，ag ( x)，其中 a0 ， x 0xaxxa 的取值范围；1）对任意 x1,2 ，都有 f ( x)g( x) 恒成立，求实数2）对任意 x11,2, x22,4 ，都有 f ( x1 )g( x2 ) 恒成立，求实数a 的取值范围；2、设函数 h( x)ax b ，对任意 a 1,2 ，都有 h( x)10 在 x 1,1 恒成立，求实数b 的取值范围x241x3 、已知两函数 f (x)x2 ，

4、g( x)m ，对任意 x10,2 ，存在 x21,2 ，使得 f (x1)g x2 ，则实2数 m的取值范围为精彩文档实用标准文案题型二、主参换位法( 已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)1、对于满足p2 的所有实数 p, 求使不等式 x2px1p2x 恒成立的 x 的取值范围。2、已知函数 f ( x) ln( exa)( a为常数）是实数集 R 上的奇函数，函数 g xf (x )sin x 是区间1,1 上的减函数，( ) 求 a 的值； ( ) 若 g( x) t 2t 1在 x1,1 上恒成立，求 t 的取值范围；题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出

5、来）1、当 x1,2 时，不等式x2mx40 恒成立，则 m 的取值范围是.题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法）1、若对任意xR , 不等式 | x |ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 _2、已知函数fxx22kx2 ，在 x1恒有 fxk ，求实数 k 的取值范围。题型五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法若在区间 D上存在实数 x 使不等式 fxA 成立 , 则等价于在区间D 上 fxmaxA ；若在区间 D上存在实数 x 使不等式 fxB 成立 , 则等价于在区间D 上的 fx minB .1、存在实数 x ，使得不等式 x 3 x 1a23a 有解

6、，则实数 a 的取值范围为 _。2、已知函数 f xln x1 ax22x a 0 存在单调递减区间，求a 的取值范围2精彩文档实用标准文案小结：恒成立与有解的区别恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一体。不等式 fxM 对 xI 时恒成立不等式 fxM 对 xI 时有解不等式 fxM 对 xI 时恒成立不等式 fxM 对 xI 时有解fmax ( x) M?， xI 。即 fx 的上界小于或等于M ；fmin ( x)M ?， x I 。 或 fx 的下界小于或等于M ；fmin ( x) M?， xI 。即 fx 的下界大于或等于M

7、；fmax ( x) M ， xI . 。 或 fx 的上界大于或等于M ；课后作业：1、设 a 1，若对于任意的x a,2 a ，都有 ya, a2 满足方程 log a xlog a y 3，这时 a 的取值集合为 （）（ A） a |1 a2（ B） a | a 2（ C） a | 2a3（ D） 2,3xy02、若任意满足xy50 的实数 x , y ，不等式 a( x2y2 )( x y) 2 恒成立，则实数a 的最大值是 _ .y303、不等式 sin 2 x4sin x1a 0 有解，则 a 的取值范围是4、不等式 axx4x在 x0,3 内恒成立，求实数a 的取值范围。5、已知

8、两函数f x7x 228xc ， g x2x 34x240 x 。（ 1）对任意 x3,3 ，都有 fxg x) 成立，求实数 c 的取值范围；（ 2）存在 x3,3，使 fxgx成立，求实数 c 的取值范围；（ 3）对任意 x1 , x23,3 ，都有 fx1g x2，求实数 c 的取值范围；（ 4）存在 x1 , x23,3 ，都有 fx1gx2 ，求实数 c 的取值范围；6、设函数f ( x)1 x3 2ax2 3a2x b (0 a 1, b R) .3（）求函数fx 的单调区间和极值；（）若对任意的x a1, a2, 不等式fxa 成立，求 a 的取值范围。精彩文档实用标准文案7、已

9、知 A、 B、 C 是直线 上的三点，向量 y 2f 1 OB ln x1OC0.OA， OB，OC满足： OA（ 1）求函数 y f(x)的表达式；（ 2）若 x 0，证明： f(x)2x x 2；（ 3）若不等式 1 x 2f x 2m 2 2bm3 时， x1, 1 及 b1 ,1 都恒成立，求实数m的取值范围2q2 ln x ，且 f e qep8、设 f x px2 （ e 为自然对数的底数）xe(I) 求 p 与 q 的关系；(II)若 f x在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；(III)设 g x2ex 0 ，使得 f x 0g x 0 成立 ,求实数 p的取值范围 .，若在

10、 1, e 上至少存在一点x精彩文档实用标准文案函数专题 4：恒成立问题参考答案：题型一、常见方法1、分析： 1）思路、等价转化为函数f (x)g(x)0恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决2 ）思路、对在不同区间内的两个函数简解：（ 1 ）由 x22ax 1a0x( x)x 3x 求导， ( x)2x42x21(2x 2取值范围是 0a23f (x) 和 g( x) 分别求最值，即只需满足( )( )fminx gmax x 即可ax3xx3x的最小值大于a 即可对2x 2成立，只需满足(x)21212xx10，故 ( x) 在 x 1,2min (x)(1)21) 2是增函数，所以

11、 a 的32、分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数以本题为例，实质还是通过函数求最值解决方法 1：化归最值，方法 2：变量分离，()10hmax(x)10；h xb10( ax) 或 ax 2(10 b)x ；x方法 3：变更主元，(a)1axb100 ， a1,2x2简解：方法 1: 对 h( x)g ( x)xbaxb 求导， h(x) 1a(xa)(x a)，xx2x2由此可知， h( x) 在 1,1 上的最大值为 h( 1 ) 与 h(1) 中的较大者44h( 1)104a1b 10b394a，对于任意 a 1 ,2 ，得 b 的取值范围是 b7444h(

12、1)101ab10b9 a24x3 、解析：对任意x10,2，存在 x21,2，使得 f ( x1 )g x21m 在 1,2 上的最小值等价于g( x)21m 不大于 f ( x)x 2 在0,2上的最小值0，既1m0， m1444题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)1、解：不等式即x1 px22x10 , 设 fpx1 px22x1 ，则 fp在 -2,2上恒大于 0，故有：f2 0x24x 3 0x 3或 x 1x1或 x3f 2 0x21 0x 1或 x12、 ( ) 分析：在不等式中出现了两个字母：及 t显然可将视作自变量，则上述问题即可转化为在略解：

13、由 ( ) 知： f ( x) x ， g ( x)x sin x ， g ( x)恒成立，1， g( x) max g( 1)sin1 ，只需, 关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。, 1 内关于 的一次函数大于等于 0 恒成立的问题。 ( )在11， 上单调递减，g ( x)cos x0cosx 在1，1 上sin1 t 2t 1 ，(t 1)t 2sin110 （其中1）恒成2s i n 1 1 0 ( ）1t1 0t1立，由上述结论：可令f( t 1)tt 1 t 2sin1 1 0，t 2tsin1 0， 而, 则t 2 t s i n 1 0t 1 。y恒成立，y|

14、 x |y | x |精彩文档yaxy axx实用标准文案题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）1、当 x1,2 时，不等式 x2mx40 恒成立，则 m 的取值范围是 .解析 : 当 x(1,2) 时，由 x2mx40 得 mx24 . m5 .x题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法）1、解析：对x R , 不等式 | x | ax 恒成立、则由一次函数性质及图像知1 a 1 ，即 1 a 1 。2 、分析：为了使fxk 在 x1,恒成立，构造一个新函数F xfxk ，则把原题转化成左边二次函数在区间1,时恒大于等于0 的问题，再利用二次函数的

15、图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。解：令 F xf x k x22kx 2k ，则 F x当图象与 x 轴无交点满足0 ，即当图象与 x 轴有交点，且在x1,0对 x1,恒成立，而F x 是开口向上的抛物线。4k222k0，解得 2k 1 。时 F x0 ，则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得：0F 10解得 3k2，故由知3 k 1 。2k12小结：若二次函数 yax2bx c a 0 大于0 恒成立，则有a 0 ，同理，若二次函数y ax2bx c a 0 小于 00a0恒成立，则有。若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识0求解。题型五、

16、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法若在区间 D上存在实数x 使不等式fxA 成立 , 则等价于在区间D 上 fx maxA ；若在区间 D上存在实数x 使不等式fxB 成立 , 则等价于在区间D 上的 fx minB .1、解：设 fxx3x1 ，由 fxa23a 有解，a 23af xmin，又 x 3x1x3x14 ， a 2 3 a4 ，解得 a4或 a1 。2、解：因为函数 f x存在单调递减区间，所以f 'x1axax22x1x2x012120,有解 . 即 ax0,能成立 ,设 ux.x2x2x2x121uminx1. 于是 , a1,由 u x11得 ,x2xx1

17、,00,由题设 a 0 , 所以 a 的取值范围是课后作业：1 、 B。解析：由方程log a x log a y3可得 ya3，对于任意的xa,2 a ，可得 a2a3a2 ，依题意得x2xaa2a 2 。2a2a225a12y32、 答案：a(x 2y2 ) ( xy)xy ，由线性规划可得1。解析：由不等式2 可得。13yxx23、解：原不等式有解a sin 2 x4sin x1 sin x231sin x22 ，所以 a2。21 有解，而 sin x 23min精彩文档实用标准文案4、解：画出两个凼数yax 和 yx4x在 x0,3yyax上的图象如图知当x3 时 y3 ， a33当

18、a3 ， x0,3时总有 axx 4x所以 a303x32 x33x23x3,35 、解析：（ 1 ）设 h xg xfx12x c ，问题转化为时， h x0恒成立，故 hminx0 。令h x6 x26x 126 x1x20 ，得 x1或 2 。由导数知识，可知h x在 3,1单调递增，在1,2单调递减，在2,3单调递增，且 h3c45h x 极大值h1 c 7h x极小值h 2c20，h 3cnimh3c45 ，9 ， h x由 c 45 0 ，得 c 45 。（ 2）据题意：存在x3,3 ，使 fxgx 成立，即为：h xg x fx 0 在 x3,3有解，故 hmax x0 ，由（

19、1）知 hmaxxc 70 ，于是得 c7 。（ 3）它与（ 1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意x1 , x23,3，都有 f x1 gx2成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x1 ， x2 的取值在3,3 上具有任意性， 要使不等式恒成立的充要条件是：fmax ( x) gmin (x ),?x3,3? 。 fx7x22c28, x3,3f x max f3 147 c ， gx6x 28x402 3x 10 x 2， gx0 在区间3,3上只有一个解 x2 。 gx ming248， 147c48 ，即 c195.（ 4）存在 x1 , x23,3，都有 fx1g

20、x2，等价于fminx1gmax x2，由 (3)得 f minx1 f 2c28 ，gmaxx2g3102 ， c28102c130点评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件。6、解：（） f( x)x 24ax3a2（1 分）令 f( x)0, 得 f ( x) 的单调递增区间为（a,3a ）令 f( x)0, 得 f ( x) 的单调递减区间为（，a）和（ 3a， + ） （ 4 分）当 x=a 时， f ( x)极小值 =3a3;4b当 x=3a 时， f (x) 极小值 =b.（ 6 分）（）由 | f (x)

21、 | a，得 a x2+4ax 3a2 a. （ 7 分） 0<a<1， a+1>2a.( )2432在1,2 上是减函数 .（9 分）fxxaxaaa f( x)maxf(a1)2a 1.f (x) minf ( a2)4a4.于是，对任意 x a1,a2 ，不等式恒成立，等价于aa4a1.4,解得 4a1.又 0a1, 4a1.2a557、解： (1) ln(x OA y 2f /(1)OB 1)OC 0， OA y 2f /(1)OB ln(x 1)OC由于 A、 B、 C 三点共线即 y 2f /(1) ln(x 1) 12 分 y f(x) ln(x 1) 1 2f

22、 /(1)11f /(x) x 1，得 f /(1)2，故 f(x) ln(x 1)2x12(x 2) 2xx2（ 2）令 g(x) f(x) x 2，由 g/(x)x 1(x 2)2 (x 1)(x 2)2 x 0， g/(x) 0， g(x) 在 (0 ， ) 上是增函数 故 g(x) g(0) 02x即 f(x) x 24 分6 分8 分精彩文档实用标准文案1（ 3）原不等式等价于 2x2 f(x2) m2 2bm 3112xx3 x令 h(x) 2x2 f(x2) 2x2 ln(1 x2) ，由 h/(x) x1 x2 1 x210 分当 x 1， 1 时， h(x)max 0， m2

23、2bm 3 0Q(1) m2 2m 30令 Q(b) m2 2bm3，则 Q( 1) m2 2m3 0得 m 3 或 m 312 分8、解： (I)fepeqqeppqe10 而 e10，所以 p q由题意得2ln e2eeeep2ln x ， f xp2 px22xp4(II)由 (I)知f xp分pxpx2xx2xx2令 h x2xp ，要使 f x在其定义域 (0,+)内为单调函数，只需h(x)在 (0,+) 内满足： h(x) 0 或 h(x) 0恒成立 .5 分 当 p0 时， px20 ,2x 0hx0 ，所以 fx在 (0,+) 内为单调递减，故p0 ； 当 p0时， h xpx

24、22xp ，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为x10 ，p hminxh1p10 ，即 p 1 时， h(x) 0， fx0 ，1 ，只需 pppp f (x)在 (0,+) 内为单调递增，故p 1 适合题意 .综上可得， p1 或 p 0pp212另解： (II)由 (I)知 f (x) = pxx 2ln x f(x) = p +x 2 x = p (1 +x 2) x要使 f(x)在其定义域 (0,+) 内为单调函数， 只需 f (x)在 (0,+)内满足： f (x) 0或 f (x) 0 恒成立 .122由 f (x) 0p (1 + x 2) x 0p 1x +x2p (1 )max ， x > 0x +x2221 1 = 1 ，且 x = 1时等号成立，故 (1 )max = 1x +x2 x· xx + x p 1122x2x由 f(x) 0p (1 +x 2 ) x 0p x 2