华东师大版初三综合复习：解直角三角形

1、解直角三角形教学目标1、理解锐角三角函数的定义，会用锐角三角函数值解决实际问题，能运用相关知识解直角三角形，会用解 直角三角形的有关知识解决某些实际问题。2、经历解直角三角形有关知识解决实际应用问题，提升分析问题、解决问题的能力。3、运用数形结合思想、分类讨论思想和数学建模思想解决问题。提升思维品质，形成数学素养。通过本章 知识的复习，体会转化思想和数形结合思想在解决数学问题中的广泛应用，深刻理解用数学方法解决实际 问题的重要性和必要性。学习内容春.知识梳理一、测量测量无法到达顶部的物体的高度和不能直接到达的两点间的距离，利用勾股定理的知识或相似三角形 的知识来解决这些实际问题.二、直角三角形

2、的性质1 .直角三角形的两个锐角互余.2 .直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（勾股定理）3 .直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.4 .在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ,那么它所对的直角边等于斜边的一半.三、三角函数(-)锐角三角函数1 .在RtZkABC中，sinA,cosA,，29分别叫做锐角4的余弦，正弦，正切，统称为NA的三角函数.其 中sin 4 = ZA的对边=巴,ccsA =幺的邻边=.tan A = 4的对边=.斜边 c斜边 c乙4的邻边 b要点诠释：(1)正弦、余弦、正切、余切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数 值，其大小只与锐

3、角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.(2)sinA、cosA、tanA、cotA是一个整体符号，即表示NA四个三角函数值，书写时习惯上省略符号“N”, 但不能写成sinA,对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“N”不能省略,应写成sinNBAC, 而不能写出sinBAC.(3)sin2A表示(sinAF，而不能写成sinA2.(4)三角函数有时还可以表示成sin a,sin 0等.2 .锐角三角函数值都是正实数，并且0sin4l, 0cosAl.3 .锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式“如NA+NB=90。，那么：sinA=cosB： cosA=sin

4、B： tanA=cotB. cotA=tanB.同角三角函数关系：siMA+cos2A=1：sin Acos A1tanA=,cot A =, tan A =.cos Asin Acot A(二)特殊角的三角函数值asin EC = b 贝iDE 的长为(C)A 2B. V1OC. 2 JID. 例7.如图，在等边三角形ABC中，点D, E分别在边BC, AC上，DEAB,过点E作EFJ_DE,交BC的延长线于点F.(1)求NF的度数；(2)若CD=2,求DF的长.解：(1) ABC是等边三角形，NB=60 ,VDE/7AB, AZEDC=ZB=60，VEF1DE. A ZDEF=90 , /

5、. ZF=90a -ZEDC = 30(2) V ZACB-600 , ZEDC=60 ,EDC是等边三角形，ED=DC=2，NDEF=90 , ZF=30 ,，DF=2DE=4例8.如图，锐角ABC中，BE, CF是高，点M, N分别为BC, EF的中点，求证：MNEF.解：连接MF，ME，VMF，ME 分别为 RtAFBC 和 RtAEBC 斜边上的中线，/.MF=ME= 1bC.例9.如图，等边AABC中，AE=CE(1)求证:BP=2PQ；若PE=1, PQ=3,试求AD的长解：(1).ABC为等边三角形，A ZC=ZBAC = 60 ，AB=AC, 又 AE=CD. .-.AABE

6、ACAD (SAS),VZBAD+ZCAD-600 ,则NABE+BMC),AD, BE相交于点P, BQJ_AD于点Q.，AAA ZABE = ZCAD，BD CNBAD=60，中.MFME，点 N 是 EF 的中点，AMN1EF/BPQ 是AABP 的外向，/ 又.刊0，曲，AZPBQ=30 (2)：BP = 2PQ. PQ = 3, AB 7PE=b，BE=7,VAABEACAD,，AD=BE 【锐角三角函数】例1.如图，在RtZABC中,34A. -B.-43例2.如图，在RtZABC中,A.1B.巨22 NABP+NBAP=60 =NBPQ，BP=2PQP=6.=7ZC=90 , B

7、C=3, AC=4,那么 cosA 的值等于(D )3n 4、C. D. rh55ZC=90 , AB=2BC,则 sin3 的值()C-TD. 1a4例3.如图，aABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则tanA的值是（A ）n 3Mu.10r 2回c.3例4.在RtZACB中,ZC=903,AB=10, sin A =-5，cosA = - , tanA =-则BC的长为（A ）A. 6B.7.5C. 8D. 12.5例5.在RtZXABC中,ZC=90,若各边都扩大3倍，贝UtanA的值（A）A.没有变化D.不能确定c.缩小;例6.在RtZABC中,ZC=90例7.在RtZABC中,

8、ZC=902,cosB = 一，则 AC ： BC ： AB=33,若sinA=,贝hosB的值是(B )5a4B-lc-ld4例8.已知，正方形ABCD的边长为2,点P是直线CD上一点，若DP = 1,则tanNBPC的值是43/. sinA +sinB = - +55例 9.在 aABC 中，NA, NB, NC 的对边分别是 a, b, c ,且 ： ：c =3 ： 4 ： 5,求 sinA + sinB 的值.解：设4 =34, b=4k , C =5k (k 0),贝iJsinA= c47二=二.你认为上面解答过程正确吗？若不正确，请找出错误原因，并写出正确的解答过程.解：不正确，因

9、为没有证此三角形为直角三角形 正确解为：解：设”=3&, b=4k 9 c =5k k 0),(3 A尸+ (4 A尸=(5 & Hl. AABC为直角三角形,3 47AsinA=,sinB= - = , A sin A + sinB = - c5c 55例10.如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的点，AE=BC, DFJ_AE,垂足为F,连接DE.(1)求证：AABEADFA； (2)如果 AD=10, AB=6,求 sin/EDF 的值.解：（1）略(2) VAABEADFA. ，AE=AD=10, DF=AB = 6, AF=、AD2DKlO_6，=8. AEF=AE-AF=10-8

10、=2，DE=VdF3+EF3=a/6,+2,=2V10，.sinZEDF-EF 2 VlODE 24 一 10【特殊角的三角函数值】 例1.cos60的值等于(A )A. 1B.史C.在222例2. sin45的值是(B )A. 1B.史C.由222例3.计算6tan450 -2sin30 的结果是(D )A. 4后B. 4C. 56D.皂3D. 1D. 5例 4.在AABC 中，NC=90 ,若NA=3(T ,则 sinA + cosB 的值等于(D )A. 14B. 1 + 32C. 1+22D. 1例5.已知。为锐角，且cos (90 a)=-,则。=.302例 6.在AABC 中，ZC

11、=90 , AC=2, BC = 2/3 ,则NA=. 60A. 30B. 45C. 60D.不能确定例7.已知a是锐角，sin a = cos 30。，则。等于(C )例8.在AABC中，若cosA-1 +(l-tan3尸=0,则NC的度数是(C ) 2A. 45B. 60C. 75D. 105例 9.在AABC 中，ZA=75 , sin5 =亘，则 tanC = ( C )2A,史B.JiC. 1D.工32例10.计算：（1） J(cos450 -1)2 + 71-cos2 300 ；解：原式=（落l）47/1一 （坐）；=用Tl+,l邛+；=甘亚ClJ4U4乙（2） | 一的 + 及

12、sin450 + tan 60 一（一2）一1一位 + （ n -3）. 解：- 33【解直角三角形及其简单应用】 例 1.在 RtZkABC 中，ZC=90 , a=20, c=20jI,则NA=, ZB=, b=. 45, 45, 20例2.如图，AABC中，ZC=90 ,点D在AC上，已知NBDC = 45 , BD=10梃，AB = 20.求NA的度数.BC-z/1 B解：在 RtZBDC 中，:sin/BDCh丽，/. BC=BDXsin NBDC = l(h/2 Xsin450 = 10./BC 10 15。_在 RtZxABC 中，VsinZA=A ZA=30A DCnD Zv

13、Z例 3.如图，在aABC 中，ZA=30 , ZB=45 , AC= 273 ,求 AB 的长.解：过点 C 作 CDLAB 于点 D，则NADC=NBDC=90 .V ZB=45 ， AZBCD=ZB=45 , ACD=BD.V ZA=30 , AC=2小,，8=m，BD=CD=/，由勾股定理得：颔=诉匚出=3，AB=AD+BD=3+m 例4. 一个长方体木箱沿斜而下滑，当木箱滑至如图位置时，AB = 3 m.已知木箱高BE=VJ m,斜而坡角为30 ,求木箱端点E距地面AC的高度EF.解：连接 AE,在 RtZABE 中，AB = 3 m,BE = 3 m,贝lj AE=AB2+BE2=

14、23 m,XVtanZEAB=BEAB=33,，NEAB=30 ,在 RtZAEF 中，ZEAF= ZEAB+ ZBAC = 60 , .EF=AEXsinZEAF=23Xsin600 =23X32=3 m【仰角、俯角与解直角三角形的应用】 例L如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45。，度为.（结果保留根号）（5 + 5不）叽测得大树AB的底部B的俯角为30“，己知平分CD的高度为5 m,则大树的高例2.如图，某学校新建了一座吴玉章塑像，小林站在距离塑像2.7米的A处自B点看塑像头顶D的仰角为45 ,看塑像底部C的仰角为30 ,求塑像CD的高度.（结果精确到0.1米，

15、参考数据：731.7） 解：在 Rt/gEB 中，DE=BB tan45 =2. 7 米, 在 RtZkCEB 中，CE=BE tan303 =0.9噌米, 贝|J CD=DE -CE=2. 7-0. 9小=1. 2 米.故塑像CD的高度大约为1.2米例3.如图，一艘核潜艇在海而DF下600米A点处测得俯角为30正前方的海底C点处有黑匣子，继续在 同一深度直线航行1 464米到B点处测得正前方C点处的俯角为45 .求海底C点处距离海面DF的深度.(结 果精确到个位，参考数据：V2 1.414, Ji4L 732,后比2.236)解：作CELAB于点E,依题意,AB=1 464, NEAC=30

16、，ZCBE=45 ,设 CE=x，则 BE=x，RtAACE ll tan30 =tz:=1.c .AE 1464+x 3整理得出：3x=l 464镜+，5x，解得 x=732($+l)*2 000 米,x+600=2 600 米.答：海底C点处距离DF的深度约为2 600米【坡度与解直角三角形的应用】例1.如图，河坝横断而迎水坡AB的坡比是1：白(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，坝高BC=3 cm,则坡面AB的长度是（B ）A. 9 mB. 6 mC. 6后 mD. 3y3 m例2.如图，先锋村准备在坡角为a的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡而上的距

17、离AB为( B )A. 5cos aC. 5sinaB. _2_ cosaD. sina例3.某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡而坡度由1 ： L8改为1 ： 2.4(如图).如果改动后电梯的坡面长为13米，求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长.解：在 RtZADC 中，：AD ： DC = 1 ： 2.4, AC=13,由 AD二+DC，=AC 得 AD+(2.4AD)=132,，AD=5,，DC=12 米.在 RtZABD 中，VAD ： BD=1 ： 1. 8, ABD=1. 8-AD=9 米,C BD15.,.BC=DC-BD=12-9 = 3（米）.答：改动后电梯水平宽度

18、增加部分BC的长为3米【特殊应用】一：有关测量问题（测量类问题涉及仰角和俯角的知识，属于解直角三角形中已知一边和一锐角的类型，无斜边时，应用正 切建立方程求解。）例1.某中学九年级（1）班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动，他们在某公园人工湖旁的小山AB上测得湖中两个小岛C、D的距离。从山顶A处测得湖中小岛C的俯角为60。,测得湖中小岛D的俯 角为45。,已知小山AB的高为180米，求小岛CD的距离。又在 Rt二 ABC 中，Ztan60=费二需=5即BC邛匚BD=BC+CD, LAB= AB+CD3解：如图，由已知，可得匚ACB=60。，ZADB=45, 二在RUABD中，BD=AB,

19、匚CD=AB-EaB=180-180xE=180-60 逐（米）, 33答：小岛C, D之间得距离为180-60、6米。例2、为改变某市的交通状况，在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB,在地而上事先划定以B为圆心.半径AB等长的圆形危险区，现有某工人站在离B点3米远的D处，测树的顶端A点的仰角为60。，树的底部B点的俯角为30。，问：距离B点8米远的保护物是否在危险区内？解：在 Rt/kDBC 中，DB=3,.-.BC=BDcos30o=2V3：在 Rt/kABC 中，BC=25,ZCAB=30,AAB=BCsin3O0=4V3.,8 4 小，距离B点8米远的保护物不在危险区内.二、有关影长问

20、题类型1、影子照在墙上数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米,同 时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的不全落在地而，有一部分落在教学楼的墙壁（如图），其影长为2米，落在地面的影长为11.2米，则树高为多少米？19解：设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是X米1 _ x解得工=14树高是14+2=16类型2、影子照在台阶上数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高.课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的是0.9米，但当他们马测量树高时，发现树的不落在地面，有一部分落在教学楼的台阶，且的末端刚好落在最后一级台阶的端C处.同学们认为继续量

21、也可以求出树高，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的 高度为L0米，台阶水平总宽度为1.6米（每级台阶的宽度相同）.请你和他们一起算一下，树高为多少.（假 设两次测量时太阳光线是平行的）分行;此题考查了同一时刻物高与影长成正比例的知识，解此题的关键是找到各部分以及 与其对应的影长.AB解：根据同一时刻物高与影长成正比例,aAD=3.AB=AD+DB=3+1=4 .,韶.,本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程 ,通过解方程求解，加上DB的长即可.类型3、影子照在斜坡上如图，小鹏准备测量学校旗杆的高度.他发现当正对着太 阳时，旗杆AB的恰好落在水平地而BC

22、和坡而CD,测得旗 杆在水平地面的影长BC=20米，在坡面的影长CD=8米，太 阳光线AD与水平地面成30。角，且太阳光线AD与坡而CD 互相垂直.请你帮小鹏求出旗杆AB的高度（精确到1米）分析；本题可通过构造直角三角形来解答.如果延长AD交BC于E ,那么直角三角形ABE中 ,/ = 30。，要求AB ,只要求出BE即可，又已知BC的长度，那么只要求出CE就能知道A2的/=30。.aCE=16 .在4ABE中,BE=BC+CE=36 .vtan-AEB=-r .答：旗杆的高度是20米.点评:本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问邈，可通过作辅助线构造直角三角 形,再把条件和问题转化到这个

23、直角三角形中.，使问题解决.三.有关堤坝横断面的计算问题：堤坝横断面的问题实质是解有关梯形的计算问题，利用坡度可以把有关线段分别与梯形的高建立联系, 从而求解。例L我市.某乡镇学校教学楼后而靠近一座山坡，坡面上是一块平地BC二AD,斜坡AB=40米，坡角二BAD=60。, 为防夏季因暴雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过 45。时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A不动，从坡顶B沿BC削进到E处，BE至少是多少？解：作 BG二AD 于 G,作 EFZ3AD 于 F,则在 Rt二ABG 中，匚BAD=60。，AB=40,C.、一b所以就有 BG=AB 1

24、1160。=205，AG=AB cos60=20,：、/同理在 Rt二AEF 中，二EAD=45。，则有 AF=EF=BG=26/L !、 口D；FG：、A所以 BE=FG=AF-AG=20 （婿/）米， !d方法小结：若梯形的内角中有特殊角时，一般过较短的底作梯形的高，将梯形面积问题转化为两个 直角三角形和一个矩形的问题。有关四边形的许多问题都可以通过添加适当的辅助线将其转化为三角形的问题，这正体现了数学中的转化思想.四.有关方位角的问题:（方位角表示对象所处的方位，要加上长度才能确定物体的位置，注意找准基准点，分清东、南、西、 北，理解偏东、偏西的意义）例1.我市准备在相距2km的A、B两

25、工厂间修建一条笔直的公路，但在B地北偏东60。方向，A地北偏西 45。方向的C处，有一个半径为0.6km的住宅小区如图，修建公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？（参考数据：V2 1.41 , 731.73 ）思路点拨：要判断是否有居民需要搬迁，应看看点C与AB的距离是否大于0.6km.解：从C点做一条垂直线，交AB与D点，设AD=x,则BD=2-x因为B地北偏东60。，所以角CBA等于30。，因为C在A的45。方向，所以角CAB=45。，由角度关系得知，CD=AD= xtan30=CD/BD=.x /2- x =$/3得出工的值约为0.7,比0.6大，所以要搬迁。方法小结：若三角形的内角（或外

26、角）中有特殊角时，一般过非特殊角的顶点作三角形的高，可构造出 含特殊角的直角三角形。例2.在气象台A的正西方向240km的B处有一台风中心，该台风中心以每小时20km的速度沿北偏东60 的BD方向移动，在距离台风中心130km内的地方都要受到影响。（1）台风中心在移动过程中与气象台A的最短距离是多少？（2）台风中心在移动过程中，气象分将受到分风的影响，求台风影响气象分的时间会持续多长？解：（1）如图，过A作AE_LDB于E,由题意知，NABE=30。,又因为AB=240km,故AE=12AB=120 （km）,故台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是120km,（2）连接AC, AD,则

27、AC=AD=130km,由勾股定理得:CE=AC2-AE2= 1302-1202=50（km）,由垂径定理得：CE=DE,故 CD=100km, 100:20=5 （小时）.答：台风影响气象台的时间会持续5小时一、选择题（每小题3分，共30分）B. tanA =-2D. tanB = Ji1 .如图，在RtzABC中，ZACB=90 , BC=L AB=2,则下列结论正确的是（D ）A. sinA = 2C. cosB =22 .在AABC中，“，b, c分别是NA, NB, NC的对边，如果那么下列结论正确的是（A ）A. csinA = aB. b cosB = cC. a tanA =

28、bD. c tanB = h3 .计算 6tan450 -2cos 60 的结果是（D ）A. 4a/3B 4C. 5a/3D. 54 .在 RtAABC 中，ZC=90 , sinA= 则 tanB 的值为（D）135 .如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1,点A, B, 0都在格点上，则NA的正弦值是（D）A,在10C. 25D-T6 .如果NA, NB均为锐角，且j2sinA l +（有tanB3尸,那么AABC是（B）A.锐角三角形C.等边三角形B.直角三角形D.钝角三角形7.如图，河堤横断而迎水坡AB的坡比是1 ： B 堤高BC=10 m,则坡而AB的长度是（C ）A. 15 m

29、C. 20 mB. 2073 mD. 10 yJ3 mD25A.H3c.28 .如图，CD是平面镜，光线从A点射出，经CD上点E反射后照射到B点，若入射角为a, ACCD, BDCD,垂足分别为C, D,且AC=3, BD=6, CD=lb则tana的值为（D ）b.211D.U 99 .如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30,方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间B. 40后海里D. 40、南海里后，到达位于灯塔P的南偏东45,方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（A ）A. 40 加海里C. 80海里10 .如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆

30、顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯B.米D. 56 米角a为60 ,又从A点测得D点的俯角B为30 ,若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为（A ）A. 20 米C. 1573 米二、填空题（每小题3分，共24分）11 .计算：tan45 -3-3 12 .如图，在RtAABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2, AC=3,则sinA的值是_史_.413 .如图，某山坡的坡而AB = 200米，坡角NBAC=30 ,则该山坡的高BC的长为米.G第12题图）14 .如图，在菱形ABCD中，DE_LAB,垂足为E, DE=6 cm, sinA=-,则菱形ABCD的而积是_/_加.

31、515 .将一副三角尺如图所示叠放在一起，则丝的值是_ EC316 .如图，ABC的顶点A, C的坐标分别是（0, 4）, （3, 0）,且NACB=90 , ZB=30 ,则顶点B的坐标是_（3+4V?，X_.17 . ABC 中，AB=4, BC=3, ZBAC=30 ,则aABC 的面积为_2、Q + 8或 2七一后18 .为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米，宽2.2米的矩形,矩形的边与路的边缘成45角，那么这个路段最多可以划出一个这样的停车位.（拉4L 4）点拨：如图，BC=2.2Xsin45 七 1.54. CE=5Xsin450=3.5, BE

32、=BC+CE5.04, EF=2. 2sin45 七3.14，(56-5. 04)+3. 14 + 1=16+1 = 17(个)，故这个路段最多可以划出17个这样的停车位三、解答题（共66分）19 .（8分）计算:(1) (-2)*4- +2sin60 ；(2)6tan:30 /3 cos30J _2sin450 .解：4解：1-V220. (8 分)如图，ZkABC 中，AD1BC,垂足是 D,若 BC = 14, AD=12, tanZBAD=L 求 sinC 的值.解噌21. （8分）如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A,某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30。的方向上，然后沿

33、岸边直行4公里到达C处，再次测得A在C的北偏西45的方向上（其中A, B, C在同一平面上）.求这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离.解：过A作AD_LBC于点D，则AD的长度就是A到岸边BC的最短距离.在 Rt/ACD 中，ZACD=45 ,设 AD=x，则 CD=AD=x，在 Rt/XABD 中，ZABD=60 , BD= tanoO 3又 BC=4.即 BD+CD=4,所以欧+x=4,解得*=6-2右， 5则这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离为（62括）公里22. (10 分)如图，在梯形 ABCD 中，ADBC, NADC = 90 , ZB = 30 , CE_LAB,垂足为点 E,若 AD=1,BAB=2JJ,求 CE 的长.解：过点A作AHLBC于点H,则AD=HC=L在ABH 中，BH=AB - cos300 =3.，BC=BH+BC=4,VCEAB, ACE=BC - sin30 =223. （10分）如图，一堤坝的坡角NABC=62 ,坡而长度