知识讲解数列的全章复习与巩固基础

1、数列的全章复习与巩固 编稿：李霞 审稿：张林娟 【学习目标】 1 系统掌握数列的有关概念和公式； 2掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前 n项和公式，并运用这些知识解决问题； 3了解数列的通项公式 an与前n项和公式Sn的关系，能通过前 n项和公式Sn求出数列的通项公 式an ； 4.掌握常见的几种数列求和方法 【知识网络】 【要点梳理】 要点一：数列的通项公式 数列的通项公式 一个数列an的第 n项an与项数 n之间的函数关系，如果可以用一个公式 an f (n)来表示，我 们就把这个公式叫做这个数列的通项公式。 要点诠释： 不是每个数列都能写出它的通项公式。如数列 1, 2,

2、3, 1 , 4, 2,就写不出通项公式； 有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的。如：数列 一 1,1, 1, 1,的通项 公式可以写成an ( 1)n，也可以写成an cosn 仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的。 通项an与前 n项和Sn的关系: 任意数列aj的前 n项和Sn ai a2川 an; 要点诠释: 由前 n项和Sn求数列通项时，要分三步进行: (1) 求 a1 3 , (2) 求出当 n2 时的an , (3) 如果令 n2 时得出的an中的 n=1 时有印 Si成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形 式，否则就只能写成分段的形式。 数

3、列的递推式： 个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式。 要点诠释： 利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值，可用凑配法、换元法等 要点二：等差数列 判定一个数列为等差数列的常用方法 定义法：an 1 an d (常数) an是等差数列； 中项公式法：2an 1 an an 2 (n N *) an是等差数列； 通项公式法：an pn q (p, q 为常数) an是等差数列； 2 前 n项和公式法：Sn An Bn (A, B 为常数) an是等差数列。 要点诠释：对于探索性较强的问题，则应注意从特例入手，归纳猜想一般特性。 等差数列的有关性质： Si Sn S

4、n 1 (n 1) (n 2) 如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项 an与它的前一项an i或前若干项间的关系可以用一一 (1)通项公式的推广： an am+( n m)d (2)若 m n p q(m、n、p、q N )，贝U am an ap aq ； 特别，若 m n 2p，则 am an 2ap(3)等差数列an中，若m、n、( m、n、p N )成等差数列，贝 V am a*、ap成等差数列 等差数列前 n项和Sn的最值问题: 等差数列an中 an 0 若 a10, dv 0, Sn有最大值，可由不等式组 来确定 n； an 1 0 an 0 若 a1 v 0, d 0, S!

5、有最小值，可由不等式组 来确定 n,也可由前 n项和公式 an 1 0 d 2 / d、 一 Sn n )n来确定 n. 要点诠释：等差数列的求和中的函数思想是解决最值问题的基本方法 要点三：等比数列 (4) 公差为 d 的等差数列中，连续 k 项和 Sk, S2k Sk , S3k S2k , 组成新的等差数列。 (5) 等差数列an，前 n项和为S* 当 n为奇数时，S n an 1 ； S 奇 S 偶 2 当 n为偶数时，S an an 彳 1 n ();S偶 2 an 2 - 。 a1 2 (6) 等差数列an, 前 n项和为Sn，则S Sn m n - (m、 m n n N* ,且

6、 mn)。 (7) 等差数列an中，若 m+n=p+q (m、n、p、q N*，且 mn, pq，贝 H 色一 m n Sp Sq 。p q (8)等差数列an中，公差d，依次每 k 项和：Sk, S2k Sk, S3k S2k成等差数列，新公差 2 d k d . (2)通项公式法: an cqn (c、q 均是不为 0 的常数 n N*) an是等比数列; 0 , n N*) an是等比数列 (1)定义法: q (q 是不为 0 的常数，n N*) (3)中项公式法: an an 2 ( an a* 1 an 2 判定一个数列是等比数列的常用方法 an是等比数列; 等比数列的主要性质:(1

7、) 通项公式的推广：an amqn m * (2) 若 m n p q(m、n、p、q N )，贝U am an ap aq. 特别，若 m n 2p，则 am an ap2 (3) 等比数列 an中，若m、n、n、p N*)成等差数列，贝U am、a.、ap成等比数列. (4) 公比为 q 的等比数列中，连续 k 项和Sk,S2k Sk,S3k sk ,组成新的等比数列。 (5) 等比数列a*，前 n项和为Sn，当 n为偶数时，S偶S奇q。 (6) 等比数列an中，公比为 q，依次每 k 项和：Sk , S2k Sk, S3k S2k成公比为 qk的等比 数列。 (7) 若an为正项等比数列

8、，则log a an ( a0 且 a 工1为等差数列；反之，若a“为等差数 列，则aan (a 0 且 a 工1为等比数列。 n(n 1) (8) 等比数列an前 n项积为Vn，则Vn a?q (n N*) 等比数列的通项公式与函数： n 1 an aq 方程观点：知二求一； 函数观点：an a1qn 1色 qn q q 0 且 q 1时，是关于 n的指数型函数； q 1时，是常数函数； 要点诠释： 当q 1时，若a1 0,等比数列an是递增数列；若a1 0，等比数列an是递减数列； 当0 q 1时，若a1 0,等比数列an是递减数列；若 印 0 ,等比数列an是递增数列; 当q 0时，等比

9、数列an是摆动数列； 当q 1时，等比数列an是非零常数列。 要点四：常见的数列求和方法 公式法： 分组求和法： 将通项拆开成等差数列和等比数列相加或相减的形式，然后分别对等差数列和等比数列求和 如: an=2 n+3n. 裂项相消求和法： 把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项的方法 一般通项的分子为非零常数，分 母为非常数列的等差数列的两项积的形式 ，分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式 (An B)(A n C) 错位相减求和法: 般步骤: 要点诠释：求和中观察数列的类型，选择合适的变形手段，注意错位相减中变形的要点 要点五：数列应用问题 数列应用问题是中学

10、数学教学与研究的一个重要内容 ，解答数学应用问题的核心是建立数学模型 ，有 关平均增长率、利率(复利)以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型 建立数学模型的一般方法步骤 认真审题，准确理解题意，达到如下要求： 明确问题属于哪类应用问题； 弄清题目中的主要已知事项； 明确所求的结论是什么 如果一个数列是等差数列或者等比数列，直接用其前 n项和公式求和。 右an 则an (An B)(A n C) CAn B 1 An C )，如 3n = 1 n(n 1) 通项为非常数列的等差数列与等比数列的对应项的积的形式: an bn cn , 其中 bn是公差 d 工0 等差数列，cn是公比

11、q 工1等比数列，女口 an=(2 n-1)2n. Sn bCi 匕2。2 bn 1Cn 1 bnCn，则 qSn 0C2 bn 1Cn bn Cn 1 所以有(1 q)Sn bi C1 (C2 C3 cn )d bn Cn 1 抓住数量关系，联想数学知识和数学方法， 恰当引入参数变量或适当建立坐标系， 将文字语言翻 译成数学语言，将数量关系用数学式子表达 将实际问题抽象为数学问题， 将已知与所求联系起来， 据题意列出满足题意的数学关系式 (如函 数关系、方程、不等式) 要点诠释：数列的建模过程是解决数列应用题的重点，要正确理解题意，恰当设出数列的基本量 . 【典型例题】 类型一：数列的概念与

12、通项 1 3 5 7 例 1.写出数列： -, 5 10 17 26 【思路点拨】从各项符号看，负正相间，可用符号 是个奇数列，可用2n 1表示；数列各项的分母：5,10,17,26,恰是21 2 1,32 1, 42 1,52 1, 可用(n 1)2 1表示; 1 前 m 行共有几个数？ 2 第 m 行的第一个数和最后一个数各是多少? 的一个通项公式 (1)n表示；数列各项的分子：1, 3，5，7, 【解析】通项公式为: an (1)n 2n 1 (n 1)2 【总结升华】 项分别记作f (1), f(2) , f (3),，那么求数列的通项公式就是求以正整数 f (n)的表达式; 通项公式

13、若不要求写多种形式，一般只写出一个常见的公式即可； 给出数列的构造为分式时，可从各项的符号、分子、分母三方面去分析归纳，还可联想常见数列 的通项公式，以此参照进行比较 举一反三: 【变式 2】给出数表: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (3) 求第m行的各数之和； (4) 数 100 是第几行的第几个数？ 【答案】 1 (1) m(m 1)； 2 1 1 (2) m(m 1) 1 , m(m 1)； 2 2 1 2 (3) m(m2 1)； 2 (4) 第 14 行的第 9 个数。 类型二：等差、等比数列概念及其性质的应用 例 2.已知三个数成等比数列，积为 216，若第二个数加上

14、4,则它们构成一个等差数列，求这三个 数。 求数列的通项公式就是求数列中第 n项与项数n之间的数学关系式。 如果把数列的第 1,2, 3， n(项数)为自变量的函数 【变式 1】数列: 15 24 9 的一个通项公式是( 2 n n A. an ( 1); 2n 1 B.an n n(n 3) 2n 1 2 n (n 1) C.an ( 1) k 1 2n 1 D.an n n(n 2) 2n 1 【答案】采用验证排除法，令 1,则 A、 C 皆被排除，故选 D. 【思路点拨】成等比数列的三个数我们可以设为 a、a、aq，可以简化运算 q 【解析】设这三个数为 a、a、aq， q 由题知a a

15、 aq 216，解得a 6， q 又 - , 6 4, 6q构成等差数列， q 6 2 二 2 (6 4) 6q，即 3q 10q 3 0, q 1 解得q 3或q , 3 这三个数为 2, 6, 18 或 18, 6, 2。 【总结升华】 恰当地选择设未知数，列方程(组)求解。方程思想在数列中很重要。 举一反三： 【变式 1】如果一个等差数列的前 12 项和为 354，前 12 项中偶数项的和与奇数项的和之比为 32 : 27,求公差. 【答案】设等差数列首项为 a1，公差为 d,则 12a1 11d 354 2 1 12a1 66d 354 a1 2 6(a1 d) 6 5 2d 32 2

16、 32 5a1 2d 0 d 5 1 27 6a 6 5 2 2 【高清课堂： 数列综合 381084 例 1】 【变式 2】已知两个等比数列 an , bn , 满足a1 a(a 0), bi a1 1 $ a2 2 , Q a3 3 . (1)若a 1，求数列an的通项公式; (2)若数列 an唯一，求a的值. 【答案】(1)an (2 ,2)n 1 或 an (2 ,2)n 例 3.设Sn是等差数列 an的前 n项和，若S3 S6 则鱼等于() S12 3 1 A. B.- 10 3 【思路点拨】禾U用等差数列的性质来解：等差数列 an中，Sk， S2k Sk， S3k S2 k也成等差

17、数 【解析】由题意知S3，S6 S3，Sg S6，S2 S9成等差数列, 由已知得S6 3S3，故公差为(S6 S3) S3 S3 , 所以 S9 S S3 2S3，故 Sg 6S3 , S2 S9 & 3S3 ,故 S|2 10 S3 , 所以 故选 A。 S12 10 【总结升华】等差等比数列的性质是高考命题的热点， 熟练掌握它们的性质并灵活运用, 简洁 举一反三： 【变式】 已知等差数列an , Sn 25, S?n 100,则S3n ( ) 能使问题 A.125 B.175 【答案】C C.225 D.250 方法一： an为等差数列, - Sn,S2n Sn,S3n S?n

18、成等差数列，即 2(S2n 5) Sn (务 Szn) -2(100 25) 25 (务 100), 解得S3n 225 , 选 C. 方法二： 取特殊值 (适用选择题) :令 n 1 , 由题意可得Sn S1 a1 25, S2n S2 a1 a2 100, -a? 75 , d a： a 50, Qn S3 3 (3 1) 3a 2 d 225, 选 C. 方法三： Sn na n(n 1 1)d 25，S2n 2n(2n 2门印 2 100, 2 2 两式相减可得 na1 n (3 n 1)d 75 , 2 二 S3n 3na, 3n(3n 1)d 75 3 225. 2 选 C. 例4

19、 设 Sn、Tn分别为等差数列an , bn的前 n项和，满足 Tn n项求和公式及性质是解决本题的关键，主要利用: (2n 1 2an (2n 1)an 进行求解. 【解析】 . an= S11-S10=11k(7 X1+1)-10k(7 10+1)=148k b11=T11-T10=11k(4 X1+27)-10k(4 10+27)=111k a11 148k 4 b11 111k 3.7n 1，求鱼 4n 27 b11 【思路点拨】 利用等差数列的前 (2n 1)(印 a2n 1) S2n 1 【答案】 a11 bn 方法一: a11 bn 2a11 2 bn ai a21 bi b2i

20、 红 ) 2 (a1 a21)S21 7 21 1 4 21(b1 b21) E 4 21 27 3 方法二: 设Sn k(7n 1)n, Tn k(4n 27) n (k 工 0) 【总结升华】等差数列的中项在前 n项和式中的应用是解决本例的关键， 也应注意到前 n项和与通 项公式的联系 【变式 3】等差数列an中，印13, S3 S11，则它的前 _项和最大，最大项的值是 【答案】7, 49 3 2 设公差为 d,由题意得 3a1+ 2 - Sn有最大值. 3 11 又 S3=Sn,可得 n= =7, 2 7 6 二 S7 为最大值，即 S7=7 X13+ （-2）=49. 2 类型三：由

21、递推关系求数列通项公式 【变式 1】等差数列an中，Sn=50 , a1 a2 a3 a4 【答案】 a a? a3 a4 30 (1)， an 3 an 2 an 1 an 10 ， 由 （1） + (2 )得 ：4佝 an )40 (a1 an) 10 , 1 * .Sn n(a1 an )50 n 10 n 10. 2 2 ，求项 n. aj， a&a3 5辭8玄9 10，则 aqasae 【答案】由已知得 珂 GG 二口、二 I口 y 尹：二口： ，故 a4a5ae a； ( azOs)3 5.2 d=11a1+d，得 d=-2, 例 5.已知数列an中，a1 1, an 1

22、1，求 an. 2 【思路点拨】把an 1 an 3 加法,等比数列求和求出通项公式 【解析】 1整理成 an 1 細3），得数列an 3为等比数列, 再用叠 举一反三: 2】已知各项均为正数的等比数列 【变30 , an 3 an 2 an 1 an 10 法一：设（an 1 即原式化为（an 2 A) - (an 3 1 3) |(an A），解得A 3) 设 bn an 3 , 则数列bn为等比数列，且 bi a1 3 2 n1 时 an (an an 1) (an 1 an ) n 1 n 2 1 (a2 a1 ) a1 1 2n 2n 1 法二： an 的值，求通项公式。 举一反三：

23、 【答案】an an 1 (an 1 an) a a1 2 an an 1为首项为 2 公比也为 2 的等比数列。 an an 1 n 1 , ( n1) bn an 3 (2) （2）n1 an 3 3 （）n an 3an 1 1(n 2) 由一得: an 1 an (an an 1) 3 设 bn an 1 an ，则数列 g为等比数列 bn an 1 an an 法三: a2 3()n a 1， as a4 an gan （2）n III 【总结升华】 1 in （I） 求数列通项公式，特别是由递推公式给出数列时, 1， 除迭加、迭代、迭乘等基本方法外, 还应注意根据递推关系式的特点，

24、进行转化，变形为与是等差（等比）有关的数列 若数列an满足 an 1 pan q(p 1, q 为常数)，则令 an 1 p（an ）来构造等比数列，并利用对应项相等求 【变式 1】数列an中，a1 1,a 3,an 3an 1 a.，则 a. 显然 n=1 时满足上式 2n 1 1 a1 1 丄 a3 a2 1 n - 1 尹 1)(n 2) 1 1 又 n=1 时，1 (1 1) 1 2 a1 1 1 nan 1 n， 1 1 n an an 1 an an an 1 A i o 1答案,宀丘 类型四： an与Sn的关系的综合运用 n n2 n 2(n 【变式 2】在数列a n中, ai=

25、1, an+1= -，求 1 nan an. a2 1 1 an an 1 (n 1) (n 2) 将以上各式叠加，得丄丄 1 2 （n 1） an a 川 n 2(n 1)(n 2) 例 6设Sn为数列an的前 n项和，Sn 2 kn n , n N+，其中 k 是常数. (1)求 a1 及 an; （2）若对于任意的 m N+, am , a2m , a4m成等比数列，求 k 的值. 【思路点拨】（1）利用 n2 时，an Sn Sn 1进行求解，注意对 n=1 时进行验证；（2）利用等比 中项及恒成立问题求解 【解析】（1）当 n = 1 时，a1 S k 1 , 2 2 当 n2 时，

26、an Sn Sn 1 kn n k(n 1) (n 1) 2kn 2 经检验，n = 1 时，上式成立， S2m 2kn k 1 . 即(4km k 1)2 (2km k 1)|(8km k 1), 整理得：mk(k 1) 0 ,对任意的 m N+成立, 其注意首项与其他各项的关系 举一反三: 求数列an的通项 an. 二 a1=2 ,. an=5n-3. 1 a.的前n项和为Sn, Sn -(an 3 (2) am , a2m , a4m成等比数列，二 2 a2m a m a4 m , 【总结升华】等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是 q 9n Sn Sn (n 1)，尤 1 (n

27、 2) 【变式 1】已知正项数列 an，其前 n项和 Sn满足10Sn 2 an 5an 6，且 a1， a3, ai5成等比数列, 2 【答案】 10Sn an 5an 6, . 2 10a 5a 6, 解之得 a1=2 或 a1=3. 又 10Sn 1 an 1 5an 1 6(n 2), 由-得10an (a； 2 an 1 ) 5(an an 1 )，即(an an 1)(an an 1 5) 0 T an+an-1 0,. an-an-1=5(n 2). 当 a1=3 时，a3=13, a15=73, a1, a3, a15不成等比数列 a1工 3 当 a1=2 时，a3=12, a

28、15=72，有 a32=a1a15， 【变式 2】已知数列 1)(n N*)。 (2)求证：数列an是等比数列。 【答案】 1 1 (1)由 S) 3 (ai 1)，得 ai 3 (ai 1), 3 3 - ai 1 1 又 S2 3(比 1)，即 a a2 3(a2 1)，得 a2 3 3 (I)求通项公式 an; (II)求数列ann 2的前 n项和。 【答案】 又当 n2 时，由 3n+1 an=(2Sn+1) (2Sn- 1 + 1)=2an, 得 an+1=3an, 所以，数列a n的通项公式为 an=3 n1, n N*。 (2)设 bn=|3n1 n2|, n N* , 6=2,

29、 b2=1。 当 n3 时，由于 3nrn+2,故 bn=3n1 n 2, n3。 设数列bn的前 n项和为 Tn,贝U T1=2, T2=3。 2, n 1 (2)证明：当n 2时，an 1 1 护 1) ；(an1 1), an a2 an 1 1，又色 2 a1 所以an为首项为 1，公比为 -的等比数列。 2 2 【变式 3】(2016 浙江文)设数列 an的前 n 项和为 Sn。已知 S2=4, an+1=2Sn+1, n N*。 (1)由题意得: a1 a2 a2 2a1 ，则 a1 a2 当 n3 时，Tn 3 9(1 3n2) (n 7)(n 2) 2 3n n2 5n 11

30、2 类型五：数列的求和问题 例 7.求数列 1, a a2, a2 a3 ,(a 0)的前 n项和Sn. 所以，Tn 3n n2 5n 11 二 ,n 2,n N 【思路点拨】本题求和后, 【解析】 不宜直接分组, 应该把通项化简变形后，再决定如何分组求和。 (1)当 a 1 时，an n 1 n、 a2n2 a (1 a) 2n 1 ) Sn 1 (1 a a) (a a3) (a2 5 / n 1 a ) . (a 2n a 1 ra (1 n 1 a ) a(1 2n a 2) Ga a(1 1 2n、 孕) a 1) 2 (1 a)2(1 a) (1 an)(1 an (2)当 (3)

31、当 丄n(n 2 a 1，原数列为 1， a 1 时，Sn 1)； 0，1, 0， 1, 0, n为偶数，令 n 2k (k N* )，则 Sn S2k 0 . 1 n为奇数，令 n 2k 1( k N )，则 Sn S2k 1 1 0 . 1 【总结升华】 分类讨论 a和 n的奇偶是本例化简的关键 举一反三: 【变式 1】求数列(1 22) 1 (1 32 ).(1 1 ( 2)的前 n项和。 (n 1) 【答案】 22 1 an 十 32 1 32 n2 1 2 n 4 (n 1 3 2 22 32 . 1 _ 1) 11) 1)(n 2 n 1 (n 1)2 1 (n 1)2 2n(n 圮 所以可以得到: Sn n 2(n 1) 【变式 2】求和：Sn 1b n 2t 2 a b a2bn 2 abn 1 bn (n N 【