概率论与数理统计总复习题

1、概率论与数理统计总复习第一章 随机事件及其概率1.古典概型；2.概率的（古典）定义；3.事件的加法、减法、乘法；4.全概率公式与贝叶斯公式；5.伯努利概型。 第二章 随机变量及其分布1.随机变量分布函数；2.离散型随机变量的分布律；3.连续型随机变量的概率密度函数；4.常用分布；5. 随机变量函数的分布。 第三章 多维随机变量及其分布1. 二维离散型随机变量的联合分布律与边缘分布律；2.二维连续型随机变量的概率密度函数与分布函数及性质；3.随机变量的独立性；4. 连续型随机变量的卷积公式；5. 多维随机变量和的分布及最大值与最小值分布。 第四章 随机变量的数字特征1.数学期望和方差的概念、性质

2、及计算；2.协方差及相关系数的计算；3.切比雪夫不等式。 第五章 大数定律与中心极限定理1. 大数定律的内容及其理论价值；2. 中心极限定理实质及其运用。 第六章 数理统计的基本思想1.总体、样本、统计量及抽样分布的概念；2.数理统计的三大分布及三大分布的临界值的计算；3.正态总体的抽样分布定理。1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.【解】故所求分布律为X345P0.10.30.6 2.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备

3、多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则Xb(200,0.02)，设机场需配备N条跑道，则有即 利用泊松近似查表得N9.故机场至少应配备9条跑道.3.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为（1/2）t的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.【解】（1） (2) 4.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2

4、000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X为2000册书中错误的册数，则Xb(2000,0.001).利用泊松近似计算,得 5.由某机器生产的螺栓长度（cm）XN（10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.【解】 6.一工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（160，2），若要求P120X2000.8，允许最大不超过多少？【解】 故 7.设随机变量X分布函数为F（x）=（1） 求常数A，B；（2） 求PX2，PX3；（3） 求分布密度f（x）.【解】（1）由得（2） (3) 8.求标准正态分布的上分位点，（1）=0.01，求;

5、（2）=0.003，求，.【解】（1） 即 即 故 （2） 由得即 查表得 由得即 查表得 9.设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明：Y=1-e-2X在区间（0，1）上服从均匀分布. 【证】X的密度函数为由于P（X>0）=1，故0<1-e-2X<1，即P（0<Y<1）=1当y0时，FY（y）=0当y1时，FY（y）=1当0<y<1时，即Y的密度函数为即YU（0，1） 10.设随机变量X的密度函数为f(x)=若k使得PXk=2/3，求k的取值范围. (2000研考)【解】由P（Xk）=知P（X<k）=若k<0,P(X<k)=0若0k

6、1,P(X<k)= 当k=1时P（X<k）=若1k3时P（X<k）=若3<k6，则P（X<k）=若k>6,则P（X<k）=1故只有当1k3时满足P（Xk）=.11.设随机变量X的分布函数为F(x)=求X的概率分布. 【解】由离散型随机变量X分布律与分布函数之间的关系，可知X的概率分布为X-113P0.40.40.212.若随机变量X在（1，6）上服从均匀分布，则方程y2+Xy+1=0有实根的概率是多少？ 【解】13.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.【解】设X为考生的外语成绩，则XN（72，2）故 查表知 ,即=12从而XN（72，122）故 14.设随机变量X的密度函数为fX(x)=求随机变量Y=eX的密度函数fY(y). (1995研考)【解】P（Y1）=1当y1时，当y>1时， 即 故 15.设随机变量XN（0，2），问：当取何值时，X落入区间（1，3）的概率最大？【解】因为 利用微积分中求极值的方法，有 得,则 又 故为极大值点且惟一。故当时X落入区间（1，3）的概率最大。16.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=（1） 确定常数k；（2） 求PX1，Y3；（3