从力做的功到向量的数量积

1、平面向量数量积的物理背景及其含义学案（一）.目标（1）了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的性质和运算律，并 能运用性质和运算律进行相关的运算和判断；（3）体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。（二）教学过程1. 已经学习了哪几种向量运算？向量运算数学符号运算结果2.两个非零向量a与b的夹角二如何定义？其取值范围是多少?问题1、大力士拉车，沿着绳子方向上的力为，车移动的位移是力和位移的夹角为一，大力士所做的功为多少？问题2、决定功大小的量有哪几个？问题3、力、位移及其夹角分别是矢量还是标量

2、？功是向量还是数量？问题4：由数量积的定义a b二|a|b|cos可知，决定数量积大小的量有哪些?问题5:数量积的结果为数量，数量积的正、负、零有谁决定？（三）巩固定义ffff-*1右1、已知 |a|=5，|b|=4， a与b 的夹角 71 - 120 ， a b =。2、已知正三角形 ABC的边长为1,求：（1 ） AB AC 二； （ 2 ） AB BC 二； （ 3 ）AC BC =；3、依据数量积的定义完成以下问题(a与b是非零向量)。ft"(1) a _ b 二 ；(2) 若 a与 b 同向，贝U a b =；若 a 与b 反向，贝U a b =特别地，a ；(3) cos

3、 八；(4) |a b|a|b|。向量运算数学符号运算结果加法a +b向量减法mAa b向量数乘Zb向量问题6:向量运算中的加法、减法、数乘都有几何意义，数量积运算有没有几何意义？问题7:投影是向量还是数量？其正、负、零由谁决定?问题8、你能从投影的角度解释平面向量数量积的定义a b = |a|b|cos吗?问题9、数量积作为一种运算，有怎样的运算律呢？类比实数乘法运算律，写出数 量积的运算律，并判断对错？运算律实数乘法平面向量数量积交换律ab = baa b = b a结合律(ab)c = a(bc)(a b) c = a (b c)rTfrr©a) b = a Qb) = Ma

4、b)分配律(a +b)c = ac +bc(a + b) c= a c + b c运算律平面向量数量积交换律8-f!> »a b = b a结合律fFTj(丸a)七=a Qb)=丸(a b)分配律(a + b) c = a c + b c（四）典例分析例1、证明:- 2 . .2 2 2(1) (a b)二 a 2a b b ； (2) (a b) (a - b)二 a - b 。例 2、已知 | a |=6 , |b|=4 , a与b 的夹角 v - 60，求(a 2b) (3b)例3、已知|a| = 3 , |b| = 4，且a与b不共线。k为何值时，向量a kb与a -k

5、b互相垂直？（五）巩固练习1、判断下列说法是否正确。（1）0 a= Oa ；（）（2）若a七=0，则a， b至少有一个为零向量；（）（3）若ab 0，则a与b的夹角为锐角；（）（4）若 a c 二 b c c = 0，贝U a = b。（）2、在等腰 ABC 中，AB = AC , BC = 4，则 ba BC 二。3、已知 |a|=6，|b|=4，a 与 b 的夹角）-60，求 |a-b|。（六）课堂小结今天你学到了什么？学生自主完成归纳小结，教师加以补充完善，同时形成本节课的知识结构图，并完 成思想方法的小结归纳。1 .平面向量数量积的定义：a b = |a |b |cos （a = 0,b = 0）2.平面向量数量积的性质：（1）垂直 a _ 6 二 a b = 0 ； （ 2）长度 | a | = . a a = . a? ； （ 3）夹角 cost 二卄匕3 平面向量数量积的几何意义：数量积 a b等于a的长度|a|与b在a方向上的投 影| b |cosv的乘积。4 平面向量数量积的运算律（类比）：（1）交换律：a = b a ；（ 2）结合律：（ a） b = a （ b）二 a b ; （3）分配律：（a b） c = a c b c。（七）作业布置1、必