7.备课资料(3.2奇偶性)

1、备课资料 奇、偶函数的性质(1) 奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.(2) 奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立.(3) f(-x)=f(x)f(x)是偶函数，f(-x)=-f(x) f(x)是奇函数.(4) f(-x)=f(x) ：= f(x)-f(-x)=O,f(-x)=-f(x)：= f(x)+f(-x)=O.(5) 两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数.奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分 母不为零)为奇函数；如果函数y=f(x)和y=g(x)的奇

2、偶性相同，那么复合函数 y=f g(x)是偶函数，如果函数 y=f(x)和y=g(x)的奇偶性相反，那么复合函数y=f g(x)是奇函数，简称为同偶异奇”.如果函数y=f(x)是奇函数，那么 f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)上具有相同的单调性；如果函数 y=f(x)是偶函数，那么f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)上具有相反的单调性.(7) 定义域关于原点对称的任意函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即“、f(x)-f(-x)f(x)f(-x)f(x)=.2 2(8) 若 f(x)是(-a,a)(a>0)上的奇函数，贝U f(0) = 0; 若函数 f(x)是偶

3、函数，则 f(x)=f(-x)=f(|x|)=f(-|x|).若函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数，则有f(x)=0.(设计者：韩双影) 本章复习整体设计教学分析本节课是对第一章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化.本章三部分内容是独立的，但是又相互联系，集合是基础，用集合定义函数，将函数拓展为映射，层层深入，环环相扣，组成了一个完整的整体. 三维目标通过总结和归纳集合与函数的知识，能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力.重点难点教学重点：集合

4、与函数的基本知识 含有字母问题的研究. 抽象函数的理解.教学难点：分类讨论的标准划分. 抽象函数的理解.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.建设高楼大厦的过程中，每建一层，都有质量检查人员验收，合格后，再继续建上一层，否则返工重建.我们学习知识也是这样，每学完一个章节都要总结复习，引出课题.思路2.为了系统掌握第一章的知识，教师直接点出课题推进新课新知探究提出问题 第一节是集合，分为几部分？ 第二节是函数，分为几部分？ 第三节是函数的基本性质，分为几部分？ 画出本章的知识结构图活动：让学生自己回顾所学知识或结合课本，重新对知识整合，对没有思路的学生，教师可以提示按课本的章节标题来分类对于画知

5、识结构图，学生可能比较陌生，教师可以引导学生先画一个本班班委的结构图或学校各个处室的关系结构图，待学生了解了简单的画法后， 再画本章的知识结构图讨论结果：分为：集合的含义、集合间的基本关系和集合的运算三部分 分为：定义、定义域、解析式、值域四部分；其中又把函数的概念拓展为映射 分为：单调性、最值和奇偶性三部分 第一章的知识结构图如图 1-1所示，图1-1应用示例思路1例 1 若 P=x|y=x 2, Q =(x,y)|y=x 2,x R，则必有()A.P nQ = _B.P 三 QC.P= QD.P Q分析：从选项来看，本题是判断集合 PQ的关系，其关键是对集合PQ的意义的理解集合P 是函数y

6、=x2的定义域，则集合P是数集，集合Q是函数y=x2的图象上的点组成的集合， 则 集合Q是点集， PnQ =.一.答案：A点评：判断用描述法表示的集合间关系时，一定要搞清两集合的含义，明确集合中的元素形如集合x|x P(x),x R是数集，形如集合(x,y)|x、y P(x,y),x、y R是点集，数集和点 集的交集是空集变式训练21.2007山东威海一模，文1设集合M= x| x>1 , P=x| x2-6x+9=0，则下列关系中正确的是 ( )A.M=PB.P MC.M PD.Mn P=R分析：P=33>1, 3 M. P M.答案：B2.2007河南周口高三期末调研，理6定义

7、集合 A与B的运算 A*B=x|x A或x B,且x - AQ B,则（A*B）*A 等于（）A.A QBB.A U BC.AD.B分析：设 A=1,2,3,4,B=1,2,5,6,7,则 A*B=3,4,5,6,7，于是（A*B）*A=1,2,5,6,7=B.答案：D点评：解决新定义集合运算问题的关键是抓住新运算定义的本质，本题A*B的本质就是集合A与B的并集中除去它们公共元素组成的集合例2求函数y=x2+i的最小值.分析：思路一：利用实数运算的性质x2>0结合不等式的性质得函数的最小值；思路二：直接利用二次函数的最值公式，写出此函数的最小值 解：方法一（观察法）函数y=x2+i的定义

8、域是R,观察到x2> 0x2+1 > 1.函数y=x2+1的最小值是1.方法二：（公式法）函数 y=x2+1是二次函数，其定义域是x R，则函数y=x2+1的最小值是f（0）=1.点评：求函数最值的方法：观察法：当函数的解析式中仅含有x2或凶或x时，通常利用常见的结论x2> 0,|x| >x）,>0等，直接观察写出函数的最值；公式法：求基本初等函数（正、反比例函数，一次、二次函数）的最值时，应用基本初等函 数的最值结论（看成最值公式），直接写出其最值.3x例3求函数y=飞3匚 的最大值和最小值.x +4分析：把变量y看成常数，则函数的解析式可以整理成必有实数根的关

9、于x的方程，利用判别式的符号得关于 y的不等式，解不等式得 y的取值范围，从而得函数的最值.3x解：（判别式法）由y=二 得yx2-3x+4y=0 ,x +4 x R ,关于x的方程yx -3x+4y=0必有实数根.当y=0时，贝U x=0.故y=0是一个函数值；当yK时，则关于x的方程yx2-3x+4y=0是一元二次方程，则有 =-3）2-4 My2 > 0.2 933-0<y < . < y<0或 0<y.16443 3综上所得， < y W .4 43x33-函数y=三的最小值是，最大值是一.x2 +444ax2 + bx + co点评：形如函数

10、 y= -（d工0）当函数的定义域是 R （此时e2-4df<0 ）时，常用判dx2 +cx+ f别式法求最值，其步骤是把y看成常数，将函数解析式整理为关于x的方程的形式mx +nx+k=0 ;分类讨论 m= 0是否符合题意；当m0时，关于x的方程mx +nx+k=0中有x R，则此一元二次方程必有实数根，得n2-4mk>0即关于y的不等式，解不等式组n - 4mk30,此不等式组的解集与中y的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大0.值和最小值.例42007河南开封一模，文 10函数f(x)=x 2-2ax+a在区间(心，1)上有最小值，则函数f ( x)g(x)=在区间(1,

11、+8)上一定()xA.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数分析：函数f(x)=x 2-2ax+a的对称轴是直线 x=a，由于函数f(x)在开区间(-8 1) 上有最小 值，所以直线x=a位于区间(-8 1 )内，即a<1.g(x)=丄凶=x空-2，下面用定义法判xx断函数g(x)在区间(1, +8)上的单调性.设 1<X1<X2，则 g(x”-g(x2)=(x 1+ -2)-(x 2+ -2)a aaXjX2 a=(X1-X2)+()=(X1-X2)(1)=(X1_X2)_x1x2x1x2x1x2/ 1<X1<X2,A X1-X2<0 , X1X2&

12、gt;1>0.又T a<1,. X1X2>a.X1X2-a>0.二 g(x”-g(x2)<0. / g(x”<g(X2).函数g(x)在区间(1, +8)上是增函数，函数 g(x)在区间(1, +8)上没有最值.答案：D点评：定义法判断函数f(x)的单调性的步骤是在所给区间上任取两个变量X2；比较f(X1)与f(X2)的大小，通常利用作差比较它们的大小，先作差，后将差变形，变形的手段是通 分、分解因式，变形的结果常是完全平方加上一个常数或因式的积(商)等；由中差的 符号确定函数的单调性.注意：函数f(x)在开区间D上是单调函数，则f(x)在开区间D上没 有最

13、大值，也没有最小值.变式训练求函数f(x)= x2 -1的单调区间.分析：函数f(x)是复合函数，利用口诀同增异减”来求单调区间.解：函数的定义域是(-8-1 U 1,+ 8)设 y = . u , U=X2-1 ,当XA0寸，u=x2-1是增函数，y= 一 u也是增函数，又函数的定义域是(-8-1 : U： 1,+ 8)函数f(x)=(X2 -1在1,+ 8上是增函数.当x<0时，u=x2-1是减函数，y= - u也是增函数,又函数的定义域是(-8-1 : U： 1,+ 8)函数f(x)= . X2 -1在(-8,-1 上是减函数，即函数f(x)的单调递增区间是1,+ 8)单调递减区间

14、是(-8-1 点评：复合函数是指由若干个函数复合而成的函数，它的单调性与构成它的函数的单调性有密切联系，其单调性的规律为：同增异减”即复合函数y=f g(x),如果y=f(u) , u=g(x)有相同的单调性时，函数y=f : g(x)为增函数，如果具有相异(即相反)的单调性，则函数y=f g(x)为减函数讨论复合函数单调性的步骤是：求复合函数的定义域；把复合 函数分解成若干个常见的基本初等函数并判断其单调性；依据复合函数的单调性规律口 诀：同增异减”判断或写出函数的单调性或单调区间.注意：本题如果忽视函数的定义域，会错误地得到单调递增区间是0,+ R)单调递减区间是(-R0 其避免方法是讨论

15、函数的性质要遵守定义域优先的原则思路2例 1 集合 A=x|x 2-3x-4=0,B=x|mx-仁0，若 BA，则实数 m =.分析：集合B是关于x的方程mx-仁0的解集，T B5A，二B=；d或B._ .当B= 2二时，关于x的方程mx-1=0无解，则 m=0;1131当 Bm；：=时，x= A，则有(一)2 一 m-4=0 , 即卩 4m2+3m-仁0.解得 m=-1,.mmm41答案：-1,0,-41黑色陷阱：本题任意忽视B=的情况，导致出现错误 m=-1,.避免此类错误的方法是考虑4问题要全面，要注意空集是任何集合的子集.变式训练x + 2兰0已知集合A=x|, B=x|p+1 w x

16、<-2p，若AA B=B，求实数p的取值范围.5 x 兰0"x + 2 3 0分析：理解集合A是不等式组丿'的解集是关键，又 AA B=B说明了 B9A，包含5-0=0和BM0两种情况，故要分类讨论解决问题.解：A=x|- 2< x< 5 T AA B=BB - A. / B= 一 或 B 一 .当 B=.一 时，p+1>2p-1，解得 p<2.p +1 c 2 p _1,当BM0时，则有 p +1狂-2,解得2w pw 3.Zp -1 兰5.综上所得实数p的取值范围是p<2或2w pw即(-m 3 .点评：本题是已知集合运算的结果，求参数

17、的值，解决此类问题的关键是依据集合运算的含义，观察明确各集合中的元素，要注意集合元素的互异性在解决含参数集合问题中的作用； 空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，求解有关集合间的关系问题时一定要首先考虑 空集；要重视常见结论 AA B=B二A U B=A= BA的应用，此时通常要分类讨论解决集合问题， 分类讨论时要考虑全面，做到不重不漏例2求函数y=|x+2|-|x-2|的最小值.分析：思路一：画出函数的图象，利用函数最小值的几何意义，写出函数的最小值；思路二：利用绝对值的几何意义，转化为数轴上的几何问题：数轴上到±2两点的距离和的最小值.4, x 兰一2,解:方法一（图象法）：y

18、-|x+2|-|x-2|- 2x,-2 ：. x : 2, -4,2x,4, xW2,-2<x<2,4,x _ 2.x>淇图象如图1-2所示:由图象，得函数的最小值是-4,方法二(数形结合)：函数的解析式y=|x+2|-|x-2|的几何意义是：y是数轴上任意一点 P到±2 的对应点A、B的距离的差，即y=|PA|-|PB|,如图1-3所示,PAPBP L*-2 0 2图1-3观察数轴，可得-|AB| < |PA|PB| W |AB|即函数y=|x+2|-|x-2|有最小值-4，最大值4.点评：求函数最值的方法：图象法：如果能够画出函数的图象，那么可以依据函数最

19、值的几何意义，借助图象写出最值其步骤是画函数的图象；观察函数的图象， 找出图象的最高点和最低点，并确定它们的纵坐标；由最高点和最低点的纵坐标写出函数的最值.数形结合：如果函数的解析式含有绝对值或根号，那么能将函数的解析式赋予几何意义，结合图形利用其几何意义求最值 其步骤是：对函数的解析式赋予几何意义；将函数的最 值转化为几何问题；应用几何知识求最值4例3求函数y=x+ ,x 1,3的最大值和最小值.x分析：利用函数的单调性来求得函数的最值转化为讨论函数的单调性4解：可以证明当x 1,2时，函数y=x+是减函数，x此时函数的最大值是f(1)=5，最小值是f(2)=4.4可以证明当x 2,3时，函

20、数y=x+ 是增函数，x13此时函数的最大值是f(3)=，最小值是f(2)=4.34综上所得，函数 y=x+ ,x 1,3的最大值为5，最小值为4.x点评：如果能够确定函数的单调性，那么可以利用函数的单调性求函数最值，这种方法称为单调法，主要应用以下结论：函数y=f(x)在区间a,b上是减函数，在区间b,c上是增函数，那么函数 y=f(x)在区间a,c上的最大值是f(a)与f(c)的最大值，最小值是f(b);函数y=f(x)在区间a,b 上是增函数，在区间b,c 上是减函数，那么函数y=f(x)在区间a,c 上的最小值是f(a)与f(c)的最大值，最大值是f(b)单调法求函数最值的难点是确定函

21、数的单调区间，借助于函数的图象，常用单调性的定义来判断，还要靠经验的积累例4求函数y=x4+2x2-2的最小值.解：函数的定义域是R，设x2=t，贝V t > 0.则 y=t2+2t-2=(t+1) 2-3,t 育0则当t=0时，y取最小值-2,所以函数y=x4+2x2-2的最小值为-2.点评：求形如函数y=ax2m+bxm+c(ab工或y=ax+ . bx - c (ab丰的最值时，常用设xm=t或、bx c=t，利用换元法转化为求二次函数等常见函数的最值问题，这种求最值的方法称为换元法.此时要注意换元后函数的定义域.例52007江西金太阳全国第二次大联考，理22定义在(-1 , 1)

22、上的函数f(x)满足：对任意+ 亠x + yx,y (-1, 1)，都有 f(x)+f(y)=f().1 + xy(1)求证：函数f(x)是奇函数； 若当x (-1, 0)时，有f(x)>0 ,求证：f(x)在(-1, 1)上是减函数.分析：(1)定义法证明，利用赋值法获得f(0)的值进而取x=-y是解题关键；(2)定义法证明，其中判定上匚乞的范围是关键.1 -x1x2解：(1)函数f(x)的定义域是(-1, 1),x + y0 + 0由 f(x)+f(y)=f()，令 x=y=0,得 f(0)+f(0)=f() , f(0)=0.1 +xy1+0X X令 y=-x,得 f(x)+f(-

23、x)=f()=f(0)=0,1 -x f(-x)=-f(x). f(x)为奇函数.先证f(x)在(0 , 1)上单调递减，令0<X1<X2<1,则x2 -捲1 -x1x2捲一x2f(x 1)-f(x 2)=f(x 1)+f(-x 2)=f(- )= f(1 -x1x2cX2 一 禺-0<X1<X2<1, X2-X1>0,1-X1X2>0 ,>0.1 -x1x2又(X2-X1)-(1-X 1X2)=(X2-1)(X 1 + 1)<0 ,- 0 V X2-X1<1-X 1X2.-1< 一 X2 -X1 <0.由题意知 f

24、(一 X2 -* ) > 0,1 -x1x21 -x1x2 f(x 1) > f(X2). f(x)在(0 , 1)上为减函数，又f(x)为奇函数， f(x)在(-1 , 1)上也是减函数.点评：对于抽象函数的单调性和奇偶性问题时，必用单调性和奇偶性的定义来解决，即定义法是解决抽象函数单调性和奇偶性问题的通法；判断抽象函数的奇偶性与单调性时，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性，知能训练21.2006 陕西高考，文 1 已知集合 P=x N|1 < x< 1集合 Q=x R|x +x-6=0,贝U PQQ 等于( )A.1,2,3B.2,3C.1,2

25、D.2分析：明确集合P、Q的运算，依据交集的定义求 P=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 , Q =-3,2,贝U PAQ =2.答案：D点评：解决本题关键是集合P是大于等于1且小于等于10的自然数组成的集合，集合Q是方程x2+x-6=0的解集，将这两个集合化简后再运算.2.2006 安徽高考，文 1 设全集 U=1,2,3,4,5,6,7,8,集合 S=1,3,5 , T=3,6,则；：(SU T) 等于()A.B.2,4,7,8C.1,3,5,6D.2,4,6,8分析：直接观察(或画出 Venn 图)得 SU T=1,3,5,6,则：(SU T) = 2,4,7,8.答案：B点评：

26、求解用列举法表示的数集运算时，首先看清集合元素的特征，理解并确定集合中的元素，最后通过观察或借助于数轴、Venn图写出运算结果.3已知二次函数f (x)满足条件f(0)=1和f(x+ 1)-f( x)=2x.(1 )求 f (x)；(2)求f (x)在区间-1, 1上的最大值和最小值.分析：(1 )由于已知f (x)是二次函数，用待定系数法求f (x); (2)结合二次函数的图象，写出最值.解：(1 )设 f (x)= ax2 + bx + c,由 f (0)= 1，可知 c= 1.而 f (x + 1) -f (x) = a (x +1) + b (x+ 1)+ c - (ax + bx + c)= 2ax + a+ b.由 f (x + 1) -f (x)= 2x，可得 2a= 2, a+ b = 0.因而 a= 1, b = -1.故 f (x) = x2-x + 1.1 3(2)T f(x)=x 2-x+ 仁(x- )2+,2 41 3当x -1 , 1时，f (x)的最小值是f( )=, f (x)的最大值是f (-1 )=