安徽师大附中2015-2016学年高一数学下学期期中试卷(含解析)

1、2015-2016学年安徽师大附中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的1 .下列说法正确的是（）(a6+b6)的值为(sinA ).若：丄 ，且 acosB+bcosA=csinC，则角 A, B 的大小分别为()n n 2兀n n n n nA.向量就是：；所在的直线平行于:所在的直线B.C.D.共线向量是在一条直线上的向量长度相等的向量叫做相等向量零向量长度等于 02.已知 L 心 T 丿，；！，则 m=（）A.3.A.C.1:B . C . 2D. - 2在厶 ABC 中，分别根据下列条

2、件解三角形，其中有两个解的是(a=7, b=14, A=30 B. a=20, b=26, A=150a=30, b=40, A=30 D. a=72, b=60, A=1354.A.5.A.6.A.C.7.A.已知向量-,均为单位向量，它们的夹角为60,则|2 - 3 |等于（1B.: C .!D .一个等比数列前 n 项的和为 24,前 3n 项的和为 42,则前 2n 项的和为（36B. 34C. 32D. 30在厶 ABC 中，若 2cosAsinB=sinC，则 ABC 的形状一定是（等腰三角形 B.直角三角形 等腰直角三角形 D.等边三角形i在厶 ABC 中，若 sinA=2sin

3、B , cosC= 】,VeAPe- VeB. C.=/承 C若an为等差数列，_a则，=()S 是其前21n 项和，且 Sn=n, bn为等比数列,JV2b5b?=-，贝Utan9.已知 a, b,cABC 的三个内角A, B, C 的对边，向量!= （- 1,Vs), n = (cosA,* )2A., B ., C., D.,310.某船开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60的方向航行 15Jlkm 后,看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是()A. ISkmB. 30kmC 15kmD 15km11.设正项数列an的前 n 项和为 S,且满足 4S=an2+2an- 3

4、(n N*),则 a2i6=()A. 4029B. 4031C. 4033D. 4035v入wa, 1b)的点 P( x, y)组成的区域.若区域 D 的面积为 4,则 ab - a- b=()A. - 1B.- : C.:- D. 1二、 填空题：本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分.把答案填在答题卡的相应位置13._已知数列an的前 n 项的和为 S=n2- 2n+3,则数列的通项公式为 _ ./ J 14. 已知点 A (- 1 , 1) , B (1, 2) , C (- 2 , - 1), D( 3 , 4),则向量仕在 AB 方向上的投影为_ .15.AABC 的内角

5、AB ,C 的对边分别为 a ,b ,c ,若 A,B , C 成等差数列，a , b , c 成等比数歹U,贝UsinAsinC=.心116. 正项数列an的前 n 项和为 Sn,且 2S=an2+an(n N*),设 6= (- 1)n,则数列I、cn的前 2017 项的和为三、 解答题：本大题共 6 小题，共 52 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答写在答题卡上的指定区域内17.已知，-、同一平面内的三个向量，其中 = (2 , 1).(1 )若|=2!,且/ -,求的坐标；T- T=T(2 )若| ； |=,且-+2 ；与 2 -垂直，求-与；的夹角0.18. 如图，D 是

6、直角三角形 ABC 斜边 BC 上一点，AC= : DC7T(1)若/ DAC= ,求角 B 的大小；12.已知点 A (1 , - 1),B (4, 0) , C ( 2, 2),平面区域D 是所有满足I =入切-+ (14(2)若 BD=2DC 且 AD=2 ,求 DC 的长.519.已知an为等比数列，ai=1, a6=243. Sn为等差数列bn的前 n 项和，bi=1, $=25.(1 )求an和bn的通项公式；(2 )设 Tn=aibl+ a2b2+anbn,求 Tn.20.在 ABC 中，角 A, B, C 对应边分别是 a, b, c, c=2, sin2A+sin2B sin

7、2C=sinAsinB .(1 )若 sinC+sin(B- A) =2sin2A，求 ABC 面积；(2)求 AB 边上的中线长的取值范围.1门+21. 已知数列an满足 a1=9, an+1=an+2n+5;数列bn满足 b1=J, bn+1=“- a，故 B A, A 为钝角，故 ABC 不存在；30T 40对于 C：va=30, b=40, A=30,有 =isinB=，又 ba,故 BA,故 B 可以是锐角, 对于 D：va=72, b=60, A=135 ,bsinA6052由正弦定理得：sinB=：= = 広 又 bva，故 BvA,故 B 为锐角，故 ABC 有唯一解.也可以是

8、钝角，故 ABC 有两个解.7故选：C.【点评】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，三角形的边角关系，正弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值， 熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题.4.已知向量-,均为单位向量，它们的夹角为60,则|2- 3 |等于()A. 1B. C.!D.【分析】将所求平方展开，转化为向量I 一的运算解答.*汨 b二nQR 0 =【解答】解：因为向量-，均为单位向量，它们的夹角为60,所以一 . ,TTfT所以 |2 - 3；|2=令=4+9 6=7,所以 |2 - 3；|=:故选 D.【点评】本题考查了平面向量的运算；有数量积的公式运用属于基础题

9、.5.个等比数列前 n 项的和为 24,前 3n 项的和为 42,则前 2n 项的和为( )A. 36B. 34C. 32D. 30【分析】由等比数列的性质得S, S2n-S, Sn-San仍成等比数列，由等比中项的性质列出方 程代值计算即可.【解答】解：由题意可得 Sn=24, S3n=42 ,TSn, S2n- S , Sn- S2n仍成等比数列，(Sn - S)=Sn( Sin- $n),代入数据可得，(S2n- 24)2=24 ( 42 - S2n)，解得 S2n=36, 故选：A.【点评】本题考查等比数列(公比 q 不为-1 )的性质：Sn, S2n- S, Sn- Sn 仍成等比数

10、列， 以及等比中项的性质，属基础题.6. 在 ABC 中，若 2cosAsinB=sinC，则 ABC 的形状一定是()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形【分析】利用内角和定理及诱导公式得到sinC=sin (A+B),利用两角和与差的正弦函数公式化简，代入已知等式变形再利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到A- B=0,即 A=B即可确定出三角形形状.【解答】 解：在 ABC 中，sinC=sin (A+B) =sinAcosB+cosAsinB , 2cosAsinB=sinC=sinAcosB+cosAsinB，即 sinAcosB - cosAsinB=s

11、in (A- B) =0, A- B=0，即 A=B,则厶 ABC 为等腰三角形.8故选：A.9【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式, 掌握公式是解本题的关键.诱导公式,以及等腰三角形的判定，熟练_a则=()1 sinA=2sinB,cosC=- J , T_1b=a，利用余弦定理，代入可得【解答】解：TsinA=2sinB , a=2b,. b= / a/ cosC=1 ,7.在 ABC 中，若A.: B. C.【分析】利用正弦定理可得a, c 的关系，即可得出结论.2j_ 2 _ 2ac2-7，二=；,2 2 2 a=,_ Vs =1.故选：C.【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，

12、考查学生的计算能力，正确运用正弦、余弦定理 是关键.&若an为等差数列，(a6+b6)的值为(11S 是其前 n 项和，且 Sii=n, bn为等比数列，b5b7=-，则 tan) _ _viviA.-旬：C .D .【分析】分别利用等差数列与等比数列的通项公式性质及其求和公式即可得出.【解答】解：TS11=11 (aj + a!)UTT=11a6=，解得 a6=.i_1兀2/bn为等比解得,10_V3/ tan ( a6+b6)=.故选：C.【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式性质及其求和公式, 计算能力，属于中档题.9.已知 a, b, cABC 的三个内角 A, B,

13、C 的对边，向量 m= (- 1,ME),n =(cosA,sinA ).若 m 丄 n，且 acosB+bcosA=csinC，则角 A, B 的大小分别为()n n 2兀nn nn nA., B ., C., D.,【分析】根据向量数量积判断向量的垂直的方法，可得- cosA+ =sinA=0，分析可得 A,再 根据正弦定理可得，sinAcosB+sinBcosA=sin C,有和差公式化简可得 sinC=sin C,可得 C, 再根据三角形内角和定理可得 B,进而可得答案.【解答】解：根据题意，丄，可得 1 厂.=0,兀即cosA+:sinA=0，可得：2sin(A) =0,n n焉jr

14、 A(0, n ),A- 6 (-6 ,6 ),n解得：A=,又TacosB+bcosA=csinC,由正弦定理可得，sin AcosB+si nBcosA=sin2C,2sinAcosB+sinBcosA=sin ( A+B) =sinC=sin C,/ sinC丰0,可得：sinC=1，又 C( 0,n),兀C= _ ,nB= .故选：A.【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，向量数量积的应用，判断向量的垂直，解题时要注意向量的正确表示方法，属于中档题.10.某船开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60的方向航行 151km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔

15、的距离是()A. 15VkmB. 30kmC 15kmD 15km【分析】 做出示意图，利用正弦定理求出.【解答】解：设船开始位置为 A,最后位置为 C,灯塔位置为 B,考查了推理能力与11则/ BAC=30，/ ABC=120 , AC=1 帥传,121乎二英AC二BCV31_由正弦定理得二_11-：!：._!JLA?，即-,解得 BC=15故选：D.【点评】本题考查了正弦定理，解三角形的应用，属于中档题.11.设正项数列an的前 n 项和为 S,且满足 4S=an2+2an- 3 (n N),贝Ua2016=()A. 4029B. 4031C. 4033D. 4035【分析】 4S=an+

16、2an- 3 (n N), n2时， 利用递推关系化为：(an+an-1) (an- an-1- 2) =0, 由 an+an-10，可得 an- an-1=2,再利用等差数列的通项公式即可得出.【解答】 解：4Sn=an2+2an- 3 (nN),2 n=1 时，4a1= +2a1- 3,又 a1 0,解得 a1=3.n2时，4an=4 (Sn- S-1) =a+2an-3 -(过貞-1 斗一亘真一，化为：(an+an-1)(an-an-1-2) =0,an+an - 10, an- an-1=2,数列an是等差数列，公差为 2，首项为 3.则 a2016=3+2 (2016 - 1) =4

17、033.故选：C.【点评】本题考查了等差数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.v入wa, 1b)的点 P( x, y)组成的区域.若区域 D 的面积为 4,则 ab - a- b=()12.已知点 A (1 , - 1),B (4, 0) , C ( 2, 2)，平面区域D 是所有满足(113丄1A.-1B.-2 C.2D.114【分析】延长 AB 到点 N,延长 AC 到点 M,使得|AN|=a|AB| , |AM|=b|AC| ,作 CH/ AN BF/ AM NG/ AMMG AN则四边形 ABEC ANGM EHGF 均为平行四边形.由题意可知：点 P (x

18、, y) 组成的区域 D 为图中的四边形 EFGH 及其内部利用向量的夹角公式可得_4利用四边形 EFGH 的面积 S=(a- 1) X(b - 1)X X1=4,求出 ab- a- b 的值即可.【解答】解：如图所示：G1/0JA延长 AB 到点 N,延长 AC 到点 M 使得 |AN|=a|AB| , |AM|=b|AC| ,作 CH/ AN BF/ AM NG/ AM,MG/ AN 则四边形 ABEC ANGM EHGF 均为平行四边形.由题意可知：点P (x, y)组成的区域 D 为图中的四边形 EFGH 及其内部.=(3,1) , =(1, 3) , 1 .= (2,2),|= ,|

19、= ,|=2 ：,AC-AB I = 一 * J,sinZCAB=,_4四边形 EFGH 勺面积 S=(a-1)X(b-1)X X1=4,_1 _1( a- 1) ( b- 1)=三，即 ab- a- b=-三故选：B.【点评】本题考查了向量的夹角公式、数量积运算性质、平行四边形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分.把答案填在答题卡的相应位置13.已知数列an的前 n 项的和为 S=n2- 2n+3,则数列的通项公式为 _2 n=lan.n12nu3 f【分析】首先根据 S=n2- 2

20、n+3 求出 a1的值，然后利用 an=S - S-1求出当 n 2 时，an的表达 式，然cos / CAB= I -| ,/ cos / CAB=15后验证 a1的值，最后写出 an的通项公式.16【解答】解：TSn=n2-2n+3,ai=2,2 2an=SnSn-i=n2n+3(n1)2(n1)+3=2n3(n1),/当 n=1 时，ai= 1 工 2,2 n=ln殳门j 3： tvl,2?n=l【点评】本题主要考查数列递推式的知识点，解答本题的关键是利用 行解答，此题难度不大，很容易进行解答14.已知点 A ( 1 , 1), B (1, 2) , C ( 2 , 1), D( 3 ,

21、 4),则向量 d 在歩方向上的投【分析】根据向量的坐标公式以及向量投影的定义进行求解即可. 【解答】解：点 A ( 1 , 1) ,B (1, 2), C ( 2, 1) , D ( 3 , 4),故答案为：1.【点评】本题主要考查向量投影的计算， 根据向量投影的定义以及向量数量积的公式进行求解是解决本题的关键.Jf15.AABC 的内角 AB , C 的对边分别为 a ,b , c ,若 A,B ,C 成等差数列，a ,b , c 成等比数列，贝UsinAsinC= ZjvS【分析】 依题意， 可求得 B=,利用正弦定理即可求得 sinAsinC ;另解，求得 B=,利 用余弦定理：=co

22、sB 可求得a n故答案为n口1.an=Sn Sn -1(n2)进向量1.= ( 5 , 5), 出=(2 ,1),则向量在方向上的投影为15=72 2 ,a +c - ac=ac，从而可求得答案.A, B, C 成等差数列，1另解：b2=ac , 2 =cosB=a2+ c2 _b2a+c ac.1,(6 分)17【解答】解： ABC 中，.2B=A+C 又 A+B+Cn,HB= j , ( 6 分)sinAsinC=sin2B=；( 12 分)又b2=ac,18由此得 a2+c2 ac=ac, 得 a=c,2所以 A=B=C sinAsinC= 4.(12 分)【点评】本题考查正弦定理与余

23、弦定理， 熟练掌握两个定理是灵活解题的关键，属于中档题.16.正项数列an的前 n 项和为 Sn,且 2Sn=an2+an(n N*),设 Cn= ( 1)nn ，则数列289Cn的前 2017 项的和为_二二_ .【分析】利用 an=Sn S 1判断an为等差数列，得出an的通项公式，从而得出 Cn的通项公式，使用列项法求和.【解答】 解：当 n=1 时，2a1=a12+a1,：a1=1 或 a1=0 (舍).2 2当 n 时，2an=2Sn 2Sn - 1=an+an an- 1 an - 1,an+an-1工 0, an an-1=1 ,an是以 1 为首项，以 1 为公差的等差数列.

24、an=n,2S=n2+n.JL 2 a n+an -1=a2an - 1=(an+an- 1) (an an - 1).19设 Cn的前 n 项和为 Tn,12019则 T2017= 1 ： ：+；：= 1 r.：=*：_ 2019故答案为：莎 IT【点评】本题考查了等差关系的判定，等差数列的通项公式及裂项求和，属于中档题.三、解答题：本大题共 6 小题，共 52 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答写在答题卡上的指定区域内17.已知， -、 、r-(1 )若|=2 匚，且 / ，求的坐标；VBy tN TT T(2 )若| ； |= ，且-+2 ；与 2 垂直，求-与；的夹角0.【

25、分析】(1): /),根据向量的平行和向量的模得到关于可，(2)根据向量的垂直和向量的夹角公式，即可求出.【解答】解：(1)x, y 的方程组，解得即20：， ” .：., x2+y2=20. x- 2y=0, x=2y,由j= - 4或= (- 4, 2)或，=(4, 2)(2)厲兀；一辽；?)._ L -u一匚 . LC；b Z将ll|=/5. lb |誓代入&)式得2 X5+ 3；江-2x矜爲 A 号JA、-?r&価又HB.应jf * 0 =n .【点评】 本题考查平面向量的坐标运算和数量积判断两个平面垂直的条件的灵活运用,础题.解题时要认真审题，仔细解答.是基18.如图

26、，D 是直角三角形 ABC 斜边 BC 上一点,(1) 若/ DAC= ，求角 B 的大小；(2) 若 BD=2DC 且 AD=S，求 DC 的长.AC= : DC(2 )根据余弦地理和同角的三角函数的关系即可求出.21AC二DC【解答】 解：(1)在厶 ABC 中，根据正弦定理，有 LU二山一曲22s i nX ADCDACZADC=ZB+ZBAD= ZB+-斗-Zc=兀-葺J ;(2)设 DC=x 则 =2x, BC=3s* AC=/5 码.吕 i 迪 AF=/52在厶 ABD 中，AE2=AB+BE2- 2ABBDcosB(師)2 二&/+牡 2 边乂娓讼力 X 寥=2 工 即M

27、得一 ？.故亍【点评】 本题考查了正弦定理余弦定理的应用，以及解三角形的问题，属于中档题.19.已知an为等比数列，ai=1, a6=243. Sn为等差数列bn的前 n 项和，bi=1, $=25.(1 )求an和bn的通项公式；(2)设 Tn=aibi+&b2+anbn,求 T .【分析】(1)根据等差数列，等比数列的通项公式，求和公式列方程解出公差与公比，得出 通项公式；(2 )使用错位相减法求和.【解答】 解：(1)设an的公比为 q,数列bn的公差为 d,5X455-a6=a1q =q =243, S=5b1+=5+10d=25,解得 q=3, d=2.二护 T戕-.bn=1

28、+2 (n - 1) =2n- 1.(2 )Tn=a1+a2b2+anbn,.Tfl XI十3%3+5乂32+fX 3，+ (2n-3) X 3旷+(2n-3旷1 ?T.L丄和汀 三5丁广： 一一 二:-J-. C?r - .1- :?1-2Tn=l+2C3+32+ + 3n_1)亠(2n-l)X3r Tn=(n-1)X3n+1.【点评】本题考查了等差数列，等比数列的性质，错位相减法数列求和，属于中档题.兀_JX_TT,-得:232 2 220.在 ABC 中，角 A, B, C 对应边分别是 a, b, c, c=2, sin A+sin B sin C=sinAsinB .(1 )若 si

29、nC+sin (B A) =2sin2A，求 ABC 面积；(2)求 AB 边上的中线长的取值范围.【分析】(1)已知等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosC,将得出关系式代入求出 cosC 的值，确定出 C 的度数，sinC+sin (B- A) =2sin2A 化简后，根据 cosA 为 0 与 cosA 不为 0 两种情况，分别求出三角形ABC 面积即可；_iCA+CB(2)根据 CD 为 AB 边上的中线，得到 ， 两边平方并利用平面向量的数量积运算 法则变形得到关系式，利用余弦定理列出关系式，将 计算即可确定出|CD|的范围.【解答】 解：(1)由 sin2A+Sin2B-

30、 sin2C=sinAsinB，利用正弦定理化简得:则|CD|的范围为(1, 打【点评】此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，熟练掌握定理是解本题的关 键._1 n+l_21.已知数列an满足 a1=9, an+1=an+2n+5;数列bn满足 b1= , bn+1=y_bn(n1). (1 )求 an, bn；cosC 与 c 的值代入得到关系式，代入2 2 2a +b - c =ab,(，亠/-F ab1COSC=I_：.=：,即 C=,/ sinC+sin(B- A) =sin(B+A)/ sin BcosA=2s in AcosA,n23当 cosA=0, 即卩 A=云，此时SAABC=;当COSAM0,得到 sinB=2sinA，利用正弦定理得：b=2a,此时此时JiL Fk一玄+屁(2)T=二,2. 2q 71a +b +2abcos2丄=2丄v_ 3鸟土曰b |CD|2=:=-1也S*/COSC= , c=2,由余弦定理得：c2=a2+b2- 2abcosC,即 a2+b2- ab=4,子+