线性代数与解析几何：第4章 第3－5节 n 维向量

1、第三节 等价向量组1212:,:,stAB 若向量组中每一个向量都可以由向量组线性表示则称向量组则称向量组A可以由向量组可以由向量组B线性表示线性表示等价向等价向量组量组两个向量组可以两个向量组可以互相线性表示互相线性表示判断：是否任何一个判断：是否任何一个n维向量组都可以维向量组都可以 由由n维基本单位向量组线性表示？维基本单位向量组线性表示？判断：是否判断：是否n维基本单位向量组可以由维基本单位向量组可以由n维向量组线性表示？维向量组线性表示？设设 A,B,C 都是都是 n 维向量组维向量组(2) AB(1) 每个向量组都与自身等价BA(3) ,AB BCAC定理定理定义定义5：极大线性无

2、关组：极大线性无关组111 AnAAAAA维向量是组 的部分向量组 线性无关的最最大大线线性性无无关关组组 11 AAA1线性无关；2将 中任意其它向量加入 后得到 线性相关向量组.12112()mrAArmA向量组的部分向量组是 的最大线性无关组: , ,: , ,1212rankrankrmr , , , ,证明证明定理定理证明证明12112,),)rmrAA 是 的最大线性无关组rank(rank(212, (),(,1), ,)iiririijjjjmmrrimc rimjrc 11 若任取可表示成的线性组合存在数使在矩阵(中1222(), ,),) ,irrimiranArimkra

3、nkr 111 线性无关， 且对任意线(性相关， 条条件件成成立立1 1可可知知A A 是是A A的的最最大大线线性性无无关关组组2222,),0,),),)mmrr0,mrrankrank0,r,00 1111(后面的列全变成 ，所以(，(ijij 把把第第j j列列乘乘以以- c- c 加加到到第第i i列列上上去去， 1212:,1 rank2mm向量组的任意包含 个向量的线性无关部分 向量组都是 的最大线性无关组任意最大线性无关组包含相同个数的向量A , , , , AArr定理定理3证明证明1若部分向量组 线性无关，包含 个向量Ar1是 的最大线性无关组AA12rankm因为 的任意

4、最大线性无关组都恰好包含个向量A , ,1的向量组成的矩阵秩为Ar证明证明1212Tmm 矩阵的秩它的列向量组的秩.又因 的秩等于的秩， 矩阵 的秩它的行向量组的秩.A= , ,= , ,AAA=12:mA , ,向向量量组组的的秩秩它它的的最最大大线线性性无无关关组组所所包包含含向向量量的的个个数数只只含含零零向向量量的的向向量量组组的的秩秩定定义义为为0 0由定理由定理3 3可知可知定理定理43），（），（），（），（一个极大无关组与秩练习：求下面向量组的14011313021512012211432120112200000051202211211122005120512022111311

5、4011130251202211)(4321A设：利用求矩阵的秩来求解. 秩为3,.,4 , 2 , 1421421一个极大无关组为线性无关中对应行线性无关 第A 最后Q有有齐齐次次线线性性方方程程组组11 1122121 122221 122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxax（ ） 4212,Tijnm nAaXx xx记,0AX 方方程程解解是是一一个个n n维维向向量量齐线组次次性性方方程程齐次线性方程组的解的性质.1212,0,XXAXc c都是的解，是任意数1122c Xc X也是方程组的解.线性组合112211221122c Xc Xc AX

6、c AXc Xc X证明：因为A= .所以也是方程0+0 0组的解. 12,sXXX1线性无关 12,sXXX2 任意一个解可由线性表示12,sXXX解称为为方方程程组组的的一一个个基基础础解解系系基础解系是向量组极大无关组概念的引申。 rank.rnnr设 是齐次线性方程组 42 的系数矩阵若，那么它有基础解系且任意一个基础解系包含个解AA-1-10000rrmnAXEE存在 阶可逆矩阵 和 阶可逆矩阵 ，使于是，方程等价于（）Q0 PAQ =00 PQ X = 0. 4.13P P定理定理证明证明-1-1-11-12122000,.rnrE因可逆，方程 42 等价于 （ ）把分块: 那么，

7、43 等价于也就是说，方程的通解为其中，是任意维向量PQ X = 0. 43Q XYQ X =YY = 0. AX = 00 X = QYY00r+1r+2n12nr+1r+2nr+1r+2n-rnAXcAX的任意解 都是向量的线性组合又因 可逆，线性无关，因此也线性无关，所以是的一个基础解系.XQQQQQQQQQQQQQ1212100.nr+1r+2n-rnn rc cccccccX =,QQQ12n 设 的列向量是，QQ ,Q ,QT212n-rc ccY,0A rank( )rank( )nn若，其中矩阵 有 列，证明：。AB =AB好例子！好例子！证 rank,rank. rs设：则B

8、 B的的每每一一列列都都是是方方程程AX = 0AX = 0的的解解. .ABBS线性无关的，而矩阵 所对应的列向量组包含在解集中。，既然。AX = 0AX = 0的的基基础础解解系系包包含含n-rn-r个个解解AX = 0AX = 0的的B B中中至至多多有有n-rn-r个个线线性性无无关关向向量量B B中中至至多多有有 个个线线性性无无关关向向量量s sn-rn-r，即即r+sr+sn.n.设有非齐次线性方程组11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb1212,TTijmmm nAabb bbXx xx非齐次线

9、性方程组非齐次线性方程组AXb （41）（41） 121212121 1 若若X ,XX ,X 是是 4141 的的两两个个解解，则则= X - X= X - X 是是对对应应的的齐齐次次方方程程组组AX = 0AX = 0的的解解； * * *2 2 若若X X 是是 4141 的的一一个个特特解解，是是对对应应齐齐次次方方程程组组的的通通解解，那那么么 4141 的的通通解解为为X =X =+ X+ X证证 121AXbAXb由和得12120,AA XXAXAX0AX所以 是的解.性质性质 *11*00XXXAXXAX1112 若是 41 的任意一个解，由 1 知是的解，所以含于通解中（即

10、可由 中所含的任意常数取特定值而得到）41 的任意解可写成的形式，这里 是的通解.0AX若 是的通解，则*AXAAXb*XAXb所以是的解，综合上述知*XX是 4.16 的通解.反之反之子子空空间间的的概概念念VVn 设 是的某个非空子集，若 对向量加法与数乘封闭，即满足：R R ,VV 1,有； 2.VVn，有R RVn称 是的线性子空间R R|0,WX AXXnR Rn是的子空间.R R证证1212,XXW n设，,由定理4.10知R R1122.XXW0WWn又，是的子空间R R0Am nAX设 是矩阵，则方程的解集;例子例子经典例题呀：经典例题呀：, 2 , 1|2211miRkkkk

11、Limm 证明：证： , L， Rmmkkk 2211mmkkk 2211Ln是的子空间。R R12r设有向量组， ，则所有可由这个向量组线性表示的向量组成集合)()(22112211mmmmkkkkkk mmmkkkkkk )()()(222111)(2211mmkkk mmkkk )()()(2211 L 是一个向量空间是一个向量空间LL注意：注意：, 2 , 1|2211miRkkkkLimm 称为由 1, 2, , m 生成的向量空间，记为 L ( 1, 2, , m )对于向量nmR,21则1.2. 对于mn矩阵A的列向量组 1, 2, , n Rm。称 L ( 1, 2, , n

12、)为A的列空间，记为 N (A)。A的行向量组 1, 2, , m Rn，称 L ( 1, 2, , m )为 A 的行空间，记为 N (AT)。1212,rsLL ， ， AB2 向量组 与向量组 等价1212,rsLL ， ， 1212 :,rsAB 1：， ，可用线性表示定理定理12:rAVVA设向量组， ，是子空间 中的线性无关组，且 中任意向量是向量组 的线性组合，称.向向量量组组A A为为子子空空间间V V的的一一组组基基 VArVrrVn若的子空间 的一组基 包含 个向量，称 是维子空间， 称为 的.R R维维数数子子空空间间 0 0 的的维维数数定定义义为为0 0子子空空间间的

13、的基基、维维和和向向量量坐坐标标基基维维 12 , 0|0, n rAXWX AXrank ArnnrWWWnrXW nn方程的基础解系包含个线性无关解 记为中任意向量是解集是的子空间它们的线性组合基础解系构成的一组基中任意个线性无关解都是一组基也是方程的一组基础解系.RRRR例子例子112233123233|,1,2,0,2,3,1,1, 1, 1TTTVxxxx x xV 1设，其中，证明 是的子空间，且求它的一组基.n nR RR R123123123, ,nVLV Q它是的子空间。为求 的一组基，只要求出与等价的一个线性无关组求出的一个最大线性无关组n nR R证证例子例子由12312

14、1121,231011,011000 12123,V 是的一个最大线性无关组，也就是 的一组基.12121212,nV V VVVVVV若都是的子空间，则 的维数的维数，等号当且仅当成立.n nR R证12121212212,:,:,.rsV VrsABVVAVABArsVVrs 设的维数分别为 和 ，且向量组和分别是 和的一组基.因向量组的每个向量属于，所以向量组 可用向量组 线性表示.又因 线性无关，因而若,显然定理定理112122,rsVLLV ， ，12rVV设， ，是子空间 的一组基，则 中任意向量可以唯一地表示为基向量的线性组合，这就引出向量坐标的概念.22rsAVsV反之，若，则向量组 是中包含 个向量的线性无关组，因而也是的一组基.由由此此可可知知，A A与与B B等等价价12nrVV设， ，是子空间 的一组基，则中任意向量 可唯一地表示为R R1 122nnx ax ax a12,)Tnx xx有序数组( 称为向量 在这组基下的