理论力学--动力学习题+答案课件

1、理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程FdtvdmbFdtdvma.,.( )A、a、b都正确； B、a、b都不正确。C、a正确，b不正确；D、a不正确，b正确。vnFM (2)重量为G的汽车，以匀速v驶过凹形路面。试问汽车过路面最低点时，对路面的压力如何 ? （ ） A、压力大小等于G； B、压力大小大于G。 C、压力大小小于G； D、已知条件没给够，无法判断。【思考题思考题】 1 1选择题选择题 （1）如图所示，质量为m的质点受力F作用，沿平面曲线运动，速度为v。试问下列各式是否正确？AB理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程 （3）质量为m的质点，

2、自A点以初速度v0 向上斜抛。试问质点在落地前，其加速度加速度大小、方向是否发生变化？（空气阻力不计） （ ）A、加速度大小不变、而方向在变化。B、加速度大小在变化、而方向不变。C、加速度大小、方向都在变化。D、加速度大小、方向都不变化。2 2判断题判断题 （1）质点的运动方程和运动微分方程的物理意义相同.（ ）D运动方程是位移与时间关系方程；运动微分方程是位移微分与力关系方程。运动方程是位移与时间关系方程；运动微分方程是位移微分与力关系方程。加速度始终为重加速度始终为重力加速度力加速度g。（2）已知质点的运动方程可唯一确定作用于质点上的力。（ ）已知作用于质点上的力确定质点的运动方程时还需考

3、虑运动的初始条件。已知作用于质点上的力确定质点的运动方程时还需考虑运动的初始条件。（3）已知作用于质点上的力可唯一确定质点的运动方程。（ ）理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程mLmvpC61)6(12122LmmLJLOO291mL22218121mLJTO223mRJLOO2224321mRJTOmRp mvp 221mRJLCC2224121mRmvT 例例11-1 基本量计算基本量计算 (动量，动量矩，动能动量，动量矩，动能)CrCCOLvmrL223mRJRmvLCO理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程质量为质量为m长为长为l的均质细长杆，

4、杆端的均质细长杆，杆端B端置于水平面，端置于水平面，A端铰接于质量为端铰接于质量为m，半径为，半径为r的轮的轮O边缘点边缘点A, ,已知轮沿已知轮沿水平面以大小为水平面以大小为 的角速度作纯滚动的角速度作纯滚动，系统的动量大小为（，系统的动量大小为（ ），对），对点点P的动量矩大小为的动量矩大小为 （ ），系统动能为（，系统动能为（ ）。）。 图示行星齿轮机构，已知系杆图示行星齿轮机构，已知系杆OA长为长为2 2r，质量为，质量为m，行星齿轮可视为均质轮，行星齿轮可视为均质轮，质量为，质量为m，半径为，半径为r，系杆绕轴，系杆绕轴O转动转动的角速度为的角速度为 。则该系统动量主矢的大。则该系统

5、动量主矢的大小为（小为（ ），对轴），对轴O的动量矩大小的动量矩大小为（为（ ），），系统动能为（系统动能为（ ）。）。 mr32313mr22311mr03mr0227mr202411mrAO 理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程【解】【解】因为按图示机构，系统可分成3个刚块：OA、AB、和轮B。首先需找出每个刚块的质心速度： （1）OA作定轴转动，其质心速度在图示瞬时只有水平分量 ，方向水平向左。1121lvcxA AB BO O 如图所示系统中，均质杆OA、AB与均质轮的质量均为m，OA 杆的长度为l1，AB杆的长度为l2，轮的半径为R，轮沿水平面作纯滚动。在图示瞬

6、时，OA 的角速度为，则整个系统的动量为多少？例例9 94 4（2）AB作瞬时平动，在图示瞬时其质心速度也只有水平分量 ，方向水平向左。12lvvAcx理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程（3）轮B作平面运动，其质心B的运动轨迹为水平直线，所以B点的速度方向恒为水平，在图示瞬时 ，方向水平向左。1lvvAB所以0yp)(251321mlmvmvmvpxxxx所以125mlppx方向水平向左A AB BO O理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程【解】【解】01 cvc 例例95在静止的小船中间站着两个人，其中甲m150kg，面向船首方向走动1.5m。乙

7、m260kg，面向船尾方向走动0.5m。若船重M150kg，求船的位移。水的阻力不计。 受力有三个重力和一个水的浮力，因无水平力，水平方向质心运动守受力有三个重力和一个水的浮力，因无水平力，水平方向质心运动守恒，又因初始静止，即恒，又因初始静止，即常数cx把坐标原点放在船的质心的初始位置：把坐标原点放在船的质心的初始位置： 01Cxgm1gm2gMy ygM尾尾首首甲甲乙乙gm2甲甲乙乙xxxgm1设当经过设当经过t时间后，船向右移动时间后，船向右移动x，则：，则： 0)5 . 0()5 . 1(21212MmmxmxmMxxc21CCxx0)5 . 0()5 . 1(21xmxmMx)(17

8、3.026075305 .15 .02112实际应向左位移mMmmmmx理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程把坐标原点放在船的左侧位置：把坐标原点放在船的左侧位置： gm1gm2gMy ygM尾尾首首甲甲乙乙gm2甲甲乙乙xxxgm1设当经过设当经过t时间后，船向右移动时间后，船向右移动x，则：，则： MmmxlmxlmxlMxc21212)5 . 02()5 . 12()2(21CCxx0)5 . 0()5 . 1(21xmxmMx)(173.026075305 .15 .02112实际应向左位移mMmmmmx222221211lmmMlmlmlMxc理论力学电子教程理

9、论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程例例9-9 9-9 如图所示，均质杆AB长为l，铅垂地立在光滑水平面上，求它从铅垂位置无初速度地倒下时，端点A的轨迹。【解】【解】0 xF因此，沿x轴方向质心位置应守恒，质心C始终在y轴上，A点的坐标可表示为：cos2coslACxA sinsinlAByA 消去 ，得：2224lyxAA即A点的轨迹为椭圆。CCA AB BBA建立oxy：并令y轴通过质心，则 且有AB杆初始静止，理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程系统的动量矩守恒。 , 0)()(rPrPFmBAeO0常量 rvmrvmLBBAAo)(2vvA猴A与猴B向上的绝对

10、速度是一样的,均为 。2v已知：猴子A重=猴子B重，猴B抓住绳子由静止开始相对绳以速度v上爬，猴A抓住绳子不动，问当猴B向上爬时，猴A将如何运动？运动的速度多大？（轮重不计）例例104【解】vvvvvvABreB)(2vvvvAB理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程OCCrxy(a)【解解】 （1）用动能定理求角速度。01T例例11-5 如图所示，质量为m，半径为r的均质圆盘，可绕通过O 点且垂直于盘平面的水平轴转动。设盘从最高位置无初速度地开始绕O轴转动。求当圆盘中心C和轴O点的连线经过水平位置时圆盘的角速度、角加速度及O处的反力。2222220243)21(2121m

11、rmrmrJTmgrW 12，得由1212WTTmgrmr04322rg34（2）当OC在同一水平位置时，由动量矩定理有：mgrdtdJO代入JO，有rg32理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程gmCaOxFnCaOyFC(b)（3）求O处约束反力作圆盘的受力分析和运动分析，有由质心运动定理，得mgFFmaOxOxnC3434342grgrranCgraC32mgFFmgmaOyOyC31法二：用动能定理求角速度及角加速度。01T2222220243)21(2121mrmrmrJT)cos1 (12mgrW，得由1212WTT(*)cos1 (04322mgrmr)cos

12、1 (34rg两边对（*）式求导sin232mgrmrsin32rg理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程例例11-3 图示的均质杆OA的质量为30kg，杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态。设弹簧常数k =3kN/m，为使杆能由铅直位置OA转到水平位置OA，在铅直位置时的角速度至少应为多大？解解：研究OA杆)(212 . 1222112kPW)22 . 14 . 2(03000212 . 18 . 93022) J (4 .388（1）OA杆所受外力的功：杆所受外力的功：2020218 .284 . 2303121T02T（2） OA杆杆的动能：的动能：1212WTTrad/s

13、67. 30（3）对）对OA杆杆应用动能定理：应用动能定理： 4 .3888 .28020理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程如图所示，均质杆AB质量为m，长为l，由图示位置（ ）无初速度地倒下，求该瞬时A端所受到地面的约束反力。CCA AB B045理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程例例10-13 如图所示均质细长杆，质量为M，长为l，放置在光滑水平面上。若在A 端作用一垂直于杆的水平力F，系统初始静止,试求B端的加速度。ACBxyF(a)理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程细长杆作平面运动，欲求aB, 则必先求ac,由基点

14、法应用平面运动微分方程,FaMc2ClJFxACByFCaBCanBCaBa62CFlFJMl将、代入中，得62( )2BF lFFaMlMM 【解解】2laBCMFaCnBCBCCBCCBaaaaaa022lanBC理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程例例3 均质圆柱体A和B的重量均为P，半径均为r，一绳缠在绕固定轴O转动的圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上，绳重不计且不可伸长，不计轴O处摩擦。求求（1） 圆柱B下落时质心的加速度。（2） 若在圆柱体A上作用一逆时针转向的转矩M，试问在什么条件下圆柱B的质心将上升。理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程

15、选圆柱B为研究对象rTrgPB212TPagPC（2）运动学关系：BAreCrraaa（4）TrrgPA221（1）解：（1）选圆柱A为研究对象由（1）、（2）式得：BA 52rgBAgaC54 代入（3）、（4）并结合（2）式得：（3）理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程选圆柱B为研究对象rTrgPB212PTagPC（2）运动学关系：TrMrgPA221（1）（2）选圆柱A为研究对象由（1）（4）式得：2Pr5Pr24ggMB（3）2Pr5Pr26ggMAPr5Pr)2(2Pr5Pr42MgggMaC当M 2Pr 时， ，圆柱B的质心将上升。0CaBAreCrraaa

16、（4）理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程由动量矩定理：rPMMrgPrvgPrgPdtdeOBCA2)222()(22rPMrgPragPrgPBcA222222(5)补充运动学关系式：BACrra代入(5)式，得 ; 222rPMargPargPCC当M 2Pr 时， ，圆柱B的质心将上升。0Ca（2）也可以取整个系统为研究对象BCAOrgPrvgPrgPL22222rPMMeO2)(grPrPMaC5)2(2 理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程例例11-6 图示系统中，均质圆盘A、B各重P，半径均为R，两盘中心线为水平线，盘B作纯滚动，盘A上

17、作用矩为M(常量)的一力偶；重物D重Q。问重物由静止下落距离h时重物的速度与加速度以及以及AD段、段、AB段绳拉力段绳拉力。(绳重不计，绳不可伸长，盘B作纯滚动。)解解：取整个系统为研究对象)/( 12RhQhMW01T（1）整个系统所受力的功：）整个系统所受力的功：（2）系统的动能：）系统的动能：)2121(212122222BCCAOJvgPvgQJT 22222232121221BARgPvgQRgP这里这里RvRvBA2,)78(162PQgv理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程1212WTT )(0)78(162hQRMPQgv上式求导得： dd)(dd2167

18、8thQRMtvvgPQPQgQRMa78)/(8（3）对系统应用动能定理：）对系统应用动能定理：PQhgQRMv78)/(4 )dd( thv TADDFQagQAD段绳拉力段绳拉力QaFDTADgQAB段绳拉力段绳拉力MRFFRTABTADA)(2gP2RaRaAAATADTABRRMFF2gP理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程解法二解法二：也可分别取研究对象TADFQagQD：这里这里RadtdAAMRFFRdtdTBTAA)()(22gPA：RFFRdtdCSTBB)()(22gPB：CSTBCFFagPRadtdBB22aRaBC理论力学电子教程理论力学电子教

19、程第八章 质点的运动微分方程例例11-7 重G2=150N的均质圆盘与重G1=60 N、长l=24 cm的均质杆AB在B处用铰链连接。求（1）系统由图示位置无初速地释放。求求AB杆经过铅垂位置B点时的速度、加速度及支座A的约束力。思考：若思考：若轮与杆焊接结果又如何？若轮与杆焊接结果又如何？若AB杆上还受力偶矩杆上还受力偶矩M=100 Nm作用结果又如何？作用结果又如何？解：解：（1）取圆盘为研究对象）取圆盘为研究对象; 0)F(MB 0BBJ根据相对质心的动量矩定理根据相对质心的动量矩定理0 B所以00B结论：圆盘B做平动，杆AB做定轴转动。理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动

20、微分方程（2）用动能定理求速度）用动能定理求速度。22222121BAvgGJT2212222163213121BvlBABvgGGvgGlgGBAB)30sin)(2()30sin()30sin22(212112llGGllGllGW1212WTT)30sin)(2(06321221llGGvgGGB代入数据，得m/s 58. 1Bv取系统研究。初始时T1=0 ，最低位置时：理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程（3）用动量矩定理求杆的角加速度 。)31(312221221lgGlgGvlgGlgGLA由于0)(dd)e(FMtLAA所以 0 。杆质心 C的加速度：)0(

21、22CnCCalaa )0(2BBBalaa nrad/s 58. 624. 058. 1lvB盘质心加速度：（4）由质心运动定理求支座反力，）由质心运动定理求支座反力，研究整个系统。AxtBtCFagGagG0212122212GGFlgGlgGAy代入数据，得N 401, 0AyAxFFxCCxFmmxmxmmmxmma )(21221121 2211yCCyFymymymma 理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程例例11-4 两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示；OA杆质量是AB杆质量的两倍，各处摩擦不计，如机构在图示位置从静止释放，求当OA杆转到铅垂位置时，AB杆B

22、 端的速度。mgmgmgW35. 1)15. 06 . 0(29 . 021201T)2121(9 . 0322122222CCCAJmvmTBCAAvvv9 . 0mgmvC35. 10652解解：取整个系统为研究对象运动学方面运动学方面得代入到所以1222 65W12TTmvCT注意到注意到OA转到铅垂位置转到铅垂位置AB作瞬时平动作瞬时平动m/s98. 3 CBvv理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程【思考与讨论思考与讨论】 1 1选择题选择题 （1）如图所示，半径为R，质量为m的均质圆轮，在水平地面上只滚不滑，轮与地面之间的摩擦系数为f。试求轮心向前移动距离s的过

23、程中摩擦力的功WF。 （ ）A WF=fmgs B WFfmgsC WF=Fs D WF=0MCWvNFFsD理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程(2)如图所示，楔块A向右移动速度为v1,质量为m的物块B沿斜面下滑，它相对于楔块的速度为v2，求物块B的动能TB。（ ）222122vmvmTBA.sin)cos(2222221vvvmTBD.221)(2vvmTBC.222vmTBB.DAB1v2v理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程（3）如图所示，质量可以忽略的弹簧原长为2L，刚度系数为k，两端固定并处于水平位置，在弹簧中点挂一重物，则重物下降x路程

24、中弹性力所作的功 。（ ）A.)(022212LxLkWB.)(0221222LxLkWC.)(02221222LxLkWD.)(02221222LxLkWABCxLkLC2)(2021)(212212222221LxLkkW)(0421221222LxLk理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程（4）如图所示，平板A以匀速v沿水平直线向右运动，质量为m，半径为r的均质圆轮B在平板上以匀角速度朝顺时针方向滚动而不滑动，则轮的动能为（ ）A.222232121mrmvTB.2222121)(21mrrvmTC.222212121mrmvTD.2222121)(21mrrmTBO

25、rv理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程3 3如图所示，重为G的小球用两绳悬挂。若将绳AB突然剪断，则小球开始运动。求小球刚开始运动瞬时绳AC的拉力及AC在铅垂位置时的拉力。 GABC)cos23 (;cos21GFGFTT答案：答案：sinGlgGFmacos12GFvgGFmaTnncos0cos21GGvgGFT（1 1）小球刚开始运动瞬时绳）小球刚开始运动瞬时绳AC的拉力：的拉力：理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程GABC)90sin(0GlgG（2 2）任意位置时：）任意位置时：dlgddlgdtddcoscos0090900cosdlg

26、dcos1sin210090902lglg00sin0GlgGFma0120cosGFlgGFmaTnncos23cos120cos021GGlglgGGmlFT（3 3）AC在铅垂位置时的拉力：在铅垂位置时的拉力：GTF090令绳令绳AC与水平夹角为与水平夹角为dlgddtdcoscoslgdtd理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程例例96 质量为M的大三角形柱体，放于光滑水平面上，斜面上另放一质量为m的小三角形柱体，求小三角形柱体由静止滑到底时，大三角形柱体的位移。解解：选选两物体组成的系统为研究对象。研究对象。受力分析受力分析， , 0)(exF水平方向质心运动守恒

27、由水平方向初始静止由水平方向初始静止；则,21CCxx常量CxmMbaxbmxaMxC)(32)3(2mMbmaMxC3231)(bamMmx理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程1.1.选择题选择题D（1）设刚体的动量为 ，其质心的速度为 ，质量为M，则式 。（ ）PcvcvMP A、只有在刚体作平动时才成立；B、只有在刚体作直线运动时才成立；C、只有在刚体作圆周运动时才成立；D、刚体作任意运动时均成立；C（2）质点作匀速圆周运动，其动量。（ ）A、无变化；B、动量大小有变化，但方向不变C、动量大小无变化，但方向有变化D、动量大小、方向都有变化【思考题思考题】 理论力学电

28、子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程C（3）一均质杆长为 ，重为P，以角速度 绕O轴转动。试确定在图示位置时杆的动量。（ ）lA、杆的动量大小 ，方向朝左gPlK2B、杆的动量大小 ，方向朝右gPlK3C、杆的动量大小 ，方向朝左gPlK6D、杆的动量等于零A AB BO O3l理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程CA、质点动量没有改变B、质点动量的改变量大小为 ，方向铅垂向上 mv2C、质点动量的改变量大小为 ，方向铅垂向下 mv2D、质点动量的改变量大小为 ，方向铅垂向下 mv（4）将质量为m的质点，以速度 v 铅直上抛，试计算质点从开始上抛至再回到原处的

29、过程中质点动量的改变量。 （ ）2.2.如图所示，均质轮质量为 ，半径为R，偏心距 ，轮的角速度和角加速度在图示位置时为 和 ，轮在垂直面内运动，求铰支座O 的约束反力。mlOC O OC Csin,cos2mgmlFmgmlFono答案：答案：理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程(1)取整个系统为研究对象，rPPrPrPMBABAeO)()(OBAOJrvgPrvgPL)2( 得 ,代入 21将22PPPgrLrgPJBAOO由动量矩定理：rPPPPPgrdtdBABA)()2(22/PPPPPrgdtdBABA。： 求 ,21; ; ; 已知2rgPJrPPPOBA例

30、例103【解】受力分析如图示。运动分析： v =理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程BAOyCyBAPPPFagPPP)(BABBAACCyPPPyPyPya )(ABBAOyPPgrPPPF （2）由质心运动定理求约束反力由质心运动定理求约束反力： BABAPPPPPr)(PPPPPPPgrgPFPFamBABBABTBBTBBB224PPPPPPPrggPFFPamBAABAATATAAAA224BABBAABABBAAiiiCPPPyPyPgPgPgPgPygPygPmymy0BABBAAPPPaPaP理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程两根质

31、量各为8 kg的均质细杆固连成T 字型，可绕通过O点的水平轴转动，当OA处于水平位置时, T 形杆具有角速度 =4 rad/s。求该瞬时轴承O的反力。5 . 025. 0 mgmgJO2222121712131mlmlmlmlJO由定轴转动微分方程例例109选T 字型杆为研究对象，受力分析如图示。【解】)5 . 025. 0(8 . 98 5 . 0812172 rad/s 20.75 2根据质心运动定理，得nOnCFam2mgmgFmaOC2系统质心：432lmmlmlmxC理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程N 3 .32 ) 5 . 04375.20 ( 828 .

32、 98222COmamgF NmaFnCnO96)5 . 0434(8222理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程 3、如图所示，摆由均质细杆OA和均质圆盘组成，杆 质量为m1，长为L，圆盘质量为m2，半经为r。O AB（1）求摆对于轴O的转动惯量；（2）若图示瞬时角速度为，求系统的动量、动量矩。 )(221221121rLmLmvmvmPPPCC)(21(31222221rLmrmLmJLOO2)(21(31222221LvrLmrmLmC)(2131222221rLmrmLmJO2121212211)(2mmrLmLmmmrmrmrCCCCCrmmvmmP)()(212

33、1理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程例例10-10 质量为m半径为R的均质圆轮置放于倾角为 的斜面上，在重力作用下由静止开始运动。设轮与斜面间的静、动滑动摩擦系数为f、f，不计滚动摩阻，试分析轮的运动。解解：取轮为研究对象。sCFmgmasinNFmgcos 0RFJsC由 (2)式得cosmgFN(1)（1）、（3）、（4）中含有四个未知数aC 、Fs、 、FN，需补充附加条件。受力分析如图示。运动分析：取直角坐标系 OxyaC y =0，aC x =aC，一般情况下轮作平面运动。根据平面运动微分方程，有(2)(3)(4)理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的

34、运动微分方程1、设接触面绝对光滑。常量。 , 0 ,sin , 0gaFCssin31 ,sin32; sin32mgFgagRsC2、设接触面足够粗糙。轮作纯滚动，,RaC3、设轮与斜面间有滑动，轮又滚又滑。FS=fFN，可解得cos2,)cos(sin,cosRgfgfamgfFCS 因为轮由静止开始运动，故0，轮沿斜面平动下滑。注意此时无相对滑动， FsfFN，所以可解得:mRFRasC21, sCFmgmasinRFJsCcosmgFN(1)(3)(4)轮作纯滚动的条件：cossin31maxfmgfFFmgFNStg31f,RvC理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分

35、方程例例10-11 均质圆柱，半径为r，重量为Q，置圆柱于墙角。初始角速度0，墙面、地面与圆柱接触处的动滑动摩擦系数均为 f ，滚阻不计，求使圆柱停止转动所需要的时间。解解：选取圆柱为研究对象，受力分析如图示。根据刚体平面运动微分方程)0 , 0(CyCxaaBAFN 0QNFBA0rFrFdtdrgQBA 212（1）补充方程：BBAANfFNfF , （4）运动分析：质心C不动，刚体绕质心转动。（2）（3）理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程将（4）式代入（1）、（2）两式，有0) 1(2QNfB1 , 1 , 1 , 1 22222fQfFfQfNfQfFfQNAA

36、BB将上述结果代入（3）式，有dtffrgfdrgfffdtdt0202112 , 2110解得：) 1 ( 2)1 (02fgfrftBAFN 0QNFBA0rFrFdtdrgQBA 212（1）（2）（3）补充方程：BBAANfFNfF , （4）理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程例例96 电动机的外壳固定在水平基础上，定子的质量为m1，转子质量为m2 ，转子的轴通过定子的质心O1，但由于制造误差，转子的质心O2到O1的距离为e 。求（1）转子以角速度 作匀速转动时，基础作用在电动机底座上的约束反力；（2）若电动机的外壳没有固定在水平基础上，求电动机外壳由静止开始运

37、动的水平运动规律。tv理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程2211vmvmP根据动量定理，有根据动量定理，有NxxFtemFdttdemsin,)cos(222temgmmFtemFNyNxcos)( ,sin222122可见，由于偏心引起的动反力是随时间而可见，由于偏心引起的动反力是随时间而变化的周期函数。变化的周期函数。系统动量系统动量解解: （1）取整个电动机作为质点系研究，分析受力，受力图如图示。）取整个电动机作为质点系研究，分析受力，受力图如图示。emP2FdtPdyyxxFdtdPFdtdP,gmmFtemFdttdemNyy)(cos,)(sin21222解

38、法一，利用动量定理求解。运动分析：定子质心速度解法一，利用动量定理求解。运动分析：定子质心速度v1=0，转子质心，转子质心O2的速度的速度v2=e ，方向垂直于，方向垂直于O1O2。)sin(),cos(22temPtemPyxvt理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程根据质心运动定理，有根据质心运动定理，有NxxCCxFtemFxmmmasin)(2221 temgmgmFtemFNyNxcos ,sin222122解法二，利用质心运动定理求解。解法二，利用质心运动定理求解。2122121sin)sin(0(0mmtemmmtemmxC2122121cos)cos(00m

39、mtemmmtemmyC系统质心坐标系统质心坐标gmmFtemFymmmaNyyCCy)(cos,)(212221 vt理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程（2）取整个电动机作为质点系研究，分析受力，受力图如图示。 , 0)(exF解法一：解法一：系统水平方向不受力的作用，水平方向质心运动守恒。由水平方向初始静止（由水平方向初始静止（vC=0）；则21CCxx常量Cx2121100mmmmxC21212)sin(0)0(mmtexmxmxC建立O1xy：并令y轴通过初始位置质心，则 temmmxsin212理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程cosc

40、os212212mmemmmemvx（2 2） 将（2）式积分有： 000sincos212212mmemdmmemdxxx（3 3） 代入（3）式得： txt，00000解法二：解法二：本题也可用质点系动量在水平方向守恒求解： 0)cos(21evmvmPx（1 1） 转子从铅垂向下位置开始逆时针转动，故 temmmxsin212dmmemdxcos212理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程例例9-89-8 如图所示，均质杆OA，长 ,重为 ，绕O 轴在铅垂面内转动。杆与水平线成 角时，其角速度和角加速度分别为 和 ，求该瞬时轴O 的约束反力。l 2P【解】【解】取杆O

41、A为研究对象，受力如（b）图所示。2lanclac方向如图所示。则：CllAOCllAOyFOxFPncacaxyo建立坐标系oxy，杆OA质心加速度为：sincossincos2llaaacnccxcossincossin2llaaacnccy由质心运动定理计算约束反力PxcxFMaycyFMaoxFllgP)sincos(2PFllgPoy)cossin(2)sincos(2gPlFox)cossin(2gPlPFoy理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程例例12-1 均质杆长l ,质量m, 与水平面铰接, 杆从与平面成0角位置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及A

42、点支座反力。2mlFIR , 0nnI maFR （法（法1）选杆选杆AB为研究对象，虚加惯性力系：为研究对象，虚加惯性力系： 解：根据动静法，有根据动静法，有) 1 ( 0cos , 0I0 FmgFFAA)2(0sin00 FmgFFAA , nInn)3(02cos0)(0 Ml/ , mgFMIAA3 2ImlJMAA注意定轴转动刚体的惯性力虚加于转轴上。注意定轴转动刚体的惯性力虚加于转轴上。; :由(2)得 mgFnA0sin ; cos23 : 0lg由(3)得。 : 0cos4mgFA代入(1)得理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程020cos2331cos

43、2lgmllmg , cos23g , , 000lt 时法法2：用动量矩定理：用动量矩定理+质心运动定理再求解此题：质心运动定理再求解此题：解解：选AB为研究对象，2cos0lmgJA由动量矩定理，得：由质心运动定理： 0cosmgFmaAC00cos4 , sin mgFmgFAnA所以0 此时nAnCFmgma0sin00cos432glaC这里理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程ARCBOvrOr 机车的连杆机车的连杆ABAB的质量为的质量为m m，两端用铰链连接于主动轮上，两端用铰链连接于主动轮上，铰链到轮心的距离均为铰链到轮心的距离均为r r，主动轮的半径均为

44、，主动轮的半径均为R R。求当机车以匀。求当机车以匀速速v v直线前进时，铰链对连杆的水平作用力的合力，及直线前进时，铰链对连杆的水平作用力的合力，及A A、B B处处的竖向约束力（用动静法求解）的竖向约束力（用动静法求解）。理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程 例例12-2 牵引车的主动轮质量为m，半径为R，沿水平直线轨道滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力S、T及驱动力偶矩M，车轮对于通过质心C并垂直于轮盘的轴的回转半径为，轮与轨道间摩擦系数为f , 试求在车轮滚动而不滑动的条件下，驱动力偶矩M 之最大值。mRmaFRCI 取轮为研究对象，虚加惯性力系：

45、 解：解：由动静法，得：2ImJMCC) 1 (00 FT , FFIRSx)2(00 SP , FFNy)3(00 MRFM , )F(MICSCOP理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程)3(00)2(00) 1 (00 MRFM , )F(M SP , FF FT , FFICSCNyIRSx由(1)得TFmRFSRI mRTFS所以得代入(3)mRTFmRFMRFMSSICS2RTRRFTFRRFMSSS222)()(4)RTRRSPfM22)(把(5)代入(4)得：由(2)得 FN= P +S，要保证车轮不滑动，必须FSf FN =f (P+S) (5)可见，可见

46、，f 越大越不易滑动。越大越不易滑动。OP理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程 例例12-4 质量为m1和m2的两均质重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为J，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度（轴O 处摩擦不计，绳与轮无相对滑动）。理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程 , 111IamF 由动静法： , 0)(FMO列补充方程：2211 , raragJrmrmrmrm2222112211取系统为研究对象，虚加惯性力和惯性力偶：解：解： 方法1 用达朗贝尔原理求解 ,

47、222IamF JJMOOI 0I22I11I2211OMrFrFgrmgrm02221112211Jramramgrmgrm代入上式理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程方法2 用动量矩定理求解 )( 222211222111JrmrmJrvmrvmLOgJrmrmrmrm2222112211 所以根据动量矩定理：2211222211)(dd grmgrmJrmrmt 取系统为研究对象2211)e()(grmgrmFMO理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程 1212，得由WTT)(2 212121222211222222112JrmrmJvmvmT取

48、系统为研究对象，任一瞬时系统的 gr-mrm rgmrgmsgmsgmW)( 22112211221112gJrmrmrmrmdtd2222112211 两边对时间t求导数，得方法3 用动能定理求解)(1某确定值CT grmrmCJrmrm)()(222112222112 dtd)grmr(mJ)rmr(mdtd2211222211 任意假定一个初始值理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程 例例12-5 在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O均为均质物体，各重为G和Q，半径均为R，绳子不可伸长，其质量不计，绳与轮之间无相对滑动，斜面倾角，如在鼓轮上作用一常力偶矩M

49、，试求：(1)鼓轮的角加速度？ (2)绳子的拉力？ (3)轴承O处的约束力？ (4)圆柱体与斜面间的摩擦力（不计滚动摩擦）？理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程 解：解：方法一方法一 用动静法求解用动静法求解OOOORgQJM2I21列出动静法方程：) 1 (00)( MMR , FFMIOTO , IAAagGF （2）取轮A为研究对象，虚加惯性力FIR和惯性力偶MIC如图示。（1）取轮O为研究对象，虚加惯性力偶)2(0cos0 F , FFTOxx)3(0sin0 FQ , FFTOyyAARgGM2I21 理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程列

50、出动静法方程：)4(0sin0)( MRFRFR , GFMIATIAC运动学关系：OAOAARRa 将MIA，FIA，MIA及运动学关系代入到(1)和(4)式并联立求解得：gRGQRPMO2)3()sin(2)5(0sin0 GFFF , FSIATxRGQQRMG FT)3()sin3(代入(2)、(3)、(5)式，得： , cos)3()sin3(RGQQRMGFOx, sin)3()sin3(QRGQQRMGFOy。 RGQGRMG FS)3()sin()6(0cos0 G , FFNy理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程方法二方法二 用动力学普遍定理求解用动力学

51、普遍定理求解(1) 用动能定理求鼓轮角加速度。)sin(sin12PRMPRMW)( 1常量CT )( AORRv22222222)3(4 22121221RPQgRgPvgPRgQTOAOgRPQPRMO2)3()sin(2两边对t求导数： OOOPRMRPQg)sin(2)3(412 1212，得由WTT)sin()3(422PRMCRPQgO理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程(2) 用动量矩定理求绳子拉力（定轴转动微分方程）TRMRgQO22RPQQRMPFT)3()sin3( 取轮O为研究对象，由动量矩定理得(3) 用质心运动定理求解轴承O处约束力cos0 ,

52、TOxxCxFFFMacos)3()sin3(RPQQRMPFOx 取轮O为研究对象，根据质心运动定理：sin0 , yTOyCyFQFFMaQRPQQRMPFOy sin)3()sin3(理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程(4) 用刚体平面运动微分方程求摩擦力)(OASAAR FJRPQPRMPgRPQPRMRgPRRJFAAS)3()sin()3()sin(22122方法三：用动能定理求鼓轮的角加速度取圆柱体A为研究对象，根据刚体平面运动微分方程TFOxFOyFSF用达朗贝尔原理求约束力（绳子拉力 、轴承O处反力 和 及摩擦力 ）。理论力学电子教程理论力学电子教程第

53、八章 质点的运动微分方程 12-3. 匀质轮重为G，半径为 r ，在水平面上作纯滚动。某瞬时角速度 ，角加速度为，求轮对质心C 的转动惯量，轮的动量、动能，对质心C和水平面上O点的动量矩，向质心C和水平面上O点简化的惯性力系主矢与主矩。解：解：思考题思考题)(rgGvgGpC222121CCJvgGTgGrJLCC22,rgGagGFCICgGrJMCIC2222rgGJC222)2(21)(21rgGrgG2243gGrOgGrgGrrgGrJmvrLCCO23222,rgGagGFCIOgGrrgGrgGrFMJMICOCIO232)(22理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动

54、微分方程例例12-712-7均质棒AB得质量为m=4kg，其两端悬挂在两条平行绳上，棒处在水平位置，如图（a）所示。其中一绳BD突然断了，求此瞬时AC绳得张力F。ABCD(a)ICM)(CAamgAaFAaCIRxFIRyF(b)【解解】当BD绳断了以后，棒开始作平面运动，则惯性力系的简化中心在质心C上。因瞬时系统的速度特征量均为零，则点加速度为 。以A为基点，有AaCAAnCAnCAACaaaaaa理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程CAAnCAnCAACaaaaaa其中 ,l为棒长。2laCA虚加惯性力系，如图（b）所示，有III2CCRxARymlMJFmaF，02

55、220)(CAJlmllmgFm，则因 ，得 2121mlJClg23020mgmlFFy，又NmgF8 . 941得理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程【思考题思考题】 1 1、是非题、是非题（1）不论刚体作何种运动，其惯性力系向一点简化得到的主矢都等于刚体的质量与其质心加速度的乘积，而取相反方向。 （ ）对 （2）质点有运动就有惯性力。（ ）错（3）质点的惯性力不是它本身所受的作用力，其施力体是质点本身。 （ ）对理论力学电子教程理论力学电子教程第八章 质点的运动微分方程1 1、选择题、选择题 （1）设质点在空中，只受到重力作用，试问在下列两种情况下，质点惯性力的大小和方向如何？（a）质点作自由落体运动；（b）质点被铅垂上抛 （ ）A（a）与（b）的惯性力大小相等，方向都铅直向下 B（a）与（b）的惯性