特殊平行四边形典型例题解析题

1、、参考例题例1如下图， ABC中，点0是AC边上的一个动点，过点 0作直线MN / BC,设MN 交/ BCA的平分线于点E,交/ BCA的外角平分线于点F.(1) 求证：EO=FO(2) 当点0运动到何处时，四边形 AECF是矩形？并说明你的结论.分析：(1)要证明OE=OF，可借助第三条线段0C,即证：OE=OC, OF=OC，这两对线段又分 别在两个三角形中，所以只需证 OEC、A OCF是等腰三角形，由已知条件即可证明.(2)假设四边形AECF是矩形，则对角线互相平分且相等，四个角都是直角.由已知可得到：/ ECF=90°,由可证得OE=OF,所以要使四边形AECF是矩形，只

2、需OA=OC. 证明：(1)：CE、CF分别是/ ACB、/ ACD的平分线./ ACE=Z BCE,/ ACF= / DCF MN / BC / OEC=/ ECB,/ OFC= / FCD/ ACE=/ OEC,/ ACF=/ OFCOE=OC, OF=OC OE=OF(2)当点O运动到AC的中点时，即OA=OC又由证得OE=OF四边形AECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)由知：/ ECA+/ ACF=丄 / ACB+ 丄 / ACD=- (/ACB+/ ACD)=90°2 2 2即/ ECF=90°四边形AECF是矩形.因此：当点O运动到AC的中点

3、时，四边形AECF是矩形.例2如下图，已知矩形 ABCD的对角线 AC、BD相交于O, OF丄AD于F, OF=3 cm, AE 丄BD 于 E, 且 BE : ED=1 : 3, 求 AC 的长.分析：本题主要利用矩形的有关性质，进行计算 即：由矩形的对角线互相平分且相等；可导出BE=OE，进而得出AB=AO，即得出BE=OF=3 cm,求出BD的长，即AC的长.解：四边形 ABCD 是矩形.二 AC=BD,OB=OD=OA=OC又 BE : ED=1 : 3 二 BE : BO=1 : 2 二 BE=EO又 AE 丄 BO ABEA ADE二 AB=OA 即 AB=AO=OB/ BAE=/

4、 EAO=30°,/ FAO=30°/ ABEA AOFBE=0F=3 cm, BD=12 cm 二 AC=BD=12 cm二、参考练习1如图，有一矩形纸片ABCD, AB=6 cm,BC=8 cm,将纸片沿EF折叠，使点B与D重合，求 折痕EF的长.解：连结BD、BE、DF 由折叠的意义可知：EF丄BD, EF平分BD. BE=ED,BF=FD四边形 ABCD 为矩形 AB=CD , AD=BC,Z C=90°, AD / BC / EDO = / FBO点 B 和 D 重合 BO=DO ,Z BOF= / DOE BOFDOE ED=BF, ED=BF=FD=

5、BE四边形BFDE是菱形S菱形=丄X BDX EF=BF X CD2 BF=DF ,可设 BF=DF=x 贝U FC=8-x在Rt FCD中，根据勾股定理得：x2=（8 x）2+62x=25 - ,82 62 EF 兰 6EF=7.5424因此，折痕EF的长为7.5 cm.2当平行四边形ABCD满足条件寸，它成为矩形（填上你认为正确的一个条件即可）.答案：/ BAC=90° 或 AC=BD 或 OA=OB 或/ABC+Z ADC=180。或/ BAD+Z BCD= 180° 等 条件中的任一个即可.典型例题例1 如图，在菱形ABCD中, E是AB的中点，且二上丄宀匚“，求:

6、（1）工匚的度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABC啲面积.分析（1）由E为AB的中点，二三一二三，可知DE是 AB的垂直平分线，从而，且，贝U是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出.（2）而二丄：'：，利S = -AC BD.用勾股定理可以求出AC. （3）由菱形的对角线互相垂直，可知1（1）连结BD,:四边形ABCD是菱形,AD=AB.:二是AB的中点，且二， 一五 是等边三角形,也是等边三角形.ZA5C = 60ox2 = 120°(2)v四边形ABCD是菱形， AC与BD互相垂直平分,二EW,.丄瓦三为等边三角形 £AEF = 60°11 厂J

7、3 ,S 二一盘C BD 二一屈 v 二卅(3)菱形ABCD勺面积说明：本题中的菱形有一个内角是 60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该 逐步认识这些特点.例2 已知：如图，在菱形 ABCD中，|工一-二 于丄亠-于F.求证：-£ -5分析 要证明二三：匚匚，可以先证明5F =三G ,而根据菱形的有关性质不难证明，从而可以证得本题的结论.证明四边形ABCD是菱形，二丄''一，且三三，匸；丸=心，.-， ?AB = AD胭一盹 m DF.-.AEAF.例3已知：如图，菱形ABCD中, E, F分别是BC,CD上的一点，一二；三匚匚门丁 ：，二三辽

8、，求 的度数解答：连结AC四边形ABCD为菱形， = ABBCCDAD? M5C与ACZM 为等边三角形.AB = AC,ZB = ZACD = BAC = 60乂阴F = 60°丛吕AE 二乙GAF ZEE 三 ACF ? AEAF * * *一二 60°-F18° = 60°-FZC,F说明本题综合考查菱形和等边三角形的 性质，解题关键是连AC,证二匕三-丄-F.例4 如图，已知四边形和四边形 工二F都是矩形，且一2二二匸P .求证：丁三垂直平分二二.分析由已知条件可证明四边形是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明垂直平

9、分二=.证明：四边形e二-都是矩形册 EF AB/iCD £DFH =BCD = )a ADBC四边形MW 是平行四边形口二y二=,二二-匸在厶匸巳扌和中厶DFH = BCH；£DHF = dHCPF = BC.”& 当豆CE. 旧二 BH , HF = HC四边形三三匸三是平行四边形 .四边形三三二Y是菱形.三三平分三匚二. G三平分二王.上齐二匚.V ED AB=ED* ? * */二&Z2=Z3在A&3和厶 EDG 中证 .£望 DEG AG GD.一2二| = ：_三._4了二卫巴 同理：匸三二三& .二匚二匚三.四边形 V

10、 是平行四边形口三：三三.四边形是菱形.匸丘一三三.二垂直平分.例5 如图， “匚二中，一二二-拦，三、7在直线二上，且匸-二-二；.求证：上二一二.分析要证三三-三，关键是要证明四边形 W 是菱形，然后利用菱形的性质证明结论.证明四边形二匸匸是平行四边形 AEZD AB=CD AdUBH 亠"* *? ? ? * *典型例题例1一个平行四边形的一个内角是它邻角的 3倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度？分析 根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数.解 设平行四边形的一个内角的度数为 x，则它的邻角的度数为3x，根据题意，得九-1二， 解得 ，这个平行四边形的

11、四个内角的度数分别为45°, 135°, 45°, 135°.例2已知：如图，的周长为60cm对角线ACBD相交于点O,:工 的周长比呂二的周长多8cm求这个平行四边形各边的长.分析由平行四边形对边相等，可知-4?-SC =平行四边形周长的一半二30cm又由厂 的周长比的周长多8cm,可知cm,由此两式，可求得各边的长.解四边形为平行四边形， J' '上 J，-'= AB-BC = 30.? * *匚丄 II - / L AS -三匚=:? * * I ' .'' I答：这个平行四边形各边长分别为 19cm

12、 11cm 19cm 11cm说明：学习本题可以得出两个结论：（1）平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半.（2） 平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差.例3已知：如图，在中，打 匸交于点Q过O点作EF交AB CD于 E、F,那么OE QF是否相等，说明理由.分析 观察图形,三血OF，从而可说明0E = 0F.证明在uAEGD中，：討C、BD交于O, .二°。， ? ?£ 寸* * ? * *例4已知：如图，点E在矩形ABCD勺边BC上,且丄一丄：,垂足为F。求证：AF = DC.分析 观察图形，与都是直角三角形，且锐角，斜边工匚；因

13、此这两个直角三角形全等。在这个图形中，若连结 AE,贝小与-75全等，因此可以确定图中许多有用的相等关系。证明四边形ABCD!矩形， ，.UUFTAF1 丄，. D=ZU=9Q°，又 =，.MFD 三庞巳E。.蠱F =例5 O是口ABCD寸角线的交点，的周长为59,抄三丸，则M =，若氐0阳与3血 的周长之差为15,贝皿占=，口 ABCD勺周长=.OA=OC = -AC OB = QD = -BD解答：IrABCD中，1，1.=OB +0C + 5C = -BD-h-AC-hBC 的周长1 二.= 28.在匚ABCD中，再匚二山辺.=23_<.：?的周长_二匚匸的周长 '''1 '' 1 ' '''，；：=弓-一扛=<. £ = 15.ABCD勺周长 _1 丄丄-: -'_：1-； I _-二说明：本题考查平行四边形的性质，解题关键是将-m与-二莹的周长的差转化为两条线段 的差.例6 已知：如图，ABCD勺周长是"'卩，由钝角顶点D向AB, BC引两条高DE DF,且',&q