1.集合(教师版)

1、1.集合基础知识点一元素与集合1. 了解集合的含义、元素与集合的属于关系.2能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.基础知识点二集合间的基本关系1. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.2 在具体情境中，了解全集与空集的含义.基础知识点三集合的基本运算1. 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.3. 能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.考点一集合的基本概念1. 元素与集合(1) 集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2) 集合中元素与集合的关

2、系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为和？.(3) 集合的表示法：列举法、描述法、Venn图.2. 常见数集及其表示符号自然数集用N表示，正整数集用N或N +表示，整数集用Z表示，有理数集用Q表示， 实数集用R表示.提醒解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.题组练透1. 已知集合A= 1,2,4，则集合B=(x, y)|x A, y A中元素的个数为 9f、2. 现有三个实数的集合，既可以表示为 匕，-,1 :也可以表示为a2, a+ b,0，则a2 015 a 丿+ b2 015 = 13. 已知集合 A=m+

3、2,2m2+ m，若3 A,贝V m的值为.弓类题通法1 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在 求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性.2 对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列 出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性.考点二集合间的基本关系(1) 子集：对任意的 x A，都有x B，贝U A? B(或B? A);真子集：若集合 A? B，但存在元素x B,且x?A,则A B(或B A);(3)性质：？ A; A? A; A? B, B? C? A? C.集合相等：若A? B，且B? A，贝y A = B

4、.提醒写集合的子集时不要忘了空集和它本身.典题例析1 已知集合 A = x|x2 3x+ 2= 0, x R, B = x|Ov xV5, x N，则满足条件 A? C ? B的集合C的个数为 42. 已知集合 A= x|x2 2 015x + 2 014 V 0, B = x|xV m，若 A? B，则实数 m 的取值 范围是.2 014,+s )类题通法(1)已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转 化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论注意区间端点的取舍.当题目中有条件 B? A时，不要忽略B =

5、?的情况！演练冲关21. 设 A= 1,4,2x，若 B= 1 , x ，若 B? A，则 x=.0 或一22. 已知集合 A = x| 2w xw7 , B = x|m+ 1 V xv 2m 1，若 B? A,则实数 m 的取值范围是.( 8, 4考点三集合的基本运算1. 集合的并、交、补运算：并集：A U B= x|x A, 或 x B;交集：A n B= x|x A,且 x B;补集：？uA=x|x U，且x?A ; U为全集，？uA表示集合A相对于全集U的补集.2. 集合的运算性质(1) A U B= A? B? A, A n B= A? A? B;(2) A n A= A, An ?

6、 = ?;(3) A U A= A, AU ? = A;(4) A n ?uA = ?, A U ?uA = U , ?u(?uA) = A.第3页(共8页)提醒Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心.一题多变典型母题已知集合 A = y|y= x2-2x, x R , B = y|y =-x2+ 2x + 6, x R， AA B2222解析y= x 2x=(x 1 J 1 > 1, ,y= x + 2x+ 6= (x 1)+ 7< 7, , : A =y|y> -1, b = y|yw 7,，故 aa

7、 b= y| 1 < y<7.答案y| 1W yw 7类题通法解集合运算问题应注意以下三点：(1) 看元素组成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算 问题的关键.(2) 对集合化简有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题 简单明了、易于解决.(3) 注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩(Ve nn)图.考点四集合的新定义问题典题例析1 如图所示的Venn图中，A, B是非空集合，定义集合A*B为阴影部分表示的集合.若x, y R, A= x|y= 2x-x , B=y|y= 3x, x>0，则 A*B 为.x

8、|OW x< 1 或 x>22. 已知数集A =ai, a2,，an(i w ai< a?vv an, n2)具有性质P:对任意的i,j(1 w iw jw n), aiaj与或两数中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则下列说法正确ai的是.1,3,4为“权集”；1,2,3,6为“权集”；“权集”中元素可以有0“权集”中一定有元素 14解析：选B 由于3 X 4与§均不属于数集1,3,4，故 A不正确，由于1 X 2,1 X 3,1 X 6,2X 3, 6, 6, 1，2, 3, 6都属于数集1,2,3,6，由“权集”的定义可知a需有意义，故不能有 0, 同时

9、不一定有1 ,类题通法解决集合创新型问题的方法(1) 紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能 够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在.(2) 用好集合的性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质.演练冲关1 11若x A,则一 A，就称A是伙伴关系集合，集合 M = * 1 , 0, , 2, 3 的所有非XL.2<空子集中具有伙伴关系的集合的个数是 .32对于任意两个正整数m, n,定义运算(用

10、74;表示运算符号)：当m, n都是正偶数或都是正奇数时，m® n = m+ n;当m, n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m® n = mx n.例如 4 ® 6= 4+ 6 = 10,3 ® 7 = 3 + 7= 10,3® 4= 3x 4= 12.在上述定义中，集合M = (a, b)|a® b = 12, a, b N*的元素有个.解析：m, n同奇同偶时有11组：(1,11), (2,10),，(11,1); m, n奇一偶时有4组：(1,12), (12,1), (3,4), (4,3)，所以集合 M的元素共有15个.答

11、案：15课堂练习：1.已知集合 A = x|x >2 , B= x|x v 2m，且A i (?rB)，则m的值可以是 .答案：1解析：易知？rB = x|x > 2m，要使 A i (?rB)，贝U 2m< 2,二 m< 1.2已知集合 M = 1 , m, N = n , log2n.若 M = N，贝U (m n)2 015 =答案：1或0n = 1,n= m,n = 1,n = 2,解析：因为M = N，所以或即或故(m n)2 015 =log 2 n= m| log 2 n = 1, m = 0m= 2.1 或 0. ax 13. 已知集合A = lx Ha

12、<0匚且2 A , 3? A，则实数a的取值范围是 .答案：J，1卜(2, 32a 11解析：因为2 A，所以 v 0,即(2a 1)(a 2)>0,解得a>2或av；2 a23a一111若 3 A，贝Uv 0，即(3a 1)(a 3) > 0,解得 a> 3 或 avj 所以 3? A 时，a3 a33< 3一_1 1 3由可知，实数a的取值范围为3，2丿U (2, 3.4已知集合a , b, c = 0 , 1, 2，且下列三个关系：2;b= 2; 护0有且只有一个正确，则 100a+ 10b + c=.答案：201解析：若正确，则不正确，由不正确得c=

13、 0,由正确得a= 1，所以b= 2, 与不正确矛盾，故 不正确；若 正确，则不正确，由不正确得a= 2,与正确 矛盾，故不正确；若 正确，则 不正确，由 不正确得a= 2,由不正确及正确 得 b= 0, c= 1,故 正确.故 100a+ 10b+ c= 100x 2 + 10x 0+ 1 = 201.5 . (2014 通州中学期中)已知集合 A = x|x > 2,或 x v 1 , B = x|a < x< b.若 A U B=R , A n B = x|2<x W 4，则 b =.答案：一4a解析：由题意得 B = x| 1 w x W 4 , a= 1, b

14、= 4,故 b = 4.a6 .设全集 U = R，集合 A =g； > 2 : B = y|y = lg(x2+ 1),则(?uA) n B=.答案：x|x > 0解析：由于 A = “x Q > 2 尸x|x w - 1 , = y|y = lg(x2+ 1) = y|y > 0，所以(?uA) n B =x|x> 1 n y|y > 0 = x|x > 0.7 .设全集 1 = R，已知集合 M = x| ( x+ 3) 2w 0 , N = x|x2 + x 6 = 0.(1) 求(?iM) n N ；(2) 记集合 A = (?i M) n

15、N，已知集合 B = x|a 1 w x< 5 a, a R，若 B U A = A，求 实数a的取值范围.解：(1) T M = x|(x + 3)2w 0 = 3 , N = x|x2 + x 6 = 0 = 3, 2, ?iM = x|x R 且 x工一3 , (?iM) n N = 2.(2) A = (?iM) n N = 2 , / A U B = A , B A , B = ?或 B = 2,a 1 = 2 ,当 B = ?时，a1>5 a, a>3;当 B= 2时，解得 a= 3.1.5 a= 2 ,综上所述,所求a的取值范围为a|a> 3.8 .已知

16、A、B 均为集合 U = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6的子集，且 A n B = 3 , (?uB) n A =1 , (?uA) n (?UB) = 2, 4,则 B n (?UA) =.答案：5 , 6解析：依题意及韦恩图得B n (?uA) = 5 , 6.、填空题1.已知集合A_.x|x Z ,且2_x J '则集合 A中的兀素个数为.42.设全集为R,集合 A= x|x2 9v 0 , B= x| 1 v xw 5,则 An (?rB)=. ( 3 ,1 解析： 由题意知，A = x|x2 9v 0 = x| 3v xv 3, tb = x| 1 v xw 5,

17、 a?rB =x|xw 1 或 x> 5 .A n (?r B) = x| 3v x v 3 n x|xw 1 或 x> 5 = x| 3v xw 1.23. 设函数f(x) = lg(1 x ),集合A = x|y= f(x) , B = y|y= f(x),则图中阴影部分表示的集合为( a , 1 U (0,1)2解析：因为 A = x|y = f(x) = x|1 x > 0 = x| 1 v xv 1,则 u=1 x2 (0,1,所以 B = y|y = f(x) = y|yw 0, A U B = (a, 1) , A n B = ( 1,0,故图中阴影部分表示的集

18、合为(一a, 1 U (0,1).4. 设集合 A = (x , y)|x+ y= 1, B = (x , y)|x y= 3,则满足 M? (An B)的集合 M 的 个数是. 2解析：由题中集合可知，集合A表示直线x+ y= 1上的点，集合B表示直线x y= 3(x+ y = 1,上的点，联立可得A n B= (2 , 1) , M为A n B的子集，可知 M可能为(2 ,x y = 31) , ?,所以满足M? (An B)的集合M的个数是2.5在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为 k，即k =5 n+ k|n Z, k= 0,1,2,3,4.给出如下四个结论：

19、2 014 4;一3 3: Z = 0 U 1 U 2 U 3 U 4:“整数 a, b 属于同一 '类”的充要条件是“a b 0 ” .其中，正确结论的个数是 3解析：因为2 014= 402X 5 + 4,又因为4 = 5 n + 4|n Z，所以2 014 4,故正确；因为一3= 5X ( 1) + 2,所以一3 2，故不正确；因为所有的整数 Z除以5可得的余数 为0,1,2,3,4，所以正确；若 a, b属于同一类，则有a = 5m+ k, b = 5n2 + k,所以ab = 5(n1 n2) 0，反过来，如果 a b 0，也可以得到 a, b属于同一 “类”，故正 确.故有

20、3个结论正确.6.已知 A = 0 , m,2 , B = x|x3 4x= 0，若 A= B，则 m= 2解析：由题知 B= 0， 2,2, A= 0 , m,2，若 A= B，则 m= 2.7.设全集 U = n N|1W n< 10 ,A= 1,2,3,5,8 , B = 1,3,5,7,9，则(?uA)Q B=.7,9解析：由题意，得 U = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，故?uA= 4,6,7,9,10,所以(?uA) n B= 7,9.& 若集合 A = x|x2 9xv 0, x N* , B= y 4 N*, y N*，贝V An B 中元素的个数 为

21、. 3解析：解不等式 x2 9xv 0 可得 0vxv 9,所以 A = x|0vxv 9, x N* = 1,2,3,4,5,6,7,8,4*又y N , y N ，所以y可以为1,2,4，所以B= 1,2,4，所以An B = B, An B中元素的 个数为3.9.已知集合 A=x|4W 2x< 16 ,B = a ,b，若A? B，则实数a b的取值范围是 .解析：集合 A = x|4W 2xW 16 = x|22< 2x< 24 = x|2< x< 4 = 2,4，因为 A? B,所以 aw 2, b>4,所以a bw 2 4= 2,即实数a b的取

22、值范围是(一, 2.二、解答题210.已知集合A= 4,2a 1, a , B= a 5,1 a,9，分别求适合下列条件的a的值.(1)9 (A n B); (2)9 = A n B.解：(1) v9 (An B),.2a 1 = 9 或 a2= 9,'a = 5 或 a = 3 或 a= 3.当 a= 5 时，A = 4,9,25, B= 0， 4,9;当a = 3时，a 5= 1 a= 2,不满足集合元素的互异性；第10页(共8页)当 a = 3 时，A = 4, 7,9, B= 8,4,9，所以 a= 5 或 a= 3.由可知，当a = 5时，AA B= 4,9，不合题意，当 a = 3 时，An B = 9.所以 a = 3.11.已知集合 A= x|1v xv 3，集合 B = x|2mv xv 1 m.当m = 1时，求AU B; (2)若A? B，求实数m的取值范围；若A n B= ?，求实数m的取值范围.解：(1)当 m= 1 时，B= x| 2<x<2，贝U AU B= x| 2<x<3.1 m> 2m,由A? B知 2m< 1,.1 m3,解得mW 2,即实数m的取值范围为(a, 2.(3)由 A n B= ?，得1若2m > 1 m，即m3时，B= ?，符合题意;若 2m v 1 m,