(完整版)小学奥数-几何五大模型(相似模型)

1、任意四边形、梯形与相似模型2模型四 相似三角形模型（一）金字塔模型（）沙漏模型 AD AE DE AF AB AC BC AG S ADE :ABCAF 2： AG2。所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。在小学奥数里

2、，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。BE 4，那么FC的长【例1】如图，已知在平行四边形 ABCD中，AB 16 , AD 10, 度是多少？【解析】图中有一个沙漏，也有金字塔,所以 BF : FC BE:CD 4:16但我们用沙漏就能解决问题,41:4，所以FC 10因为AB平行于CD，【例2】如图，测量小玻璃管口径的量具ABC , AB的长为15厘米，AC被分为60等份。如果小玻璃管口 DE正好对着量具上20等份处（DE平行AB），那么小玻璃管口径DE是多大？【解析】 有一个金字塔模型，所以DE: AB DC: AC，DE:15 40:60，所以DE 10厘米。【例3】如图

3、，DE平行BC，若AD: DB 2:3，那么S ade : S ecb【解析】根据金字塔模型AD :S ADE : S ABC22:524 :25 ,设S ADE4份则S ABC25& ADE :ecb4 :15。ABAE : ACDE : BC2: (23)2:5,份,S4BEC25 53 15份，所以【例4】 如图， ABC中，DE， FG， BC互相平行， AD DF FB， 贝U ADE : &边形 DEGF : S四边形 FGCB 。【解析】设ade 1份，根据面积比等于相似比的平方，所以 ADE : S AFG AD : AF 1:4 ,ADE : S ABC AD

4、 : AB 1:9 ,因此S AFG4 份，S ABC9 份，进而有S四边形 DEGF 3份， S四边形FGCB5份，所以S ADE : S四边形 DEGF : S四边形 FGCB 1:3:5【巩固】如图， DE平行BC,且AD 2 , AB 5 , AE 4，求AC的长。则Ade&边形MNQP边形PQCB: 足边形DEGF:S边形FGNMBC【解析】 由金字塔模型得 AD:AB AE:AC DE: BC 2:5，所以AC 4 2 5 10MP PB，【巩固】如图， ABC中，DE , FG , MN , PQ，BC互相平行，AD DF FM【解析】设Sa ade 1份，Sa ade

5、: Sa afgAD : AF 1:4，因此S afg 4份，进而有S四边形DEGF3份，同理有S四边形 FGNM5份，5边形MNQP 7份，Q边形PQCB 9份.所以有Sa ADE : 乐边形 DEGFS四边形FGNM边形MNQP边形PQCB1:3: 5:7:9【总结】继续拓展，我们得到一个规律： 平行线等分线段后， 所分出来的图形的面积成等差 数列。【例5】 已知 ABC中，DE平行BC，若AD : DB 2:3 ,且S弟形dbce比Saade大8.5 cm2 , 求Sa ABC °【解析】根 据 金 字 塔 模 型 AD : AB DE : BC 2: (23)2:5,2 2S

6、a ade : Sa abc2 : 54:25 ,设Sa ade 4份，则 SA ABC 25份，S梯形DBCE 25 4 21份，S梯形DBCE比SA ADE大17份，恰好是8.5 Cm ,所以SA ABC 125 cm【例6】如图：MN平行BC , Sampn : Sa bcp 4 : 9 , AM 4 cm，求BM的长度【解析】在沙漏模型中，因为Sampn : Sabcp 4:9，所以MN : BC 2:3 ,在金字塔模型中有：AM : AB MN : BC 2:3 ,因为 AM 4 cm , AB 4 2 3 6 cm ,所以BM 6 42 cm【巩固】如图，已知 DE平行BC , B

7、O: EO 3: 2，那么AD : AB 【解析】由沙漏模型得BO:EO BC:DE 3: 2，再由金字塔模型得AD: AB DE:BC 2:3 【例7】如图， ABC中，AE 1AB , AD 1 AC , ED与BC平行， EOD的面积是144平方厘米。那么AED的面积是平方厘米。1 1【解析】因为ae 1 AB , AD -AC , ED与BC平行，44根据相似模型可知 ED: BC 1:4 , EO:OC 1:4 , S cod 4S eod 4平方厘米, 则S CDE 4 15平方厘米，15又因为 S AED : S CDE AD : DC 1:3，所以 S AED 5 （平方厘米）

8、33【例8】在图中的正方形中，A , B , C分别是所在边的中点，VCDO的面积是VABO面积的几倍？【解析】【例9】连接BC，易知OA /EF ,OA:BE DA:DE 1:2 ,11OA -BE AC 可得 CO24VABO面积的3倍。如图，线段AB与BC垂直, 面积是多少？根据相似三角形性质，可知OB:OD AE:AD，且所以VCDO的面积等于VCBO的面积；由3OA,所以 SvCDOS/CBO已知 AD EC 4，BD【解析】 解法一：这个图是个对称图形， 且各边长度已经给出， 看看.作辅助线BO ,则图形关于BO对称，有S/adoSVADO : SVDBO 4 : 6 设VADO的

9、面积为因为 SVABE6 1030 8 4 15.解法二：连接DE据相似三角形性质,根据梯形蝴蝶定理,所以S阴影：S梯形adeC3Svabo ,即VCDO的面积是BE 6，那么图中阴影部分不妨连接这个图形的对称轴ScEO ,SdBOSVEBO , 且2份，则VDBO的面积为3份，直角三角形ABE的面积为8份.2 30 ,而阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面积为、AC 由于 AD EC 4 , BD BE可知 DE: AC BD: BA 6:103:5 ,SVDOE : SVDOA : SVCOE : SVCOA 32: 35 :15 15 : 9 15 15 2515: 32，即6，所以D

10、E / AC，根3 5 : 529:15:15 : 25 ,O阴影梯形ADEC ;321又S梯形ADEC2 1011510 1 6 6=32，所以S阴影存梯形ADEC 15 .【例10】（2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛）如图，四边形ABCD和EFGH都是平行四边形，四边形 ABCD的面积是16，BG:GC 3:1，则四边形EFGH的面积 .【解析】因为FGHE为平行四边形，所以 EC/AG，所以AGCE为平行四边形. Syabcd4BG:GC 3:1，那么 GC: BC 1:4，所以 Syagce1-164 .4【例11】又 AE GC，所以 AE: BG GC :

11、BGFG:AF BG: AE 3:1，所以 5 FGHE1:3，根据沙漏模型，Syagce4-43 .4已知三角形 ABC的面积为a , 交CD于G，求阴影部分的面积.AF : FC2:1,E是BD的中点，且EF / BC ,【解析】已知AF: FC 2:1 ,且EF/EF :BC AF : AC 2:3，所以EFBC ,-BC ,3用相似三角形性又因为E是BD的中点,所以EG是三角形EG:EF -223: 4 ,3GF : EF 1:44:9 .那么EG12BC ,:SVAFE1:8所以质可知DBC的中位线,可得SVCFG且 SVAEF : &ABCSVCFG : SVABC1:18

12、，那么 SvcFGa18【例12】AE已知正方形 ABCD，过C的直线分别交10 cm , AF 15 cm，求正方形 ABCD的边长.AB、AD的延长线于点F，且【解析】方法一：本题有两个金字塔模型，根据这两个模型有BC : AF CE:EF ,1 ,DC : AE CF :EF，设正方形的边长为 x cm，所以有BC DC CE CFAF AE EF EF 即兰i,解得x 6，所以正方形的边长为 6cm .1510方法二：或根据一个金字塔列方程即?，解得x 61015【例13】如图，三角形 ABC是一块锐角三角形余料，边米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在AB、AC上，这个正方形零

13、件的边长是多少？BC 120毫米，高 AD 80毫BC上，其余两个顶点分别在H D G7【解析】观察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以有PNAP , PH BP ,设正方形的边长为x毫米, PNPHAP BP 1,即BCAB AD ABBCADAB ABx1，解得x 48，即正方形的边长为48毫米.12080【巩固】如图，在厶ABC中，有长方形 DEFG , G、F 在 BC上,D、E分别在AB、AC上，AH是厶ABC 边BC的高，交 DE于M ， DG: DE 1:2，BC 12厘米, AH 8厘米，求长方形的长和宽.【解析】观察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关

14、系的两个金字塔模型，所以DEADDGBDDEDG所以有BCAB 'AHAB 'BCAH2xx2448所以有-1,解得x,2x1287724 =、厘米.ADAB因此长方形的长和宽分别是x，贝U DE2x ,号厘米,【例14】图中ABCD是边长为12cm的正方形，从G到正方形顶点C、D连成一个三角形，已知这个三角形在 AB上截得的EF长度为4cm，那么三角形 GDC的面积是 多少？GG【解析】根据题中条件，可以直接判断出EF与DC平行，从而三角形GEF与三角形GDC相 似，这样，就可以采用相似三角形性质来解决问题.做GM垂直DC于M，交AB于N .因为EF / DC ,所以三角形G

15、EF与三角形GDC相似，且相似比为EF:DC 4:121:3 ,所以 GN :GM 1:3，又因为 MN GM GN 12，所以 GM 18 cm ,所以三角形GDC的面积为1 12 18 108 cm2 .2【例15】如图，将一个边长为2的正方形两边长分别延长 1和3，割出图中的阴影部分,求阴影部分的面积是多少？【解析】根据相似三角形的对应边成比例有:NF 3； EM 11 22 32 312则NF59EM小1922553230【例16】（2008年101中学考题）图中的大小正方形的边长均为整数（厘米），它们的面积之和等于52平方厘米，则阴影部分的面积是 .n厘米（m n ）,贝V m2 n

16、252，所以52 ,不合题意，所以m只能为6或7 检【解析】设大、小正方形的边长分别为m厘米、2 2 2m 8 .若 m5，则 m n 5250验可知只有m 6、n 4满足题意，所以大、小正方形的边长分别为6厘米和4厘米根据相似三角形性质，BG:GF AB:FE 6: 4 3:2，而BG GF 6，得1BG 3.6（厘米），所以阴影部分的面积为：一 6 3.6 10.8（平方厘米）2【例17】如图，O是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为3和4 ,那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？【解析】连接OB,面积为4的三角形占了矩形面积的-,所以Saoeb 431,所以4OE:E

17、A 1:3 ,所以CE:CA 5:8 ,由三角形相似可得阴影部分面积为8 （5）2 25 8 8F、G是BC边上的【例18】已知长方形 ABCD的面积为70厘米，E是AD的中点,三等分点，求阴影 EHO的面积是多少厘米？【解析】因为E是AD的中点，F、G是BC边上的三等分点，由此可以说明如果把长方形的长分成6份的话，那么ED AD 3份、BF FG GC 2份，大家能在图形中找到沙漏 EOD和厶BOG :有ED：BG=3：4，所以OD ： BO 3： 4，相当于把BD分成（3 4） 7份，同理也可以在图中在次找到沙漏： EHD和厶BHF也是沙漏，ED：BF 3：2，由此可以推出： HD：BH

18、3：2,相当于把BD分成（3 2）5份， 那么我们就可以把 BD分成35份（5和7的最小公倍数）其中OD占15份，BH占1435份，HO占6份，连接EB则可知ABED的面积为70 4 ，在BD为底的三角2356形中HO占6份，则面积为： 一 一 3（平方厘米）.2 35【例19】ABCD是平行四边形，面积为 72平方厘米，E、F分别为AB、BC的中点，则图中阴影部分的面积为 平方厘米.【解析】方法一：注意引导学生利用三角形的中位线定理以及平行线的相关性质.设G、H分别为AD、DC的中点，连接 GH、EF、BD ./曰1可得SVAED = S平行四边形ABCD ,4BD 被 EF 、23BD:

19、BD44SVAEO3对角线DO : EDAC、GH平均分成四段，OM / EF，所以2:3 , OE : EDED OD : ED2 :3 1:3 ,S平行四边形ABCD41-726(4方厘米），S/ADO2 SvAEO12 （平方厘米）.同理可得Sv cfm6平方厘米，Svcdm12平方厘米.所以Sv ABCSvAEOSvCFM36 6624 （平方厘米）,于是，阴影部分的面积为 24 12 12 方法二：寻找图中的沙漏， AE:CD48 （平方厘米）.因此O,M为AC的三等分点，SaodmAO:OC 1:2 ,1S平行四边形ABCD6FC : AD CM : AM 1:2 ,172 12

20、（平方厘米）,Sa AEO SaoCD4S阴影721266 （平方厘米），所以1-12 26 （平方厘米），同理Sa Fmc46 48 （平方厘米）.【例20】如图，三角形PDM的面积是8平方厘米，长方形 ABCD的长是6厘米，宽是4厘米，M是BC的中点，则三角形 APD的面积是 平方厘米.【解析】 本题在矩形内连接三点构成一个三角形，而且其中一点是矩形某一条边的中点，一般需要通过这一点做垂线.取AD的中点N，连接MN，设MN交PD于K .则三角形PDM被分成两个三角形，而且这两个三角形有公共的底边MK，可知三18角形PDM的面积等于MK BC 8（平方厘米），所以MK=（厘米），那么2384

21、NK 4（厘米）.3 3因为NK是三角形APD的中位线，所以 AP 2 NK -（厘米），所以三角形 APD3的面积为 1 8 68（平方厘米）.23【例21】如图，长方形 ABCD中，E为AD的中点，AF与BE、BD分别交于G、H ,OE垂直AD于E，交AF于O ,已知AH 5 cm , HF3 cm，求【解析】由于AB / DF ,禾U用相似三角形性质可以得到AB: DFAH : HF5:3【例22】【解析】【例23】又因为E为AD中点，那么有3所 以 AB:OE 5:10:3210:3 ,AG:GO AB:OE工 11而 AO AF -22右图中正方形的面积为阴影部分的面积.OE: FD

22、 1:2 ,cm1,，所以AG101340cm13E、F分别为AB、BD的中点，GC1FC .求3题中条件给出的都是比例关系，解，而图中出现最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性质.阴影部分为三角形，已知底边为正方形边长的一半， 只要求出高，便可求出面积.可 以作FH垂直BC于H , GI垂直BC于I .根据相似三角形性质，CI由此可以初步推断阴影部分的面积要通过比例求:CH CG:CF 1:3，又因为CI :CB 1:6，即 BI : BC6 1:65: 6，所以 SvbgeCH HB，所以121 5_52 624梯形ABCD的面积为 于F ,四边形CDFE的面积是12, A

23、B 2CD , E 为 AC 的中点,BE的延长线与AD交【例24】如图，三角形 ABC的面积为60平方厘米，D、那么阴影部分的面积是 平方厘米.【解析】延长BF、CD相交于G 11由于E为AC的中点，根据相似三角形性质， CG AB 2CD , GD - GC - AB ,22再根据相似三角形性质，AF :FDAB: DG2:1 ,GF : GB 1:3 ,而S ABD : S BCDAB : CD2 :1 ,所以S BCDSaBCD1 124 ,S GBC2SBCD8 .33又 Sgdf11 1S EBCSGBC ,所以Sddfe111S GBC1S 8GBCS GBC23 622633E

24、、F分别为各边的中点,【解析】阴影部分是一个不规则的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个三角形的面积之差.而从图中来看，既可以转化为 BEF与 EMN的面积之差，又可以转 化为 BCM与CFN的面积之差.（法1）如图，连接DE .由于D、E、F分别为各边的中点，那么 BDEF为平行四边形，且面积为三角形 ABC面积的一半，即30平方厘米；那么 BEF的面积为平行四边形 BDEF面积的 一半，为15平方厘米.根据几何五大模型中的相似模型，由于DE为三角形ABC的中位线，长度为BC的1一半，则 EM : BM DE : BC 1:2，所以 EM - EB ;31 EN :FN DE : F

25、C 1:1，所以 EN EF .2昇，所以阴影部分面积为那么 EMN的面积占 BEF面积的丄21151-12.5 （平方厘米）.6（法2）如图，连接AM .根据燕尾定理，s abm :S bcm AE:EC 1:1 ,11所以 S BCO 一 s ABC3311而s BDC S ABC所以22S ACMS FCN:S BCM AD : DB 1:1 ,1S bdc 7.5平方厘米,4【总结】那么阴影部分面积为 20 7.5 12.5（平方厘米）. 求三角形的面积，一般有三种方法： 利用面积公式：底 高2 ;利用整体减去部分;利用比例和模型.【例25】如图，ABCD是直角梯形, 多少？AB4,

26、AD 5,DE3，那么梯形ABCD的面积是【解析】延长EO交AB于F点，分别计算 AOD, AOB,A DOC , BOC的面积，再求和.DE：BF DO： OB 3：1& AOD Sa AOB 3：1 ； Sa DOC Sa BOC 3 1Sa AODSa BOC1又 Sa ABD4 5 1023-Sa aodSa abd7.5 , S aob 2.5, Sa boc7.5, Sa doc3Sa boc 3 7.5 22.54 s梯形 abcd7.5 25 7.5 225 40【例26】边长为8厘米和12厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面 积是多少平方厘米？【解析】【

27、例27】【解析】【例28】给图形标注字母，按顺时针方向标注,分别交AC, AD于0,H两点,AO：OC AB： EC 12： 20AO： AC 3： 8 ,1 21229 sSa adc40AH : AD3：5 ,3：5,-S ADCS AHO72724016.2大正方形为 ABCD ,小正方形为 MNDE , EBAH : BC AO：OC 3： 5Sa aho Sa adc9 - 40ABCD 中，EF16, FG 9，求 AG 的长.如右图，长方形因为DA / BE，根据相似三角形性质知又因为DFAG所以AeGE/ ABFGGA，DG，GB2即AGFGGA，GE FG 25DGGBAGG

28、E，2225 15 ,所以 AG）如图，已知正方形（第21届迎春杯试题点，E是DC边上的点，且 DE:EC 1:3 ,ABCD的边长为4 ,AF与BE相交于点GF是BC边的中 ，求 Sa ABG【解析】方法一：连接 AE，延长AF , DC两条线交于点 M，构造出两个沙漏，所以有AB:CM BF:FC 1:1，因此CM 4，根据题意有 CE 3，再根据另一个沙漏有GB:GEAB: EM4:7，所以Saabg方法-二:连接AE,EF ,aef4 44 12322 47ABF :AEFBG:GE4：7 ,所以 Saabg4SA ABE432(4 42)4711分另IJ求SA ABF4 22 4,根

29、据蝴蝶定理4432Sa ABE(442)471111F是AB、AD的中点,【例29】如图所示，已知平行四边形 ABCD的面积是1, E、BF交EC于M，求 BMG的面积.HGBCE M【解析】解法一：由题意可得，E、F 是 AB、AD的中点，得EF /BD ,而FD:BC FH : HC 1:2 ,EB:CD BG:GD 1:2 所以 CH :CF GH : EF 2:3 ,并得G、H是BD的三等分点，所以 BG GH，所以1111S ABDSyaBCD .22241212S BMGS bfd3535- 丄430BG:EF BM : MF 2:32所以 BM BF , S bfd51又因为BG

30、 -BD，所以3解法二：延长CE交DA于I，如右图，可得，AI : BC AE:EB 1:1 ,从而可以确定 M的点的位置，2BM -BF5可得S BMGBM : MF BC: IF 2:3 ,1BG -BD (鸟头定理)，3212111 QQ SBDFSYABCD5353430【例30】（清华附中入学试题F是BC的中点，四边形）正方形ABCD的面积是BGHF的面积是120平方厘米，E是AB的中点, 平方厘米.1由题意可得到：EG:GC EB:CD 1:2，所以可得：S ebg丄Sbce3将AB、DF延长交于M点，可得：BM :DCMF : 1FD BF:FC1:1 ,而EH:HCEM:CD1

31、(ABAB):CD3:22，得 CHCE ,25而CFbc，所斤以sCHF1-Sbce1sBCE2255S BCE1ABBC1120302241177s四边形BGHFS EBC-sEBC-sEBCsEBC30 14 351515本题也可以用蝴蝶定理来做,连接EF，确定H的位置（也就是FH :HD），同样也能解出.【解析】欲求四边形BGHF的面积须求出EBG和DCCHF的面积.【例31】 如图，已知Sabc 14，点D,E,F分别在AB, BC,CA上,且 AD 2, BD 5, AF FC , s四边形dbef sabe 则 s abe 是多少？【解析】 ABC的面积已知，若知道 ABE的面积占 ABC的几分之几就可以计算出 ABE