(完整版)中考复习：几何图形中的最值问题

1、中考复习：几何图形中的最值问题7 / 7几何图形中的最值问题 1.如图，在 Rt ABC 中，/ACB= 90° AB= 5, BC= 3.若点 D 是AB边上任意一点，且不与点 A、B重合，连接CD.将厶BCD沿着CD所在的直线翻折，使得点B落在点B处，连接AB'，则AB的最小值为.1【解析】在RtAABC中，根据勾股定理可得：AC“AB2 BC2 =52 32 = 4,由对称性可知：BC= BC= 3, v B C的长度固定，当 AB '+ B C的值最小时，AB的值最小，根据 两点之间，线段最短”可 知当A、B、C三点共线时，AB最小，二AB = AC B C=

2、 4 3= 1. 2.如图，在菱形 ABCD中，AB= 4泊，/ ABC= 60°点M、N分别是BC、CD上任意一点，点P是BD上一点，连接PM、PN，贝S PM+ PN的最小值为.第2题图第2题解图6【解析】如解图，作点N关于BD对称的点N '，根据菱形的对称性可知点N在AD上，又由两平行线之间，垂线段最短，过点 N作NM丄BC于点M,故MN与BD的交点P即满足PM+ PN的值最小, 故 MN = AB sin/ ABC= 4 3 谒=6. 3如图，在矩形ABCD中，AB= 9, BC= 12,点E是BC中点，点 F是边CD上的任意一点，当 AEF的周长最小时，则 DF的长

3、为第3题图AD>FECEr第3题解图6【解析】如解图，作点E关于直线CD的对称点E；连接AE交CD于点F, v在矩形ABCD中，AB= 9, BC= 12,点E是BC中点,C匚z C匚o BE= CE = CE = 6, v AB丄 BC, CD丄 BC,二左応，即=BE AB 12 + 6号，解得 CF = 3, DF = CD CF= 9-3= 6. 4.如图，在 RtAABO 中，/ AOB= 90° A0+ BO= 5,延长 AO 到 C, 使OC= 3,延长BO至U D，使OD = 4,连接BC、CD、DA，则四边形ABCD面积的最大值为C第4题图18 【解析】设 O

4、A=x, OB= y, v AO+ BO= 5, x+ y= 5, v 延长 AO 至U C, OC = 3,延长 BO 至U D, OD = 4,连接 BC、CD、DA,o 1 1 1/ AOB= 90 ,二 S 四边形 abcd = Saacd + Saabc = qAC OD + qAC OB=AC (OD + OB) = 2aC BD = 2(x + 3)(y + 4), /x+ y = 5,二S 四边形 abcd1 1 1=2(x + 3)(5 x+ 4) = 2(x + 3)(9 x) = 2(x 3)2 + 18.四边形 ABCD的最大面积为18. 5.如图，已知四边形 ABCD

5、, / BAD= 120° CB丄AB, CD丄AD,且AB = AD = 3,点E、F分别是BC、CD边上的动点，那么 AEF周长的最小值是I)第5题图第5题解图6也【解析】如解图，延长AB 至点M,使BM = AB,延长AD 至点N,使 DN = AD，连接 MN，交 BC 于点 E,交 DC 于点 F.TCB丄AB,CD 丄 AD,BC、CD 是 AM、AN 的垂直平分线，AE= ME , AF =FN.vA AEF 的周长=AE + EF + AF = ME + EF + FN = MN ,二此时 AEF 的周长为线段 MN 的长.v AB = AD = 3,二 AM = A

6、N = 6,v/BAD = 120° a/ M= Z N= 30° a MN = 2AM cos30 = 12= 63. 6.如图，在 Rt ABC 中，AB丄 BC, AB= 6, BC = 4, P 是厶ABC 内部的一个动点，且满足 / PAB= Z PBC，则线段 CP长的最小值为2 【解析】如解图，vZ FAB= Z PBC, Z ABC= 90° /.Z BAP +Z PBA=90 ° /Z APB = 90 ° 点P始终在以AB的中点O为圆心，以OA=OB= OP= 2AB= 3为半径的圆上，由解图知，只有当在点 P在OC 与OO

7、的交点处时，PC的长最小.在Rt OBC中，OC=l OB2 + BC2 =<.32+ 42= 5, / P'C= OC-OP = 5-3 = 2, /线段 CP长的最小值 为2. 7如图，在矩形ABCD中，AD = 2, AB= 3,点E是AD边的中点,点F是射线AB上的一动点，将 AEF沿EF所在直线翻折得到 A EF，连接A C,则A C的最小值为.DCAR F第7题图第7题解图VlQ- 1【解析】如解图，v点E是AD的中点，.根据翻折性质得1 1 一AE = AE= DE = 2AD = 22= 1, '点F为动点，随着点F的运动， 点A的运动轨迹是以点E为圆心，

8、AE为半径在矩形ABCD内的圆弧， 当E、A、C不在同一直线上时，则 CA、A E和CE围成三角形，根 据三角形的三边关系，即 A C>CE A巳当E、A、C在同一直线上 时，即A C= CE A巳综上所述A C圮E A E, a当E、A'、C在同 一直线上时，A C有最小值，t在Rt CDE中，CD = 3, DE = 1, a CE = CD2 + DE2 = 32 + 1= ；10, a A C 的最小值为 CE DE =10 1. 8如图，正方形ABCD的边长为4, / DAC的平分线交DC于点E. 若点P、Q分别是AD和AE上的动点，贝S DQ + PQ的最小值是第8题

9、图第8题解图2最 【解析】如解图，作D关于AE的对称点D , DD交AE于F, 再过 D 作 D P 丄 AD 于 P, TDD'丄 AE, a/AFD = Z AFD , t AF = AF, / DAE = / CAE,ADF AD F, a AD = AD = 4, t D 与 D 关于 AE对称，aQD= QD ,a DQ + PQ= QD + PQ= PD , a D P ' 即为DQ + PQ的最小值，T四边形ABCD是正方形，A/DAD = 45 ° a AP= PD , 在 RtA APD 中，PD 2+ AP2 = AD 2,即 2P D2 = 16

10、, a PD '=22即卩DQ + PQ的最小值为2 2 9如图，点P为边长为2的正方形ABCD外一动点，且FAX PB, 连接AC、FC,则厶FAC的最大面积为.第9题图第9题解图边+ 1【解析】如解图，作出以AB为直径的。O交线段AC于点E, 连接PE、OE、BE,由AC为正方形的对角线及 OO的直径为AB,可 得厶AEB为等腰直角三角形，则点E为AC的中点，Sapc= 2Saape, 二要使得 APC的面积最大，只需使得 APE面积最大即可.T AE1长度为定值，二只需使 APE中AE边上的高最大即可，v AE=AC =1 AB2 + BC2= 2，OA= OB= OE= 1，二

11、厶AOE 是等腰直角三角OA OE 1 x|形， RtAOE中，利用等面积法求得AE边上的高为=不 =2 2y，二 APE中AE边上的高的最大值为1+于，二 APE面积的最 大值为认1 +才）X 2 =于+ 2， FAC的最大面积为2入于+妒 2+ 1. 10.如图，在四边形 ABDE中，C是BD边的中点，BD = 8, AB= 2,DE = 8.若/ ACE= 135°则线段AE长度的最大值是 ,第10题图10 + 4迈 【解析】如解图 ，分别将厶ABC、 CDE沿AC、CE翻 折，则点B落到点F处，点D落在点G处，连接AG、FG由两点之 间线段最短”可知 AG< AF + FG, AE< AG+ EG,二 AE< AF + FG + EG, a如解图所示，当点A、F、G、E四点共线时，AE最大，此 时，AE = AF+ FG + EG,由翻折可证 ACBACF, a CB= CF, AB = AF, / ACB= Z ACF.同理， CDECGE, CD = CG, DE = GE , Z ECD = Z ECG.vZ ACE = 135° aZ ACB + Z ECD = 45° = Z ACF +Z ECG