(完整版)全等三角形证明经典题及答案

1、1. 已知：AB=4 , AC=2 , D是BC中点，AD是整数，求 AD解：延长 AD至U E,使AD=DE/ D是BC中点 BD=DC在厶ACD和厶BDE中AD=DE/ BDE= / ADCBD=DC ACD BDE AC=BE=2在 ABE 中AB-BE V AE V AB+BE/ AB=4即 4-2 V 2AD V 4+21V AD V 3 AD=22. 已知：D 是 AB 中点，/ ACB=90 °，求证： CD - AB2A延长CD与P,使D为CP中点。连接 AP,BP/ DP=DC,DA=DB ACBP为平行四边形又/ ACB=90平行四边形 ACBP为矩形 AB=CP

2、=1/2AB3. 已知：BC=DE，/ B= / E,Z C= / D, F 是 CD 中点，求证:证明：连接BF和EF/ BC=ED,CF=DF, / BCF= / EDF三角形BCF全等于三角形 EDF（边角边） BF=EF, / CBF= / DEF连接BE在三角形BEF中,BF=EF / EBF= / BEF。/ / ABC= / AED。 / ABE= / AEB。AB=AE 。在三角形ABF和三角形 AEF中AB=AE,BF=EF,/ ABF= / ABE+ / EBF= / AEB+ / BEF= / AEF三角形ABF和三角形AEF全等。 / BAF= / EAF （ / 1

3、= / 2）。4. 已知：/ 仁/2, CD=DE , EF/AB，求证：EF=AC过C作CG / EF交AD的延长线于点 GCG/ EF,可得，/ EFD= CGDDE= DC/ FDE=Z GDC （对顶角）EF= CG/ CGD=Z EFD又，EF/ AB EFD=Z 1/ 1= / 2/ CGD=Z 2 AGC为等腰三角形,AC= CG又 EF= CG EF= AC5. 已知：AD 平分/ BAC , AC=AB+BD，求证：/ B=2 / C证明：延长 AB取点E,使AE = AC,连接DE/ AD 平分/ BAC/ EAD = Z CAD/ AE = AC , AD = AD AE

4、D ACD( SAS)/ E=Z C/ AC = AB+BD AE =AB+BD/ AE = AB+BE BD = BE/ BDE = Z E/ ABC = Z E+ / BDE/ ABC = 2 / E/ ABC = 2 / C6. 已知：AC 平分/ BAD , CE丄 AB，/ B+ / D=180 °，求证：AE=AD+BE证明：在AE上取F,使EF = EB，连接CF/ CE 丄 AB/ CEB = Z CEF = 90 °/ EB = EF, CE = CE, CEB CEF/ B =Z CFE/ B +Z D= 180°,/ CFE + Z CFA

5、= 180°/ D = / CFA/ AC 平分/ BAD/ DAC = / FAC/ AC = AC ADC AFC (SAS) AD = AF AE = AF + FE= AD + BE7. 已知：AB=4 , AC=2 , D是BC中点，AD是整数，求 ADD解：延长 AD至U E,使AD=DE/ D是BC中点 BD=DC在厶ACD 和 BDE中AD=DE/ BDE= / ADCBD=DC ACD BDE AC=BE=2在 ABE 中AB-BE V AE V AB+BE/ AB=4即 4-2 V 2AD V 4+21 V AD V 3 AD=28. 已知：D 是 AB 中点，/

6、 ACB=90 °，求证:CD -AB2A解：延长 AD至U E,使AD=DE/ D是BC中点 BD=DC在厶ACD和厶BDE中AD=DE/ BDE= / ADCBD=DC ACD BDE AC=BE=2在 ABE 中AB-BE V AE V AB+BE/ AB=4即 4-2 V 2AD V 4+21 V AD V 3 AD=29. 已知：BC=DE，/ B= / E ,Z C= / D, F 是 CD 中点，求证：/1 = / 2过C作CG / EF交AD的延长线于点 G证明：连接BF和EF。/ BC=ED,CF=DF, / BCF= / EDF。三角形BCF全等于三角形 EDF（

7、边角边）。:.BF=EF, / CBF= / DEF。连接BE。在三角形 BEF中,BF=EF。 / EBF= / BEF。又 / ABC= / AED。 / ABE= / AEB。AB=AE 。在三角形ABF和三角形 AEF中，AB=AE,BF=EF,/ ABF= / ABE+ / EBF= / AEB+ / BEF= / AEF三角形ABF和三角形AEF全等。 / BAF= / EAF （ / 1 = / 2）。EF=AC10. 已知：/ 仁/2, CD=DE , EF/AB，求证：CG/ EF,可得，/ EFD= CGDDE= DC/ FDE=Z GDC （对顶角） EFDA CGDEF

8、= CG/ CGD=Z EFD又 EF / AB/ EFD=Z 1/ 1= / 2/ CGD=Z 2 AGC为等腰三角形，AC= CG又 EF= CG EF= AC11. 已知：AD 平分/ BAC , AC=AB+BD，求证：/ B=2 / CD证明：延长 AB取点E,使AE = AC,连接DE/ AD 平分/ BAC/ EAD = Z CAD/ AE = AC , AD = AD AED ACD( SAS)/ E=Z C/ AC = AB+BD AE =AB+BD/ AE = AB+BE BD = BE/ BDE = Z E/ ABC = Z E+ / BDE/ ABC = 2 / E/

9、ABC = 2 / C12. 已知：AC 平分/ BAD , CE丄 AB，/ B+ / D=180 °，求证：AE=AD+BEc在AE上取F,使EF = EB，连接CF/ CE 丄 AB/ CEB = Z CEF = 90 °/ EB = EF, CE = CE, CEB CEF/ B =Z CFE/ B +Z D= 180°,/ CFE + Z CFA = 180°/ D = / CFA/ AC 平分/ BAD/ DAC = / FAC又 AC = AC ADC AFC (SAS) AD = AF AE = AF + FE= AD + BE12.如图

10、，四边形 ABCD中，AB / DC , BE、CE分别平分/ ABC、/ BCD，且点 E在AD 上。求证：BC=AB+DC。在BC上截取BF=AB，连接EF/ BE 平分/ ABC/ ABE= / FBE又 BE=BE/ ABE 6 FBE ( SAS)/ A= / BFE/ AB/CD/ A+ / D=180o/ BFE+ / CFE=180o/ D= / CFE又/ DCE= / FCECE平分/ BCDCE=CE/ DCE 6 FCE (AAS ) CD=CF BC=BF+CF=AB+CD13已知：AB/ED，/ EAB= / BDE , AF=CD , EF=BC，求证：/ F=Z

11、 CAB | ED，得：/ EAB+ / AED= / BDE+ / ABD=180 度,/ EAB= / BDE ,/ AED= / ABD ,四边形ABDE是平行四边形。得:AE=BD ,/ AF=CD,EF=BC ,三角形AEF全等于三角形DBC ,/ F= / Co14. 已知：AB=CD，/ A= / D，求证：/ B= / C证明：设线段 AB,CD所在的直线交于 E,（当AD<BC时，E点是射线BA,CD的交点，当 AD>BC时，E点是射线 AB,DC的交点）。则： AED是等腰三角形。 AE=DE而 AB=CD BE=CE （等量加等量，或等量减等量） BEC是等腰

12、三角形 / B= / C.15. P 是/ BAC 平分线 AD 上一点，AC>AB，求证：PC-PB<AC-AB在AC上取点E ,使 AE = AB。/ AE = ABAP = AP/ EAP =Z BAE , EAP BAP PE = PB。PC V EC + PE PC V( AC AE )+ PB PC PB V AC AB。16. 已知/ ABC=3 / C,Z 1 = / 2, BE 丄 AE，求证：AC-AB=2BE证明：在AC上取一点D，使得角 DBC=角C/ ABC=3 / C/ ABD= / ABC- / DBC=3 / C- / C=2 / C ;/ ADB=

13、 / C+ / DBC=2 / C; AB=AD AC -AB =AC-AD=CD=BD在等腰三角形 ABD中，AE是角BAD的角平分线, AE垂直BD/ BE 丄 AE点E 一定在直线 BD上，在等腰三角形 ABD中，AB=AD , AE垂直BD点E也是BD的中点 BD=2BE/ BD=CD=AC-AB AC-AB=2BE17. 已知，E 是 AB 中点，AF=BD , BD=5 , AC=7，求 DCDEB作AG / BD交DE延长线于 G AGE 全等 BDE AG=BD=5 AGF s CDFAF=AG=5 DC=CF=218. 如图，在 ABC 中，BD=DC，/ 1 = / 2,求

14、证：AD丄BC .即/ ABC= / ACB ABC是等腰三角形 AB=AC在厶ABD和厶ACD中AB=ACBD=DC ABD和厶ACD是全等三角形（边角边） / BAD= / CAD AE是厶ABC的中垂线 AE 丄 BC AD 丄 BC19. 如图，0M平分/ POQ, MA丄OP,MB丄OQ , A、B为垂足，AB交0M于点N. 求证：/ OAB= / OBA0/ OM 平分/ POQ/ POM = Z QOM/ MA 丄 OP , MB 丄 OQ/ MAO =Z MBO = 90/ OM = OM AOM BOM(AAS ) OA = OB/ ON = ON AON BON ( SAS

15、)/ OAB= / OBA，/ ONA= / ONB/ ONA+ / ONB = 180/ ONA =Z ONB = 90 OM 丄 AB20. ( 5分)如图，已知 AD / BC ,Z PAB的平分线与/ CBA的平分线相交于 E, CE的连线与AP相交于F点,交 AP 于 D .求证：AD+BC=AB./ PAB+ / CBA=180。，又I, AE , BE 均为/ PAB 和/ CBA的角平分线AEB=90 ° , EAB为直角三角形/ EAB+ / EBA=90 °在三角形 ABF中，AE丄BF，且AE为/ FAB的角平分线三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,

16、BE=EF在三角形DEF与三角形BEC中， / EBC= / DFE,且 BE=EF，/ DEF= / CEB ,三角形DEF与三角形BEC为全等三角形， DF=BC AB=AF=AD+DF=AD+BC21. 如图， ABC中，AD是/ CAB的平分线，且 AB=AC+CD，求证：/ C=2/ B延长AC到E使AE=AC连接ED/ AB=AC+CD CD=CE可得/ B= / E CDE为等腰/ ACB=2 / B22. (6分)如图，E、F分别为线段 AC上的两个动点，且 DE丄AC于E, BF丄AC于F , 若 AB=CD , AF=CE, BD 交 AC 于点 M .(1) 求证：MB

17、= MD , ME=MF(2) 当E、F两点移动到如图的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立 请给予证明；若不成立请说明理由.(1) 连接 BE , DF ./ DE 丄 AC 于 E, BF 丄AC 于 F, / DEC= / BFA=90 ° DE / BF, 在 Rt DEC 和 Rt BFA 中，/ AF=CE , AB=CD , Rt DEC 也 Rt BFA ( HL ), DE=BF .四边形BEDF是平行四边形. MB=MD , ME=MF ;(2) 连接 BE , DF ./ DE 丄 AC 于 E, BF 丄AC 于 F, / DEC= / BFA=90

18、 ° DE / BF, 在 Rt DEC 和 Rt BFA 中，/ AF=CE , AB=CD , Rt DEC 也 Rt BFA ( HL ), DE=BF .四边形BEDF是平行四边形. MB=MD , ME=MF23. 已知：如图， DC/ AB，且DC=AE, E为AB的中点，(1) 求证： AED EBC .(2) 观看图前，在不添辅助线的情况下，除EBC夕卜，请再写出两个与 AED的面积 相等的三角形.(直接写出结果，不要求证明)：证明：/ DC / AB/ CDE = Z AED/ DE = DE , DC = AE AED EDC E为AB中点 AE = BE BE

19、= DC/ DC / AB/ DCE = Z BEC/ CE = CE EBC EDC AED EBC24. (7分)如图， ABC中，/ BAC=90度，AB=AC, BD是/ ABC的平分线，BD的延长 线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.求证：BD=2CE.证明：/ CEB=/ CAB=90 ABCE四点共元/ AB E=Z CB E AE=CE/ ECA=/ EAC取线段BD的中点 G 连接 AQ贝U: AG=BG=DG/ GAB=/ ABG而：/ ECA=/ GBA （同弧上的圆周角相等）/ ECA=/ EAC玄 GBAM GAB而：AC=AB AECA AGB E

20、C=BG=DG BE=2CE25、如图：DF=CE AD=BC / D=M G 求证： AEDA BFG证明： DF=CE , DF-EF=CE-EF ,即 DE=CF ,在厶AED和厶BFC中，/ AD=BC , M D= M C , DE=CF AED BFC （SAS ）26、（10 分）如图：AE、BC交于点 M F 点在 AM±, BE/ CF, BE=CF求证：AM> ABC的中线。AEM证明:/ BE | CF/ E=Z CFM / EBMM FCM/ BE=CF BEMA CFMBM=CM人皿是厶ABC的中线.27、（10分）如图：在厶 ABC中，BA=BC D

21、是AC的中点。求证： BD丄AG/ ABD和 BCD的三条边都相等 ABD/ BCD / ADB玄 CD / ADB玄 CDB=90 BD 丄 AC28、（10分）AB=AC DB=DC F是AD的延长线上的一点。求证： BF=CFC在厶ABD与 ACD中AB=ACBD=DCAD=AD ABDA ACD / ADB=/ ADC/ BDF=Z FDC在厶BDF与厶FDC中BD=DC/ BDF=Z FDCDF=DF FBDA FCD BF=FC29、（12分）如图：AB=CD AE=DF CE=FB 求证：AF=DE/ AB=DCAE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB ABE= CDF/ D

22、CB= / ABFAB=DC BF=CE ABF= CDE AF=DE30公园里有一条“ Z”字形道路 ABCD，如图所示，其中 AB/ CD，在AB , CD , BC三段路 旁各有一只小石凳 E, F, M,且BE = CF , M在BC的中点，试说明三只石凳 E, F , M恰 好在一条直线上A E证明：连接EF/ AB / CD / B= / C M是BC中点BM=CM在厶BEM和 CFM中BE=CF/ B= / CBM=CM BEM CFM ( SAS) CF=BE31. 已知：点 A、F、E、C在同一条直线上， AF = CE,BE / DF, BE = DF .求证： ABE C

23、DF .DCt第2题】/ AF=CE,FE=EF. AE=CF. DF/BE,/ AEB= / CFD (两直线平行，内错角相等)/ BE=DF: ABECDF ( SAS)32. 已知：如图所示， AB = AD , BC = DC, E、F分别是 DC、BC的中点，求证： AE = AF。C连接BD ;/ AB=AD BC=D / ADB= / ABD / CDB= / ABD;两角相加， / ADC= / ABC ;/ BC=DCEF 是中点 DE=BF ;/ AB=AD DE=BF/ ADC= / ABC AE=AF。C证明：在厶ADC ABC中 AC=AC/ BAC/ DAC / B

24、CA=Z DCA ADCA ABC（两角加一边）/ AB=AD BC=CD在厶DEC与 BEC中/ BCA/ DCA CE=CE BC=CD DECA BEC（两边夹一角） / DEC/ BEC34. 已知 AB/DE, BC/EF, D , C在 AF上,且 AD=CF ,求证：ABCADEF./ AD=DF AC=DF/ AB/ DE / A= / EDF又 BC EF / F= / BCA ABCA DEF （ASA）35. 已知：如图，AB=AC, BD AC, CE AB,垂足分别为 D、E, BD、CE相交于点F，求 证：BE=CD.C证明：/ BD 丄 AC/ BDC=90 &#

25、176;/ CE 丄 AB/ BEC=90 °/ BDC= / BEC=90 °/ AB=AC/ DCB= / EBC BC=BC Rt BDC 也 Rt BEC (AAS) BE=CD36、如图，在 ABC中，AD为/ BAC的平分线，DE丄AB于E, DF丄AC于F。求证：DE=DF .证明：/ AD是/ BAC的平分线/ EAD= / FAD / DE 丄 AB , DF 丄 AC/ BFD= / CFD=90 °/ AED 与/ AFD=90 °在厶AED与厶AFD中/ EAD= / FADAD=AD/ AED= / AFD AED AFD (A

26、AS ) AE=AF在厶AEO与厶AFO中/ EAO= / FAOAO=AOAE=AF AEO AFO (SAS)/ AOE= / AOF=90 ° AD 丄 EF37. 已知：如图，AC BC 于 C , DE AC 于 E , AD AB 于 A , BC =AE .若 AB = 5，求 AD 的 长？/ AD 丄 AB / BAC= / ADE又 AC丄BC于C , DE丄AC于E根据三角形角度之和等于 180度 / ABC= / DAE/ BC=AE , ABC 也 DAE (ASA ) AD=AB=538. 如图：AB=AC , ME 丄 AB , MF 丄 AC，垂足分别

27、为 E、F, ME=MF。求证：MB=MC证明：/ AB=AC/ B= / C/ ME 丄 AB , MF 丄 AC/ BEM= / CFM=90 °在厶BME和厶CMF中/ / B= / C / BEM= / CFM=90 ° ME=MF BME CMF (AAS ) MB=MC .39.如图，给出五个等量关系：AD BCAC BDCE DE D C DABCBA .请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论(只需写出一种情况)，并加以证明.已知： AD=BC，/ DAB= / CBA求证： DAB CBA证明： AD=BC，/ DAB= / CBA又

28、 AB=AB DAB CBA40在 ABC 中， ACB 90 , AC BC，直线 MN 经过点 C，且 AD MN 于 D , BE MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ADC也 CEB ; DE AD BE ；当直线MN绕点C旋转到图请给出证明;若不成立，说明理由图1(1) / ADC2 ACB=Z BEC=90 ,/ CAD+Z ACD=90，/ BCE+Z CBE=90，/ ACD+Z BCE=90 ./ CAD=Z BCE/ AC=BC ADCA CEB ADCA CEB CE=AD CD=BE DE=CE+CD=AD+BE(2)/ ADC=Z CEB=Z

29、ACB=90 ,/ ACD=Z CBE又 AC=BC ACDA CBE CE=AD CD=BE DE=CE- CD=AD- BE41. 如图所示，已知 AE± AB, AF丄 AC, AE=AB AF=AC 求证：(1) EC=BF (2) EC丄 BFF(1 )T AE! AB, AF丄 AC, Z BAE=Z CAF=90°, Z BAE+Z BAC=Z CAF+Z BAC即 Z EAC=Z BAF, 在厶ABF和厶AEC中，/ AE=AB Z EAC=Z BAF, AF=AC ABFA AEC( SAS , EC=BF(2)如图，根据(1), ABFA AEC/ AE

30、C玄 ABF,/ AE 丄 AB,/ BAE=90 ,/ AEC+Z ADE=90 ,/ ADE=Z BDM(对顶角相等)， Z ABF+Z BDM=90 ,在厶 BDM中 ,Z BMD=180 - Z ABF-Z BDM=180 -90 ° =90 EC丄 BF.42. 如图：BE 丄 AC , CF 丄 AB , BM=AC , CN=AB。求证：(1) AM=AN ; (2) AM 丄 AN。证明：(1)/ BE 丄 AC , CF丄 AB Z ABM+ Z BAC=90 ° ,Z ACN+ Z BAC=90 Z ABM= Z ACN/ BM=AC , CN=AB A

31、BM NAC AM=AN(2)/ ABM NAC Z BAM= Z NvZ N+ Z BAN=90 ° Z BAM+ Z BAN=90 即Z MAN=90 ° AM 丄 AN43. 如图，已知/ A= / D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC / EF在厶ABF和厶CDE中,AB=DE/ A= / DAF=CD ABF 三CDE （边角边） FB=CE在四边形BCEF中FB=CEBC=EF四边形BCEF是平行四边形 BC | EF44. 如图，已知AC / BD , EA、EB分别平分/ CAB和/ DBA , CD过点E,贝U AB与AC+BD 相等吗？请说

32、明理由P勺在AB上取点N ,使得AN=AC/ CAE= / EAN AE为公共， CAE EAN / ANE= / ACE又 AC平行BD / ACE+ / BDE=180而/ ANE+ / ENB=180 / ENB= / BDE/ NBE= / EBN BE为公共边 EBN EBD BD=BN AB=AN+BN=AC+BD 45、（10分） 如图，已知：AD是BC上的中线，且DF=DE .求证:BE / CF.证明：/ AD是厶ABC的中线BD=CDDF=DE（已知）/ BDEM FDC BDEA FDC贝EBDM FCD BE/ CF （内错角相等，两直线平行）。BF .46、（10 分）已知：如图， AB= CD , DE 丄