(完整word版)微积分定理和公式

1、一、函数【定义1.1】都按照某一对应规则X称为自变量，y| y = f(x)，xXoy平面上点的集合 x，y) |D内任意两点X1,X2，当 X1 (或单增)；若总有 f(X1) f (X)在D内单调递增时，又设在某一变化过程中有两个变量x和y,若对非空集合 D中的每一点X,f，有惟一确定的实数 y与之相对应，则称y是X的函数，记作y = f（X）， X D.y称为因变量，D称为函数的定义域，y的取值范围即集合 D 称为函数的值域.y = f(x)，X忘d称为函数y = f(x)的图形.定义域D(或记Df )与对应法则f是确定函数的两个要素.因此称两个函数相同是指它 们的定义域与对应法则都相同

2、.(二) 函数的几何特性1. 单调性(1)【定义1.2】 设函数f (X)在实数集D上有定义，对于 0,使得对任意xD， 都有| f (x) | w M，则称f (x)在D内有界，或称f (x)为D内的有界函数.【定义1.4】 设函数f (X)在集合D内有定义，若对任意的实数 M 0,总可以找到一 D，使得| f (X) | M，则称f (X)在D内无界，或称f(x)为D内的无界函数.【定义1.5】 设函数f(x)在一个关于原点对称的集合内有定义，若对任意xD,都有f (X)= -f (x)(或f (x) = f(X),则称f(X)为D内的奇(偶)函数.奇函数的图形关于原点对称，当f(x)为连

3、续的函数时，f(x)=0,即f (X)的图形过原点.偶函数的图形关于 y轴对称.关于奇偶函数有如下的运算规律：设f1(x) f2(x)为奇函数，g1(x), g2(y)为偶函数，则f1(X) f2 (x)为奇函数；g1(X)g2(x)为偶函数；f1(x) g1(x)非奇偶函数；f1(x) g1(x)为奇函数；f1(x) ”f2(x), g1(x) 92&)均为偶函数. 常数C是偶函数，因此，奇函数加非零常数后不再是奇函数了.利用函数奇偶性可以简化定积分的计算.对研究函数的单调性、函数作图都有很大帮助.4.周期性【定义1.6】 设函数f(x)d在集合D内有定义，如果存在非零常数 T,使得对任意

4、X忘D，恒有f(x +T)= f(x)成立,则称f (X)为周期函数.满足上式的最小正数 T,称为f(x) 的基本周期，简称周期.我们熟知的三角函数为周期函数(考纲不要求)，除此以外知之甚少.y=x-X是以1为周期的周期函数.y=x与y=xX的图形分别如图1-1(a)和图1-1(b)所示.(三)初等函数1.基本初等函数(1)常数函数=C,定义域为(-8，+8),图形为平行于x轴的直线.在y轴上的截距为c.(2)幕函数内有定义，且图形过点= x,其定义域随着a的不同而变化.但不论a取何值，总在(1,+S)1,1).当a 0时，函数图形过原点(图 1-2)(b)图1-2(3)指数函数 y =ax(

5、a A 0,a H1),其定义域为(-8，+ 8).当0 a 1时，函数严格单调递增.子数图形过点(0,1). 微积分中经常用到以 e为底的指数函数，即y=eX (图1-3)(4)对数函数函数.微积分中常用到以y =1 ogx(a A0,a H1),其定义域为(1,+8)，它与y=ax互为反e为底的对数，记作y=1 nx,称为自然对数.对数函数的图形过点(1,0)(图 1-4)另有两类基本初等函数：三角函数与反三角函数，不在考纲之内.对基本初等函数的特性和图形要熟练地掌握，这充分条件判断、导数和定积分应用中都很重要.例如,设f (x)在(a,b)区间内二阶可导，对任意X亡(a,b), f (X

6、) 0.(1) f (x)在(a,b)内严格单调减少；(2) f (X)在(1,b)上为凸弧，均不充分.1)、( 2)均不充分.由初等函数的图形可知，y=-x4为2 =-12 X 0,因此(1) , (2)均不均充分，差别就在等于零与不等于则此题可以用举例的方法来说明(凸弧.y = _4x3在(8 ,8 + )上严格单调递减，但y ” 充分，故选E.此题若把题干改成 f (X) 0,则(1) , ( 2) 零.可见用初等函数图形来判断非常便捷 .2. 反函数R,如果对于每一个 y忘R，都有惟R以y为自变量的函数，记作【定义1.7 1设函数y = f(X)的定义域为D ,值域为 一确定的X D与

7、之对应，且满足y = f(X)x是一个定义在x=f*(y),y亡 R.并称其为y = f (x)反函数.习惯上用x作自变量，y作因变量，因此y = f(x)反函数常记为y = f/(x),x亡R. 函数y=f(x)与反函数y = f(x)的图形关于直线 y=x对称.严格单调函数必有反函数，且函数与其反函数有相同的单调性.y = ax与y = log a x互为反函.y=x2,x0,+ 8 的反函数为 y=jx,而y=x2,x忘(一 ,0)的反函数为 y = Jx (图 1-2 ( b).3. 复合函数【定义1.8】已知函数y = f(u),uDf,y亡Rf .又u = (x), x壬D护，u

8、R护，若Df n Rf非空,则称函数y = f (x), X 亡 &|(x)亡 Df为函数y = f(u)与u=(x)的复合函数.其中y称为因变量,x称为自变量,u称为中间变量.4.初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算而得到的一切函数统称为初等函数，初等函数在其定义域内有统一的表达式.(四)隐函数若函数的因变量 y明显地表示成y = f(X)的形式,则称其为显然函数.y = X2, y =1n(3x2 -1), y = Ux2 -1 等.设自变量x与因变量y之间的对应法则用一个方程式F(x,y)=O表示,如果存在函数y=f(x)(不论这个函数是否能表示成显函数)，将其代入所

9、设方程，使方程变为恒等式：F(x, f(x) =0, X- Df其中Df为非空实数集.则称函数y = f(x)由方程F(x,y)=O所确定的一个隐函数. 如方程jx + jy =1可以确定一个定义在0,1上的隐函数.此隐函数也可以表示成显函数的形式，即y = f(x) =(1 - Jx)2,xfOl但并不是所有隐函数都可以用X的显函数形式来表示，如exy + X + y = 0因为y我法用初等函数表达，故它不是初等函数.另外还需注意，并不是任何一个方程都能确定隐函数，如2 2X2 +y2 +1=0 .（五）分段函数有些函数，对于其定义域内的自变量X的不同值，不能用一个统一的解析式表示，而是要用

10、两个或两个以上的式子表示，这类函数称为分段函数，如X 0.fX+1,xaO,feX -1,1x2 _1,X4g(xr1nx,都是定义在（8,+ 8）上的分段函数.分段函数不是初等函数，它不符合初等函数的定义二、极限（不在考试大纲内，只需了解即可）极限是微积分的基础.（一）数列极限按照一定顺序排成一串的数叫做数列，如ai,a2an n称为通项.1. 极限定义【定义1.9】 设数列aj,当项数n无限增大时，若通项an无限接近某个常数 A,则称数 列右n收敛于A,或称A为数列iaj的极限，记作nman = A否则称数列9 发散或lim2.数列极限性质n Yan不存在.（1）四则极限性质设 lim X

11、n = a, lim yn =b，则njpclim cXfi =clim xnnjscnXn yn)=驶 nmyn =ab. nxn 卄 nmxnpmyn -ab.Xlim xnalim fnnmynb= ca.(bHO).(2) lim Xn =a= lim Xn* =a ( k为任意正整数) nnjcCnxn-an nmxzn = nmx2n 卄 a.（3）若lim Xn =a,则数列xn 是有界数列.n 苇丈二（4） 夹逼定理设存在正整数N。，使得nN0时,数列xnHynHzJ满足不等式Zn 兰 Xn 兰 yn .若 nmyn 二 nmzi 二a，则 nmxn 二 a. 利用此定理可以证

12、明重要极限N0都有Xn* Xn )则数列xj的极限一定存在.利用此定理可以证明重要极限limn + 1】=e(e =2.718,是一个无理数)nyn丿(二) 函数的极限1 . XT处时的极限【定义1.10】 设函数f(x)在|x|3a(a0)上有定义，当 XT处时屈数f (x)无限接近常数A,则称f(X)当XT 时以A为极限，记作映f(x)=A,简记XT +处(XT亠)时，f(X)无限接近常 时以A为极限，记作皿 f(x) = A).lim f(x)=A=lim f(x) = A.当XT或XT二时的极限当X沿数轴正(负)方向趋于无穷大数A,则称f(X)当XT +处(XT jjm，f(x) =A

13、 lim f(X)=Au3. XT x0时的极限【定义1.11】 设函数f(x)在X0附近(可以不包括X0点)有定义，当X无限接近X0(XHX0)时函数f(X)无限接近常数 A,则称当XT X0时,f (X)以A为极限，记作lim f(x) = A4.左、右极限若当X从X0的左侧 f(X)的左极限，记作若当X从X0的左侧 f(X)的右极限，记作1x0(XCX0 )趋于X0时,f(X)无限接近一个常数 A,则称A为XT X0时lim f(x) = A.或 f (xo 0) = AX3Xo(XAX0 )趋于X0时,f(X)无限接近一个常数 A,则称A为XT X0时limJ(x)=A.或f(Xo+O

14、) = AX3x0十lim f(x)=A= limj(X)=A= lim f(x) = A.xfoIXo 十XTX0-(三) 函数极限的性质1惟一性若,lim f(x)=A, lim f(x) =B 则 a=b.2.局部有界性若lim f(x) =A.则在xo的某邻域内(点xo可以除外)，f(x)是有界的.3 局部保号性若lim f(x) = A.且A o (或A o (或 f (x) o (或f (x) o (或A W o )。4. 不等式性质若 lim f(x) = A,To収g(X)= B，且AB，则存在x0的某邻域(点x0可以除外)，使f(x)g(x).若 lim f(x) = A,x

15、jxolimg(x)=B.且在xo的某邻域(点xo可以除外)有f (x) g(x)或xx0(f (x) W g(x)，则 AWB。5. 四则运算同数列(四) 无穷小量与无穷大量1无穷小量的定义【定义1.12】 若lim f(X)= 0，则称f (x)是XT x0时的无穷小量。xo(若 lim g(x)=处，则称f (x)是XT xo时的无穷大量)。 xTo2. 无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的倒数是无穷大量；无穷大量的倒数是无穷小量。3. 无穷小量的运算性质(i)有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量。(ii )无穷小量乘有界变量仍为无穷小量。(iii)有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量。4. 无

16、穷小量阶的比较设 lim a(x) =o,lim P(x) =o,XJXoXok HO,lim羿To P(x)c称a(x)与P(X)为同阶无穷小,特别k =1时，称a(X)与P(X) 为等价无穷小,记作a(X) P(x),称a(x)是比P(x)高阶的无穷小,称a(x)是比P(x)高阶的无穷大.5.等价无穷小常用的等价无穷小:Xo 曰 e -1 X,1n(1 +x)X,Xo 是,c/X1 x1 not,(1 + x)a_1ax hO)等价无穷小具有传递性，即a(x)P(x)，又P(x)Y(x)。等价无穷小在乘除时可以替换，即a(x)a*(x), P(x)p*(x),a (X)Ot (X) 则 l

17、im / 丿=lim _* 严 P(x)yxo p (x)(或 一K)/(或 /第二讲函数的连续性、导数的概念与计算重点：闭区间上连续函数的性质、导数的定义、几何意义、基本初等函数的求导公式、复合函数求导公式、导数的四则运算。三、函数的连续性(一)函数连续的概念1.两个定义【定义1.13】 设函数y = f (x)的定义域为D, X) D。若lim f (x) = f (xo)，则称 f(x)在Xo点连续；若f(x)在D中每一点都连续，则称f(X)在Xo点右连续。【定义1.14】 若lim f(x)= f (xo)，则称f(x)在Xo点右连续。Xsx(r若lim f(x) = f (xo)，则

18、称f (x)在Xo点左连续。xTXtTf (x)在Xo点连续u f (x)在Xo点既左连续又右连续。2.连续函数的运算连续函数经过有限次四则运算或复合而得到的函数仍然连续, 间内处处连续。因而初等函数在其定义区(二)间断点1.若lim f(x)与lim f (x)都存在，且不全等于f (xo)，则称xo为f (x)的第一类间XX厂断点。f(c) =0。推论1,推论2又称为零值定理。第二章导数及其应用其中若lim f (x)存在，但不等于f(xo)(或f (x)在xo无定义)，则xo为f(x)的可去 Jxo间断点。若lim f (x)与lim f (x)都存在，但不相等，则称xo为f (x)的跳

19、跃间断点。xtx汁x_o2.若lim f (X )与lim f (x)中至少有一个不存在，则称x0为f(x)的第二类间断点。Xo+Xo(三) 闭区间上连续函数的性质若f (x)在区间a,b内任一点都连续，又lim f (x) = f (a), lim f(x)=f(b)，则称函数f(x)在闭区间a,b上连续。1.最值定理M和最小值 m,即存在设f(x)在a, b上连续，则f (x)在a, b上必有最大值Xi,X2 可a,b，使 f(Xi) = M , f(Xi) =m,且m f (x) M ,x 可a,b。2.价值定理设f (x)在a,b上连续，且 m,M分别是f(x)在a,b上最小值与最大值

20、，则对任意的 k 忘m,M，总存在一点 C忘a,b,使f(c) =k。【推论1】 设f (x)在a,b上连续，m,M分别为最小值和最大值，且mMo,则至少存在一点 ca,b,使f(C)=o。1】 设f (x)在a,b连续，且 f(a)f(b)0，则一定存在c迂a,b,使【推论、导数的概念1. 导数定义【定义2.1】 设y=f(x)在Xo的某邻域内有定义，在该邻域内给自变量一个改变量Ax,存在,则称此极限值为函数函数值有一相应改变量Ay = f (xo + Ax) - f (x0)若极限f (Xo)或y，或dy,或df(x)LX =XodyxX = Xodxx = x -表示.y=f(x)在Xo

21、点的导数，此时称y=f(x)在Xo点可导，用D内处处可导(这时称 f(x)在D内可导),则对任意x0壬D,相应的若y = f (x)在集合导数f (xo)将随xo的变化而变化，因此它是x的函数，称其为y=f(x)的导函数，记作f (X)或包或dxdf(X) dx丿2.导数的几何意义若函数f(x)在点X0处可导,则f IxJ就是曲线y=f(x)在点(X0,y0)处切线的斜率，此时切线方程为 y yo = f (Xo)(x Xo).当f (Xo) =0,曲线y=f(x)在点(X0,y0)处的切线平行于x轴,切线方程为y ：= y0 = f (xo).若f(x)在点Xo处连续，又当XT xo时f(X

22、)T处，此时曲线y=f(x)在点(xo,yo)处的切线垂直于X轴，切线方程为X=Xo.3.左、右导数【定义2.2】设f(x)在点Xo点的左侧邻域内有定义 若极限lim f(Xo X)-f(Xo) 3 一存在，则称此极限值为f(x)在点xo处的左导数，记为r-(xo)r-(xo)=lim 一仁冷+也x)-f(xo)2一Ax类似可以定义右导数.f(x)在点xo点处可导的充要条件是f(x)在点Xo点处的左、右导数都存在且相等，即f(Xo)存在UfXo) = qXo)存在.若f(x)在(a,b)内可导，且 fja)及f；(b)都存在，则称f(x)在a,b上可导.4.可导与连续的关系若函数y = f (

23、X)在Xo点可导，则f(x)在点Xo处一定连续.此命题的逆命题不成立.邮导数定义，极限归菁=2mf(Xo +:)f(xo)存在可知，f(X)在Xo点可导， 必有AyTO,故f (X)在Xo点连续.但 f (X)在Xo点连续只说明当 心XT o时,也有心yT O, 而当Ay的无穷小的阶低于 也X时,极限即不存在，故f (x)在xo点不可导.只有Ay与Ax是同 阶无穷小，或Ay是比心X高阶的无穷小时，f (X)在xo点才可导.例如，y = X3, y =1 XI在X = o点连续，但不可导.、导数的运算1几个基本初等函数的导数(1) y =c(2) y =xa,(3) y =xX,/ =O.a 4

24、y = ax/ = ax1 na;pXy =e1(4) y=logaX, y =y =1 nx,x1na八1.X2.导数的四则运算(1)(2)(3)c u(x)r =C U(X)；u(x) v(x)r =(x) +v(x)；u(x) Kx) =u(x) v(x) +u(x) (X)；u(x)l _u(x)v(x) _u(x)v(x).Lv(x)一3. 复合函数的导数设函数U =(x)在X处可导，而函数y = f (U)在相应的点U =w(x)处可导，则复合函数 y = fu(x)在点X处可导，且必=frp(x)Q(x)或史=史理.dxdx du dx4. 高阶导数(二阶导数)(4)v2(x)若

25、函数 区间(a,b)内可导，一般说来，其导数y= f(x)仍然是x的函数，如果y= f(x)也是可导的，则对其继续求导数，所得的导函数称为f (X)的二阶导数，记为【注】 更高阶的导数 MBA大纲不要求，二阶导数主要用来判定极值、函数凹凸区间及 拐点导数的计算要求非常熟练、准确第三讲微分、导数的应用重点：微分的概念及运算、求曲线切线方程的方法、函数单调区间、极值、最值的求法三、微分1微分的概念【定义2.3】 设y = f(x)在xo的某邻域内有定义，若在其中给X0 改变量Ax,相应的 函数值的改变量心y可以表示为辿=f (x0 中也X) f (x0) = A也X + 0(Ax)(Axt 0).

26、其中A与心X无关，则称f (X)在X0点可微，且称Aix为f (X)在X0点的微分，记为dy=dfX =X0=Mx. x= X0A&是函数改变量逍的线性主部.=f(xo&).当x= xoy = f(X)在xo可微的充要条件是f (x)在xo可导,且dydyf(X)=x时，可得dx =馭,因此=f(xo)dx，dy= f(x)dx. X = xo由此可以看出，微分的计算完全可以借助导数的计算来完成.(2)微分的几何意义当x由x0变到x0 +Ax时，函数纵坐标的改变量为Ay，此时过x0点的切线的纵坐标的改变量为dy.如图2-1所示.当dyy时，切线在曲线上方，曲线为凸弧.2. 微分运算法则设u(x

27、),v(x)可微,则d(cu(x) =cdu(x)， d(c) =0. du(x) v(x) =du(x) du(x). du(x) “(x) =u(x)dv(x)+v(x)du(x).u(x) _v(x)du(x)-u(x)dv(x)v2(x)d =v(x)一阶微分形式不变性:设y = f(x)是由可微函数微,且y = f(u)和u =W(x)复合而成，则y = fW(x)关于x可 = f (x) 4(x)dx = f (x)d(x),、，df (u) du ,dy = f (u)du =”dxdu dx由于dy = f (u)du，不管u是自变量还是中间变量，都具有相同的形式，故称一阶微分

28、形式不 变.但导数就不同了：若 U是自变量，y = f u).若u是中间变量，u = u(x)，则y = f； 7；.四、利用导数的几何意义求曲线的切线方程求切线方程大致有四种情况，最简单的一种是求过曲线y = f(x)上一点(xo, f (xo)的切线方程，此时只需求出f (xo),切线方程为y - f (xo) = f(xo)(x-xo).第二种情况是过曲线 y = f (x)外一点(a,b),求曲线的切线方程，此时bH f (a).设切点为(X0, f(X0),切线方程为有 b - f(Xo)= f xo)(a-X0)从中求出y- f(X0)= f(X0)(x-X0),将点(a,b)代入

29、方程中，X0,化成第一种情况的切线方程,若得到X0惟一，则切线也不惟一.,这两条曲线可能相离，也可能相交.设两曲线为第三种情况是求两条曲线的公共切线y = f (X)与 y = g(x)解题方法是设在两条曲线上的切点分别为 (a, f (a), (b, g(b)这两点的切线斜率相等 从而有方程f(a) =ge).另外过点(a, f(a)的切线方程y- f(a)= f(a)(x-a)也过点(b,g(b),故有g(b)-f(a) =(a)(b-a)由、求出a,b,有了切点，切线方程也就可以写出来了.第四种情况是求两条曲线在某公共点处的公切线.设曲线y = f(ax)与y=g(x)在某点处相切，求a

30、的值与切线方程.则可设切点为(X0,g(x)从而有f (axo) =g(Xo)(f (ax)x./gg，由两方程联和可得 a的值及切点横坐标 沧.即切点(x0,g(x0),再由第一种情况，写出切 线方程.五、函数的增减性、极值、最值1函数的增减性的判定设函数f(x)在闭区间a,b上连续，在 (a,b)内可导若f(x)0或(f(x)O(或f (X) f (Xo)(或f (x) f (Xo),则称f (Xo)为极大值(或极小值)Xo为极大值点(或极小值点).需要注意的是，极值点一定是内点，极值不可能在区间的端点取到.(1)极值存在的必要条件：若f (X)在Xo点可导且Xo为极值点则f(Xo) =0

31、.因此，极值点只需在f （x） =0的点（驻点）或f （X）不存在的点中去找，也就是说，极值点必定是f，（x）=0 或f（x）不存在的点，但这种点并不一定都是极值点，故应加以判别.（2）极值存在的充分条件，即极值的判别法，分为第一判别法和第二判别法.第一判别法用一阶导数判定.高f （x）在X0点连续，且f（X0）= 0 （或f（X0）不存在）.若存 在& 0,使得当X珂X0 -鼻X0）时，有f （x） 0 （或f（X）不存在），当X巳x0，X0 +6 ）时，有 f x）0），此时X0为极大（极小）值点.f（X0）为极大（极小）值若f（X）在X0 的左右不变号，则X0不是极值点.以上判别法用下表

32、示意更清楚.X（X0 -,X0）X0X0,X0 +6+极大值点一（X）一极小值点+不是极值点+一不是极值点一第二判别法需用二阶导数判定，只适用于二阶导数存在且不为零的点，因此有局限性.当f（X0）=0,若f7x0）0,则X0为极小值点 若f7x0）v0，X0为极大值点，f7x0）=0 判别法失效，仍需用第一判别法.3. 函数在闭区间a,b上的最大值与最小值.极值是函数的局部性质.最值是函数的整体性质 .求最大值与最小值只需找出极值的可 疑点（驻点和不可导点），把这些点的函数值与区间的端点函数值比较，找出最大的与最小的即为最大值和最小值，相应的点为最大值点和最小值点.第四讲 函数图形的凹凸性、拐

33、点、不定积分重点：函数图形凹凸区间及拐点求法、找原函数的换元积分法和分部积分法六、函数图形的凹凸性、拐点及其判定1. 概念【定义2.5】 若在某区间内，曲线弧上任一点处的切线位于曲线的下方 ，则称曲线在此 区间内是上凹的，或称为凹弧（简记为 U）；反之，切线位于曲线上方，则称曲线是上凸的，亦称 凸弧（简记为A）,曲线凹、凸的分界点称为拐点 .2. 凹凸的判定设函数y = f（x）在区间（a,b）内二阶可导，若在（a,b）内恒有厂&） 0 （或 f （x）0 (或f(x)c0)判定f (x)在该子区间内单调递增(或递减),同时也可以将极大值点和极小值点求出.求函数曲线的凹凸区间与拐点.只需求二阶

34、导数等于零或二阶导数不存在的点，然后用上面的方法加以判定.第三章定积分及其应用一、不定积分1不定积分概念【定义3.1】(原函数)若对区间I上的每一点X,都有F(x) = f(X)或dF(x) = f (x)dx,则称F (x)是函数f(x)在该区间上的一个原函数.原函数的特性若函数f(x)有一个原函数F(x),则它就有无穷多个原函数，且这无穷多个原函数可表示为 F (x) +C的形式,其中C是任意常数.【定义3.2】(不定积分) 函数f(x)的原函数的全体称为f(x)的不定积分，记作J f(x)dx. 若F(x)是f(x)的一个原函数，则J f (x)dx = F(x) +C(C是任意常数)【

35、定义3.3】(原函数的存在性) 在区间I上连续的函数在该区间上存在原函数；且 原函数在该区间上也必连续.2. 不定积分的性质(1)积分运算与微分运算互为逆运算pl一(f f (x)dx)= f (x)或d( f f (x)dx)= f (x)dx, dx、jF (x)dx =F(x) +C或 JdF(x) =F(x) +C.(2) Jkf (x)dx =k Jf(x)dx(常数kH0)(3) n f(X)g(x)dx = Jf (x)dx Jg(x)dx3. 基本积分公式xadx =xa屮 +C(a H -1);a +1xfaxd- +C 1na11f dx =1 n1-X22dx = 1 n

36、|x|+C; xJeXdx = eX + C；12 a,dx =丄匕 -x 2a a- x1Jxa2dx = 1 nx + Jx? a2 +C4.求不定积分的基本方法和重要公式(1) 直接积分法所谓直接积分法就是用基本积分公式和不定积分的运算性质或三角恒等变形，再用基本积分公式和不定积分的运算性质可求出不定积分的结果(2) 换元积分法(I)第一换元积分法，或先将被积函数通过代数【公式3.1】若Jf(u)du=F(u)+ C,则Jf (玖x)A(x)dx= ff(x)dP(x)ff (u)du= F(u)+C【说明】1运算较熟练后，可不设中间变量F(x)+C.U =(x),上式可写作Jf(W(x

37、)dW(x) = F(W(x) +C.2。第一换元积分法的实质正是复合函数求导公式的逆用.它相当于将基本积分公式中的积分变量x用x的可微函数W(x)替换后公式仍然成立.用第一换元积分法的思路不定积分Jf(x)dx可用第一换元积分法，并用变量替换u=(x),其关键是被积函数 g(x)可视为两个因子的乘积g(x)= f(x)护(X),且一个因子f 0P(x)是(x)的函数(是积分变量 x的复合函数)，另一个因子W (X)是W(x) 的导数(可以相差常数因子).有些不定积分，初看起来，被积函数不具有上述第一换元积分法所要求的特征，在熟记基本积分公式的前提下，注意观察被积函数的特点，将其略加恒等变形：

38、代数或三角变形，便可用 第一换元积分法.(II )第二换元积分法【公式3.2】f f (x)dx变量替换令f f (申(t) (t)dt变量替换令F (t) + C x=(t) .x=W(t)丄f F(k(x)+Ct W(x)运用【说明】第二换元积分法与第一换元积分法实际上正是一个公式从两个不同的方向第一换元法令 (x)7 盂曲(X) 第一换元du.Jf 伴(X) (x)dx用第二换元积分法的思路 若所给的积分Jf(x)dx不易积出时，将原积分变量换，化成以t为积分变量的不定积分 Jf伴(t)(t)dt，若该积分易于积出，便达到目的。 被积函数是下述情况，一般要用第二换元积分法：x用新变量t的

39、某一函数W(t)来替1 被积函数含根式Wax+b(a HO,b可以是0)时,令Vax + b =t，求其反函数。作替换x-(tn -b)，可消去根式，化为代数有理式的积分。 a2被积函数含根式 Jex a时，令Jexa = t，求其反函数，作替换x = 1 n(t2 3 a)可消去根式。被积函数含指数函数 ax(或ex)，有时也要作变量替换：令aX =t(或et)，设1x=1nt(或X =1 nt)，以消去 ax(或ex)。 1na(3)分部积分法【公式 3.3 】Ju(x)v(x)dx = u(x)v(x) - Jv(x)U(x)dx或Ju(x)dv(x) =u(x)v(x) - Jv(x)

40、du(x)【说明】分部积分法是两个函数乘积求导数公式的逆用。用分部积分法的思路(I)公式的意义欲求Juvdx求 Jvudx.(II)关于选取U和v用分部积分法的关键是U = u(x),哪一个因子为v = v( X).般来说，选取U和v应遵循如下原则：1,当被积函数看作是两个函数乘积时,选取哪一个因子为选取作v的函数，应易于计算它的原函数；有的不定积分需要连续两次(或多于两次)运用分部积分法，第一次选作v(或U)的函，因此，被积函数是两5.求不定积分需要注意的问题(1)由于初等函数在其有定义的区间上是连续的，所以每个初等函数在其有定义的区间上2 2 1 .都有原函数，但初等函数的原函数并不都是初

41、等函数.例如e，ex ,ex,丄 等的原函数就无1nx法用初等函数表示.，往往得到形式不同的结果.这些结果至多相(2)对同一个不定积分，采用不同的计算方法 差一个常数，这是由于不定积分的表达式中含有一个任意常数所致第五讲重点：定积分的概念、性质、变限求导、牛顿-菜布尼兹公式、定积分的换元积方法和分部积分法二、定积分1 .定积分的定义【定义3.1】(定积分)函数f(x)在区间a,b上的定积分定义为bnI = a f(x)d limS f Ki)也 Xi ,其中 Ax-moxXi1.由定积分的定义，可推出以下结论：(1)定积分只与被积函数和积分区间有关；bb定积分的值与积分变量无关，即J f(x)

42、dx = J f(t)dt ；aabaa J f (x)dx =- f (x)dx，特别地，J f (x)dx = 0.aba定积分的几何意义b设f (x)在a，b上边续，J f(x)dx在几何上表示介于i轴、曲线 y= f (x)及直线ax=a,x=b之间各部分面积的代数和，在x轴上方取正号，在 x轴下方取负号.利用定积分的几何意义，可以计算平面图形的面积，也是考纲中要求的定义应用内容.【定理3.2】(可积的必要条件)若函数f(x)在区间a，b上可积，则f(x)在a，b上有界.【定理3.2】(可积的充分条件)若函数f (x)在区间a，b上连续，则f (x)在a，b上可积.【定理3.4】(可积

43、的充分条件)在区间a,b上只有有限个间断点的有界函数f(x)在该区间上可积.2.定积分的性质设f(x),g(x)在a,b上可积bb(1) kf(x)dx = k a f (x)dx,k为常数；bbbf(x)g(x)dx = a f (x)dx g(x)dx；对积分区间的可加性对任意三个数a,b,c，总有bcba f (x)dx = a f (x)dx + f (x)dx比较性质设f(X) g(x), X引a,b,则bbf(x)dx0, X引a,b,则 J f (x)dx 0 ；2bf (x)dx I f(x)|dxb(5) f dx = b a . a【定理3.5】(估值定理)若f(x)在a,

44、b上的最大值与最小值分别为M与m则bm(b-a) J f (x)dx M (b-a).L a【定理3.6】(积分中值定理)若f(X)在a,b上连续，则在a,b上至少存在一点E ,使b.af(x)dx = f()(b-a).1 b上式若写成f(e)=f f(x)dx,该式右端称为函数f (x)在区间a,b上的平均值.b-a a3. 微积分学基本定理【定理3.7】(原函数存在性定理)若函数f(x)在区间a,b上连续,则函数X(x) = I f (t)dt, x-1,ba是f(x)在a,b上的一个原函数，即d f X、a(x)=laf(t)dtj=f(x).设（X）,屮（X）可导【推论11【推论21

45、cp设（X）= f （t ）dt,则（X）= f 伴（x）A（x）.Cpx）设（x）=G）f（t）dt，则a（x） = f （申（X）（X）- f （屮（X）屮（X）.【推论31Qx)(x) = f f (t)g(x)dt,则a4(x)7Cftx)=ig(x) f(t)dt j =g(x) a f (t)dt +g(x)f (x)(x).Qx)a【定理3.8 1 （牛顿-莱布尼茨公式）若函数f（X）在区间a,b上连续，F（x）是f（x）在a,b上的一个原函数，则bf f(x)dx=F(x) =F(b)-F(a). aa上述公式也称为微积分基本定理，是计算定积分的基本公式4. 计算定积分的方法和

46、重要公式（1）直接用牛顿-莱布尼茨公式这时要注意被积函数f （X）在积分区间a,b上必须连续.（2）换元积分法【公式3.4】 设函数f （X）在区间a,b上连续，而函数x = W（t）满足下列条件：W（t）在区间a,P上是单调连续函数；2(a)=a,(P) =b3W（t）在比P上连续,bpjf（x）dx = r f（t）严（t）dt.aot该公式从右端到左端相当于不定积分的第一换元积分法；从左端到右端相当于不定积分的第二换元积分法，即用定积分的换元积分法与不定积分的换元积分法思路是一致的.作变量替换是，要相应地变换积分上下限.分部积分法【公式3.5】 设函数u（x）,v（x）在区间a,b上有连

47、续的导数，则b2fu(x)v(x)dx = u(x)v(x)Jv(x)u(x)dx.ac a用该公式时，其思路与不定积分法的分部积分法是相同的.除此此外，当被积函数为变上xb限的定积分时，一般要用分部积分法.例如，设f(X)= ( W(t)dt,求t f (x)dx ,这时，应设u = f (x),dv =dx .(4)计算定积分常用的公式2 , 1 2 -x dx = 兀a .4奇偶函数积分设f (x)在v,a上连续则abf f(x)dx, f(x)为偶函数时，f f(x)dx 詔 00,f(X)为奇函数时.aaJf(X)+ f (-x)dx 珥f(x) + f (-x)dx.1Lf(x)d

48、x=2计算定积分，当积分区间为-a,a时，应考虑两种情况 淇一是函数的奇偶性；其二是作变量 替换x = -u,用上述公式3 ,当公式右端的积分易于计算时，便达目的.周期函数积分 设f(x)是以T为周期的周期函数 则Tf (x)dx = 0 f (x)dx.5若f (x)以T为周期且是奇函数，则T-J0 f (x)dx =仔 f(x)dx = O第六讲重点:广义积分、利用定积分的性质还应平面图形面积(直角坐标系下).5. 广义积分b前面引进的定积分f f (x)dx有两个特点：积分区间为有限区间；被积函数f (x)在a,ba上为连续函数或只有有限个第一类间断点，从而f (x)在a,b上是有界函数.广义积分是指具有下列两个特点之一的积分：积分区间为无穷区间；被积