异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角专题复习与提高

1、空间角专题复习知识梳理一、异面直线所成的角及求法定义：在空间任意取一点，过该点分别作两异面直线的平行线所成的锐角或直角 称为两异面直线所成的角.n取值范围：若B是异面直线a和b所成的角，则其取值范围是氏(0,空，当n_八=2时，称异面直线a和b垂直，记为a丄b.(3)求法：平移法：将两异面直线中的一条或两条平移至某特殊点后，构造三角形， 通过解该三角形而求其大小；二直线与平面所成的角及求法(1) 定义：设I和a分别表示直线与平面若l/a或l?a,则称直线I和平面a所成的角为0 ;若Ila,则称I与a所成的角为一；若I与a相交，则I2与丨在a内的射影所成的锐角为直线I与平面a所成的角.取值范围：

2、设B是直线I与平面a所成的角，贝U B的取值范围是0,.2求法：定义法：探寻直线I在平面a内的射影，(通常由垂直法找射影)构造直线I 与平面a所成角对应的直角三角形，通过解该直角三角形而求得直线与平面所成的 角.三、二面角及求法(1) 定义：在二面角的棱上任取一点，分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角，且定义平面角的大小为该二面角的大小.(2) 取值范围：规定二面角的取值范围为0，冗.(3) 求法：定义法：分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则这两垂线所成的角称为 该二面角的平面角9练习提升1.如图，E、F分别是三棱锥P ABC的棱AP、BC的中点，异 面直线

3、AB与PC所成的角为()A. 30°B. 45°C. 60 °D. 90°答案：CPC 二 10, AB 二 6, EF 二乙则2已知长方体 ABCD - AiBiCiDi 中，AB= BC= 4, CCi =2，则直线BCi和平面DBBiDi 所成的角的正弦值为()a(A舟B,2A,ABc殛i0C. 5D.命答案：C3如图在边长为i的菱形ABCD中，/ ABC二60°，将菱形沿对角线AC折起；使折起后BD二i,则二面角B AC- D的余弦值为A-2*2C. 3答案：AB.24 .在正方体ABCD - AiBiCiDi中，BiC与对角面DDiB

4、iB所成角的大小是A. i5C. 45答案：BD. 60°5.如图，ABCD AiBiCiDi是长方体，AAi二 a,/ BABuZ BiAiCi二 30°，则AB 与 AiCi所成的角为 , AAi与BC所成的角为答案:30°, 45°6.在正方体 ABCD AiBiCiDi 中，直线AiB与平面ABCD所成的角是直线AiB与平面ABCiDi所成的角是直线AiB与平面ABiCiD所成的角是答案(i)45 0 (2)30 ° (3)907.设直线与平面所成角的大小范围为集合P，二面角的平面角大小范围为集合Q,异面直线所成角的大小范围为集合 R,

5、贝U P、Q、R的尖系为()B. R? P?QA. R二P?QC. P? R?QD. R? P二 Q答案：B8 .设 ABC和厶DBC所在两平面互相垂直，且AB二BC二BD二a，/ CBA二/ CBD = 120 °则 AD与平面BCD所成角的大小为（）A. 30°B. 45"C. 60°D. 757解析：作AO丄CB交CB的延长线于O琏接OD，则OD即为AD在平面BCD内的射影，/ ADO即为AD与平面BCD所成的角.AO 二 OD 二-23a, /ADO = 45 ° 答案：B9.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点（

6、不同于A、B）且PA二AC,则二面角P BC-A的大小为A. 60 °答案CPA丄平面ABCD 且PA二AD，则平面10.如图，已知四棱锥P- ABCD的底面是正方形, PAB与平面PCD所成的二面角的度数为（）A. 90 °B. 60 °C. 45 °D. 30 °解析：TAB /CD ,面PAB与平面PCD的交线I必为过P点与AB平行的直线.PA丄平面ABCD ,PA丄 AB, PA 丄 CD，又 CD 丄 AD,DC丄平面FAD ,DC 丄 PD , PAX I, PD±I,即/APD为所求二面角的平面角,ZAPD =45.答案

7、：C11 把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于下列结论：AC丄BD ：厶ADC是正三角形；AB与CD成60 °角：AB与平面BCD成60°角.则其 中正确结论的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D . 4个解析：取BD的中点0,则BD丄0C,BD丄OA，得BD丄平面AOC ,1BD 丄 AC,正确；cosADC = cos45 °s45 二？，/ADC 二 60 : AD =DC ,AADC是正三角形，正确； AB与CD成60。角，正确；AB 与平面BCD成角/ ABO二45 ；错误.答案：C12.如图所示的正方体ABCD A1B1C1D1中过顶点

8、B、D、Ci作截面则二面角B- DCi-C的平面角的余弦值是解析：取CQ的中点O,连接BO、CO,贝U BO丄CiD, CO丄CiD, zBOC是二面角B- DCi- C的平面角.设正方体的棱长为1，则CO =壮2,ADCi为正三角形，OB 二寺且 BC 二 1,'cosZBOC 二OB?+ Ob BC?2OB OC答案：于13如图,在直三棱柱AB、BBi的中点则直线ABC A1B1C1 AB 二已申和BC所成的角是（BC二 AAi,Z ABC = 90；点E、F分别是棱A. 45 °B. 60 0C. 90 °D. 120 °解析：取BC的中点G, A1

9、B1的中点H,连结FG、BG、HG、EFG或其补角就是所求的角利用余弦定理可求得1cos/EFG二，故所求角为60 °答案：B14 .如图，将RtA ABC沿斜边上的高AD折成120。的二面角C AD - C?,若直角边AB二 43, AC二4 6，则二面角A - BC 1 - D的正切值为（A. 2AD丄平面BC D, AD二4 2，在厶BC* D中，由余弦定理求得BC*二4.3,再由面积公式*BC ' DE 二 2BDC'SAcnD sin60 知 DE 二 4, r .tanZAEDADDE 二 2答案：A点评：考查二面角的知识， 余弦定理及三角形的边角计算.如

10、何作出二面角的平面角是解决此类问题的尖键.15在矩形 ABCD 中 > AB= 3, AD 二 4,PA丄平面ABCD,PA=,那么二面睥- 的度数是（)A. 30 °B. 45 °C.60 °D. 75°解析：如右图所示，过A作AE丄BD ,垂足为E，连结PE,则PE丄BD （三垂线定理），故/PEA为二面角P BD A的平面角.在 Rt ABAD 中，AB AD 12 Ab =BD5答案：A在Rt AAE中，/ PA並Otan ZPEA二忑二§ , A/PEA = 30 .解析：ZCDC f二120°过D作DE丄BC，于E,

11、连结16. 正四棱锥P ABCD的两个侧面 PAB与PCD互相垂直，则相邻两个侧面所成二面角的 平面角为（） B-90 °C. 120 °D. 150解析：如图，作BE丄PC,连结DE.ADC ttABCWDEX PC/JDEB就是二面角D - PC - B的平面角，O为DB的中点，zOEB 二 2/DEB ,又面PAB丄面PCD ,PO =2AB,%/213在 Rt4POC 中，OC二AB，所以 PC二AB.2AB £AB/0£=芦 AAB.22 AB an ZOEB 二一a AB6冗，2n ZOEB = 3，./DEB 二答案：C17. 如图在四棱锥

12、V ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为一5的等腰三角形，则二面角V AB-C的度数是答案60“n18. 如图，直角梯形ABCD中，AB/ CD，/ DAB二，点M、N分别在AB, CD上，且MN丄AB, MC+ CB, BC = 2, MB二4，现将梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND与平面MNCB垂直（如图）.求证:AB /平面DNC ;3当DN二2时，求二面角D- BCN的大小.16图解：（1）证明：MB /NC, MB?平面 DNC , NC?平面 DNC ,. MB / /平面 DNC.同理 MA /平面 DNC，又 MA A MB 二 M，且 MA

13、、MB?平面 MAB. 平面MAB /平面NCDAB / 平面 DNC.AB?平面MAB过N作NH丄BC交BC延长线于H ,平面AMND丄平面MNCB , DN ± MN ,DN丄平面MBCN，从而DH丄BC,由 MB = 4, BC= 2, ZMCB = 90 知 ZMBC = 60 °,CN= 4 2cos60 = 3,.NH 二 3sin60 乎由条件 tanNHD 二 DH 二 f,./NHD 二 30 : 知：NH319. 如图，已知在四棱锥P- ABCD中，底面ABCD是矩形，PA丄平面 ABCD , FA二 AD 二 1 , AB 二 2, E、F 分别是 A

14、B、PD 的中点.求证:AF/平面PEC ;求PC与平面ABCD所成的角的正切值；求二面角P- EC- D的正切值.解：（1）证明：如图，取PC的中点0,连接 OF、0E,贝 U FO /DC,且 FO 二1DC , FO /AE,又E是AB的中点，且 AB二 DC,FO 二 AE.四边形AEOF是平行四边形,AF /OE.又OE?平面PEC,AF?平面 PEC,AF /平面 PEC.如图，连接AC,PA丄平面ABCD ,zPCA是直线PC与平面ABCD所成的角.在Rt AAC中，PA tan ZPCA 二ACS 5即直线PC与平面ABCD所成的角的正切值为(3)如图，作AM丄CE,交CE的延

15、长线于M .连接PM，由三垂线定理得PM丄CE ,/PMA是二面角P- EC- D的平面角.由AAME SZCBE可得AM 二面角P - EC - D的正切值为2.20. 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,/ BCD 二 60 E 是 CD 的中点，PA 丄底面 ABCD , PA =A3.证明：平面PBE丄平面FAB；(2)求二面角A- BE- F的大小.B立三角形.C因为E是CD的中点，所以BE丄CD.证明如图所示，连接BD,由ABCD 是菱形且/ BCD二60。 又 AB / CD, 所以BE丄AB.又因为PA丄平面ABCD ,BE?平面 ABCD , 所以PA

16、丄BE.而 FAQ AB 二 A, 因此BE丄平面FAB.又BE?平面PBE,所以平面PBE丄平面PAB.解 由知，BE丄平面PAB, PB?平面PAB,所以PB丄BE.又AB丄BE,所以/ PBA是二面角A-BE- P的平面角.在 RtA PAB 中，tan/ PBA 二 TA 二.3 则/ PBA二 60 °, AB故二面角A BE P的大小是60。.21 已知平面a外两点A、B到平面a的距离分别为1和2, A、B两点在a内的射影之间距离为3, 求直线AB和平面a所成的角.解(1)如图，当A、B位于平面a同侧时，由点A、B分别向平面a作垂线，垂足分别为Ai、Bi,则AAi二1,

17、BBi二2, BiAu,3过点A作AH丄BBi于H，贝U AB和a所成角即为 / HAB.tan/ BAH =/ BAH 二 30 °i0如图，当A、B位于平面a异侧时经A、B分别作AAi丄a于Ai，BBi丄a于Bi,ABn a= C,则AiBi为AB在平面a上的射影，/ BCBi或/ACAi为AB与平面a所成角. BCBis" ACAi, BBi二 CC二 2, BiC 二 2CAi，而 BiC+ CAi二/3, BiC 二 3. tan/ BCBi =/ BCBi二60 °AB与a所成角为60 0综合、可知：AB与平面a所成角为30或60 ° 22.如图在三棱锥P-ABC中，PA丄底面ABC，/ BCA二90 °点D、E分别在棱PB、PCD上，且 DE/ BC.求证：BC丄平面FAC.(2)是否存在点E使得二面角A DE - F为直二面角？并