小四奥数还原问题

1、学科教师辅导讲义学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师：课题还原问题授课日期及时段教学目的1 1、 熟悉还原问题的各种题型；2 2、 熟悉还原问题的一般方法，并且能够迅速解决还原问题。教学内容一、知识点梳理1 1、有些题目顺着条件的叙述去求解会感到困难，但如果改变思考的顺序，从最后的结果开始，一步一步倒回去算，那么问题便容易解决了。如：一个数加上6 6，乘以 6 6,再减去 6 6,最后除以 6 6,结果还是 6 6,这个数是多少？像这样已知一个数的变化过程和最后的结果，求原来的数，我们通常把它叫做还原问题。2 2、 解答还原冋题的一般方法是：(1) 从最后得数出发，采用与原题中

2、相关的逆运算，原题加的用减，原题减的用加，原题乘的用除，原题除的用乘。(2) 根据原题的叙述顺序，从正面列出数量关系，再用逆算方法得出原数。3 3、在解决数学问题时，除了可以采用从已知条件出发顺着推出所需结果的方法外，还可以采用从结果出发，按照题目中所叙述过程的相反顺序来思考问题，特别是在顺着推不太容易时，逆着推有时可能帮我们迅速解决问题，这种方法就叫还原法或逆推法。二、典型例题例 1 1、 一个数加上 7 7,乘以 7 7,再减去 7 7,结果还是 7 7。这个数是多少？点拨：还原问题要从最后的结果出发，根据题意依次倒推，变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘，直到退 出最后结果。变式 1-

3、11-1 一个数加上 5 5,除以 7 7,再加上 1010,最后减去 5 5,结果是 8 8。这个数是多少？例 2 2、一堆苹果，第一次卖掉一半，第二次又卖掉余下的一半，还剩5kg,5kg,这堆苹果多少千克?点拨：第二次卖掉余下的一半，所以还剩的5kg5kg 就是另一半。用 5kg5kg 乘 2 2 就得到第一次卖掉一半后剩下的，再乘2 2得到原来的。变式 2-12-1 一根绳子第一次剪去它的一半少3 3 米，第二次剪去剩下的一半多5 5 米，最后还剩下 1010 米。这根绳子长多少米？例 3 3、一捆电线用去全长的一半少5 5 米，还剩 5656 米。这捆电线原来长多少米?点拨：此题的关键

4、是弄清楚还剩的5656 米，是一半还多 5 5 米，从 5656 米中减去 5 5 米，才是全长的一半，再用全长半乘 2 2 得全长变式 3-13-1 一根钢管用去全长的一半多6 6 米，还剩 2323 米。这根钢管原来长多少米?例 4 4、小明、小强和小亮三个人共有故事书6060 本，如果小强向小明借 3 3 本后，又借给小亮 5 5 本。结果三个人的故事书得本数正好相等。这三个人原来各有多少本？点拨：从最后三人本数相等，可先求出最后每人平均的本数，再根据条件，倒推回去。变式 4-14-1 三年级一班、二班、三班共有图书120120 本，如果一班向三班借 2020 本后，又借给二班 5 5

5、本，此时三个班的图书正好相等。求一班、二班、三班原来各有多少本图书？例 5 5、书架上分上、中、下三层，共放192192 本书，现在从上层取出与中层同样多的书放在中层，再从中层取出与下层同样多的放下层，最后从下层取出与上层剩下的同样多的书放到上层，这时三层书架所放的书本数相等。这个书架上、中、下各层原来各放多少本书？点拨：对于比较复杂的还原问题，我们除了用倒推法列式解题还可通过列表来帮助理清题目中数量间的变化关系。 从最后一次变化结果出发，分析清楚每一位的数量关系，逐一向前推出最初的结果。变式 5-15-1 有甲、乙、丙三桶油，共重216216 千克。现在从甲桶取出与乙桶同样多的油放入丙桶中，

6、再从乙桶取出与丙桶同样多的油放入乙桶中，再从丙桶中取出与甲桶剩下的同样多的油放入甲桶中。这时三桶油的重量相等。 那么，甲、乙、丙三桶原来各有多少千克油？例 6 6 将一个数扩大为原来的 7 7 倍后，减去 5 5，再除以 5 5,最后加上最大的一位数，得22.22.这个数是多少?点拨：本题在还原时，我们运用了加与减，乘与除之间的互逆关系，从后往前一步一步地推算的方法。变式 6-16-1 一个数加 5 5,乘 5 5,再减去 5 5，最后除以 5 5,结果还是 5 5，这个数是几?变式 6-26-2 一个数的 4 4 倍加上 8 8,减去 2020，再乘 2 2,得 7272,求这个数。变式 6

7、-36-3 春天，小明和小亮到林中采蘑菇，小明问小亮采了多少个蘑菇，小亮回答：“我采的蘑菇个数，除以 6 6,再加上 5 5,最后除以 4 4,正好是 3 3。”想一想，小亮采了多少个蘑菇？例 7 7 五个猴子相约到海滩上去分香蕉，一个猴子早到了，它将香蕉分成相等的五份， 多出一根扔到海里，留下一份,拿着其他的四份找同伴去了；第二个猴子到了海滩，又将香蕉分成了相等的五份，多出一根扔到海里，留下一份，拿 着其他的四份找同伴去了；第三、第四个猴子都如此办理，最后第五个猴子来到海滩，同样将香蕉分成五份，扔掉多出的一根，拿走了四份，海滩上只留下1 1 根香蕉，问最初海滩上有多少根香蕉？点拨：将结果作为

8、推导的起点，要注意每一次推导的结果所表示的意义。变式 7-17-1 袋子里有若干个球，小明每次拿出其中的一半再放回一个球，这样共操作5 5 次，袋子里还有 3 3 个球，那么袋中原有多少个求？变式 7-27-2 老奶奶卖西瓜，第一次卖了全部的一半又半个，第二次卖了余下的一半又半个，第三次卖了第二次余下的 一半又半个，第四次卖了第三次余下的一半又半个，最后还剩下一个西瓜，问老奶奶原来有多少个西瓜？变式 7-37-3 有一篮苹果，第一次吃去它的一半少一个，第二次吃去它余下的一半多一个，第三次吃去余下的一半，还 剩 3 3 个，这篮苹果共有多少个？例 8 8 福娃做数学游戏：三只盒子里总共放着363

9、6 枚棋子，如果第一只盒子里拿出4 4 枚棋子放入第二只盒子，再从第二只盒子里拿出 6 6 枚棋子放入第三只盒子，那么三只盒子里的棋子同样多。原来三只盒子里各有多少枚棋子？点拨：“三只盒子里的棋子同样多”这是最后的结果，但是每只盒子里的棋子到底有多少枚呢？我们还要结合前面 的“三只盒子里总共放着 3636 枚棋子”这个条件去想。变式 8-18-1 三筐苹果共重 9090 千克，如果从甲筐取出1515 千克放入乙筐，从乙筐取出2020 千克放入丙筐，从丙筐取出1717千克放入甲筐，这时，三筐苹果就同样重，甲、乙、丙原来各有苹果多少千克？例 9 9 一堆火柴有 3030 根，两人轮流从中拿取 13

10、13 根，不能多拿也不能不拿，规定谁拿到最后一根谁赢，先拿的同学第 一次要拿几根才能保证获胜？变式 9-19-1 甲、乙两个小朋友玩“抢四十二”的游戏，即两人从1 1 开始轮流报数，每次可报1313 个数（不能不报）这样下去，谁报到 4242 就胜了，甲先报，甲要保证获胜，第一次要报几？变式 9-29-2 20092009 个空格排成一排，第一格中放有一枚棋子，现有 2 2 个人做游戏，轮流移动棋子，每人每次可前移 1 1 格,2 2 格或 3 3 格，谁先到最后一格，谁为胜，问确保获胜的方法是什么？变式 9-39-3 有 100100 根火柴，甲、乙两人轮流取火柴，规定每人每次可取1010

11、根以内（包括 1010 根）的任何根火柴，谁取完最后一根火柴即为胜者。如果开始由甲先取，谁一定能取胜？怎样才能取胜？例 1010 甲、乙、丙各有球若干个，甲给乙、丙一些球，使乙、丙的球是原来的2 2 倍；然后乙也给甲、丙一些球，使甲、丙的球增加 1 1 倍；最后丙也给甲、乙一些球，丙给甲的球的个数与甲已有球的个数一样多，丙给乙的球的个数也 与乙已有球的个数一样多，此时，三人共有7272 个球，且每人一样多，问甲、乙、丙原来各有球各多少个？点拨：在倒推的过程中，用“拿来的还原，拿走的取回”的方法解答时，要逐步弄清求得什么，循环渐“退”，化难为易，化繁为简。变式 10-110-1 有 8181 千

12、克水分装在甲、乙、丙三个瓶中，先从甲瓶中倒出一些水给乙、丙两瓶，使乙、丙两瓶的水变为 原来的 3 3 倍；再把乙瓶的一部分水倒入甲、丙两瓶，使甲、丙两瓶的水变为原来的 3 3 倍；最后，再将丙瓶的水倒入甲、乙两瓶，使甲、乙两瓶的水变为原来的 3 3 倍，现在 3 3 个瓶子中的水一样多，问甲、乙、丙三瓶中原来各有多少千克水？变式 10-210-2 甲、乙、丙三个班共有学生 144144 人，先从甲班调出与乙班相同的人数到乙班，再从乙班调出与丙班相同 的人数到丙班，最后从丙班调出与这时甲班相同的人数到甲班，这样，甲、乙、丙三个班人数相等，原来甲班比乙班 多多少人？变式 10-310-3 甲、乙、

13、丙三个盒子中各有若干个小球，从甲盒内拿出 三个盒子内的小球个数相等，原来乙盒比丙盒多几个球？4 4 个放入乙盒，再从乙盒内拿出 8 8 个放入丙盒后,4040二、课后习题1 1、一个数加上 3 3，乘以 2 2，再减去 3 3,最后除以 3 3,结果还是 3,3,o这个数是多少?2 2、一块布，第一次剪去全长的一半，第二次剪去余下的一半，还剩8 8 米。这段布原来长多少米?3 3、甲、乙、丙三人各有一些连环画，甲给乙 4 4 本，乙给丙 6 6 本后，三个人书得本数同样多。乙原来比丙多多少本?4 4、甲、乙、丙三个小朋友各有年历卡若干张，如果甲给乙1313 张，乙给丙 2323 张，丙给甲 3

14、 3 张，那么他们每人各有张。问原来三人各有年历卡多少张？5 5、某人乘车从甲地到乙地，行了全程的一半时开始睡觉，当他醒来发现车又行了剩下的一半，这时离乙地还有 米。问：甲、乙两地相距多少米？30306 6、小英读一本书，第一天读了全书的一半少1515 页，第二天读了余下的一半多 1010 页，还剩下 6565 页没有读。这本书共有多少页？7 7、甲、乙两个鱼塘各有若干条鱼，如果从甲鱼塘捞出和乙鱼塘同样数量的鱼放入乙鱼塘；再从乙鱼塘捞出和甲鱼塘 剩下的同样数量的鱼放入甲鱼塘。这时，两个鱼塘数目都是7676 条。两个鱼塘原来各有多少条鱼？8 8、三个篮子共装 6060 个鸡蛋，王大妈从甲篮子里取

15、出 6 6 个鸡蛋放入乙方篮子中， 又从乙篮子中取出 8 8 个放入丙篮子中, 此时三个篮子里鸡蛋的数量正好相等。甲、乙、丙三个篮子里原来有多少个鸡蛋？9 9、修路队修一条公路，第一天修了这段路的一半又5050 米，第二天修了剩下的一半又5050 米，第三天将剩下的 100100 米全部修完。这段公路全长多少米？1010、“老百姓”超市有 A A、B B、C C 三箱糖果，一共 120120 千克，售货员阿姨从 C C 箱中取出与 A A 箱同样多糖果放入 A A 箱中; 再从 A A 箱中取出与 B B箱同样多的糖果放入 B B 箱；再从 B B 箱中取出与 C C 箱剩下的同样多的糖果放入

16、 C C 箱，此时三箱 糖果的重量相等。原来 A A、B B、C C 三箱各有糖果多少千克？1111、某数加上 6 6,乘 6 6,减去 6 6，除以 6 6,其结果等于 6 6，则这个数是多少?1212、科学家培育一种有益的菌种，每小时增长1 1 倍，现有一批这样的细菌，1010 小时后达到 100100 万个，当它们达到 2525万个时，经历了多少时间？1313、中百超市出售一种 VCDVCD，上午售出总数的一半少 1010 台，下午售出剩下的一般多2020 台，还剩 9595 台，超市里原有VCDVCD 多少台？1414、有一篮鸡蛋，甲取走一半多 1 1 个，乙取走余下的一半多 1 1

17、个，丙取走再余下的一半多1 1 个，这时筐里只剩下 1 1个鸡蛋，这篮鸡蛋共值 6 6 元 6 6 角，问平均每个鸡蛋值多少钱？1515、求某数的 4 4 倍加 8 8，一个学生错误地计算成某数先加8 8 再乘 4 4,结果得 968968，正确的计算结果是多少?1616、两个人轮流数数，每人每次可以数1 1 个、2 2 个或 3 3 个，但是不能不数也不能多数，例如第一个人数1,21,2,第二个人接着往下数，他可以数3 3，也可以数 3 3，4,54,5,如此继续下去，谁数到100100，谁就获胜，请试一试，怎样才能获胜？1717、两个书架共有 750750 册书，如果从第一个书架上取走 3030 册书，第二个书架上放入 8080 册书，这时第二个书架上是第 一个书架上有多少册书？第二个书架上有多少册书？1818、两堆火柴分别有 2626 根和 2828 根，甲、乙两人轮流从这两堆火柴中取火柴，每次可以从任意一堆里取任意多根，但 不能不取，也不能同时从两堆里取，规定得到最后一根火柴的人取胜，问甲要采取怎样的策略才能获胜？1919、有 243243 千克苹果分装在甲、乙、丙三