2023-2024学年广西百色市高二（上）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广西百色市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知数列3，6，3，23，15，…，则A.第8项 B.第9项 C.第10项 D.第11项2.已知空间向量a=(1,−1A.|a|=2 B.2a−b=(03.设双曲线x2a2−y2b2A.y=±12x B.y=4.已知数列{an}满足an+1=A.2 B.−1 C.12 5.已知直线x−3y+8=0和圆x2+y2A.3 B.3 C.5 D.6.如图，在四面体OABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，则OA.13OA+13OB+

7.若直线ax+2y+1=0A.a=−2 B.a=1 C.a8.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一．指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比|MQ||MP|=λ(λ>0,λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点MA.10 B.11 C.15二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.椭圆x2+y29=1的长轴长是2 B.抛物线y2=410.数列{an}的前n项和为Sn，已知SA.数列{an}是递增数列 B.数列{an}有最大项，无最小项

C.当n>3时，an11.已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为A.存在点P，使得∠F1PF2=90°

B.若∠F1PF2=60°12.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，A.三棱锥P−A1BD的体积为定值

B.点P到直线BD的距离的最小值为2

C.向量D1P与DB夹角的取值范围是[0,

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若直线l的一个方向向量是d=(1,3)14.在等比数列{an}中，a2=1，a415.如图是一座抛物线型拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面上升2m后，桥洞内水面宽为______16.已知点A，B是椭圆G：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的两点，且直线AB恰好平分圆x2四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知圆C经过点A(1,1)和B(1,−3)，且圆心C在直线x−y−2=0上．

18.(本小题12分)

已知等差数列{an}和正项等比数列{bn}满足：a1=b1=3，3a4=b3，a10=b2+1219.(本小题12分)

已知抛物线C：y2=2px(p>0)上的点M(5,m)到焦点F的距离为6．

(1)求抛物线C的方程；

(2)20.(本小题12分)

如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，AB=AA1=2，点P在线段21.(本小题12分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+4=2an．

(1)求{a22.(本小题12分)

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，离心率为12，点G(0,2)与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形．

(1)求椭圆C答案和解析1.【答案】B

【解析】解：根据题意，数列3，6，3，23，15，…，

其通项公式可以为an=3n，

若3n=32.【答案】D

【解析】解：对于A，|a|=12+(−1)2+02=2，故A错误；

对于B，2a−b=2(1,−1,0)−(1,0,1)=(1,−2,−1)，故B错误；

对于C3.【答案】A

【解析】解：∵双曲线虚轴长为2，焦距为25，

∴2b=2，2c=25，可得b=1且c=5，

因此a=c24.【答案】B

【解析】解：由an+1=11−an，a1=2，

则a2=11−2=−1，a3=11−(5.【答案】C

【解析】解：设圆心到直线的距离为d，由题意可得2r2−d2=6，

即d2=r2−9，结合点到直线距离公式可得：|86.【答案】C

【解析】解：在四面体OABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，

则OG=12(OA+OD)，OD=12(OB+O7.【答案】A

【解析】解：因为两条直线平行，所以a(a+1)=2，且2a≠a+1，

解得8.【答案】D

【解析】解：设Q(a,0)，M(x,y)，所以|MQ|=(x−a)2+y2，由P(−13,0)，

所以|PM|=(x+13)2+y2，因为|MQ||MP|=λ且λ=3，所以(x−a)2+y29.【答案】CD【解析】解：椭圆x2+y29=1中a=3，故长轴长2a=6，A错；

抛物线y2=4x的焦点是(1,0)，B10.【答案】CD【解析】解：根据题意，数列{an}中Sn=−n2+5n，

当n=1时，a1=S1=−1+5=4，

当n≥2时，an=Sn−Sn−1=−2n+6，

a1=4也符合该式，an=−2n+6，

故数列{an}是首项为4，公差为−2的等差数列，

依次分析选项：

对于A，数列{an}是公差为−211.【答案】AB【解析】解：根据题意：可得c=3，|AB|的最小值为1，所以|AB|=2b2a=1，又c2=a2−b2，

所以a=2，b=1，所以椭圆方程为x24+y2=1，

当点P为该椭圆的上顶点时，tan∠OPF2=3，所以∠OPF2=60°，

此时∠F1PF2=120°，所在存在点P，使得∠F1PF2=90°，所以选项A正确；

若∠F1PF2=60°，|PF1|+|12.【答案】AC【解析】解：对于A，∵平面B1CD1//平面A1BD，

∴点P到平面A1BD距离dP−A1BD等于点D1到平面A1BD的距离dD1−A1BD，且为定值，

∴VP−A1BD=13dD1−A1BD⋅S△A1BD，是定值，故A正确；

对于B，∵BD//平面B1D1C，

∴P到直线BD距离的最小值，等于B到平面B1D1C的距离h，

∵VB−B1CD1=V13.【答案】π3【解析】【分析】本题考查了直线的方向向量(平面)和直线的倾斜角与斜率，属于基础题．

设直线l的倾斜角是θ，利用直线的方向向量得直线l的斜率，再利用直线的倾斜角与斜率的关系，计算得结论．【解答】解：设直线l的倾斜角是θ，

因为直线l的一个方向向量是d=(1,3)，

所以直线l的斜率为3，

因此ta14.【答案】2

【解析】解：{an}为等比数列，

则a62=a4⋅a8=16，解得a615.【答案】8【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标，

以与抛物线的拱坝的相切的直线为x轴，以拱坝的顶点处与x轴垂直的直线为y轴，

设抛物线的方程为x2=my，由题意可得点(8,−4)在该抛物线上，

将点(8,−4)代入抛物线的方程可得：64=−4m，解得m=−16，

即抛物线的方程为：x2=−16y，

水面上升2米，设B(16.【答案】6【解析】解：由直线AB恰好平分圆x2+y2=R2(R>0)，可得直线AB过原点，

设A(x1,y1)，则B(−x1,−y1)，M(x2,y2)，

可得x12a2+y12b2=1x22a2+17.【答案】解：(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

则圆心坐标为C(−D2,−E2)，

由题意1+1+D+E+F=01+9+D−3E+F=0−D2+E2−【解析】(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则圆心坐标为C(−D218.【答案】解：(1)∵{an}是公差为d的等差数列，{bn}是各项都为正数，公比为q的等比数列，

a1=b1=3，3a4=b3【解析】(1)利用等差数列和等比数列的通项公式即可求解；

(219.【答案】解：(1)由抛物线C：y2=2px(p>0)的方程，可得准线方程x=−p2，

再由抛物线的性质可得|MF|=5+p2=6，可得p=2，

所以抛物线的方程为：y2=4x；

(2)设【解析】(1)由抛物线的性质可得|MF|的表达式，进而可得p的值，求出抛物线的方程；

(2)设A，B20.【答案】解：(1)证明：在△ABC中，∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，AB=2，

∴AC=BC=2，

又直三梭柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=2，则A1ABB1为正方形，………………(1分)

设A1B交AB1于点O，则O为AB1的中点，且A1B⊥AB1．

连接PA，PB1，PO，∵侧棱CC1⊥底面ABC，P为CC1的中点，

则PA=AC2+PC2=2+1=3，B1P=B1C12+C1P2=2+1=3，

故PA=PB1.∴P【解析】(1)证明A1ABB1为正方形，设A1B交AB1于点O，推出A1B⊥AB1，连接PA，PB1，PO，PO⊥AB1，然后证明AB1⊥平面PA121.【答案】解：(1)由题意，当n=1时，S1+4=a1+4=2a1，

解得a1=4，

当n≥2时，由Sn+4=2an，

可得Sn−1+4=2an−1，

两式相减，可得an=2an−2an−【解析】(1)先将n=1代入题干表达式计算出a1的值，当n≥2时，由Sn+4=2an，可得Sn