二次函数中考压轴题精选讲解学习

1、资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除二次函数中考压轴题精选1.（ 2012 浙江湖州3 分）如图，已知点A （ 4， 0），O 为坐标原点， P 是线段 OA 上任意一点（不含端点O， A ），过 P、O 两点的二次函数y1 和过 P、A 两点的二次函数y2 的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、 C，射线 OB 与 AC 相交于点 D 当 OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于【】A5B45C3D432 （ 2012 浙江义乌3 分）如图，已知抛物线2，直线 y2=2x+2 ，当 x 任取一值时， x 对应的函数值分别为y1、y1= 2x +2y2若 y y，取 y、y2中的较小

2、值记为 M ；若 y，记 M=y1=y 2例如：当 x=1 时，y1=0，y2=4 ，y1 y ，此时 M=0 下1 211=y 22列判断：当 x 0 时， y1 y2； 当 x 0 时， x 值越大， M 值越小；使得 M 大于 2 的 x 值不存在；使得 M=1 的 x 值是或其中正确的是【】word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除A BCD 【答案】 D 。【考点】二次函数的图象和性质。【分析】当 x 0时，利用函数图象可以得出y2 y1。此判断错误。抛物线y1= 2x2y1、 y2，+2，直线 y2=2x+2 ，当 x 任取一值时， x 对应的函数值分别为若 y，取 y

3、 、 y中的较小值记为M 。1y212当 x 0时，根据函数图象可以得出x 值越大， M 值越大。此判断错误。抛物线y1= 2x2，与 y 轴交点坐标为： （ 0，2），+2，直线 y2=2x+222，故 M 大于 2 的 x 值不存在；此判断正确。当 x=0 时， M=2 ，抛物线 y1= 2x +2，最大值为 使得 M=1 时，若 y22 ， x2；1= 2x +2=1 ，解得： x1=22=2若 y2=2x+2=1 ，解得： x= 1 。 2由图象可得出：当x=2 0，此时对应 y1=M 。22抛物线y1= 2x +2 与 x 轴交点坐标为： （ 1，0），（ 1， 0），当 1 x 0

4、，此时对应y2=M ， M=1 时， x=2 或 x= 1 。此判断正确。22因此正确的有：。故选D。3. （ 2012 浙江衢州 12 分）如图，把两个全等的Rt AOB 和 Rt COD 分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB 、OD 在 x 轴上已知点 A （ 1， 2），过 A 、 C 两点的直线分别交x 轴、 y 轴于点 E、 F抛物线2y=ax +bx+c 经过 O、A 、C 三点（ 1）求该抛物线的函数解析式；（ 2）点 P 为线段 OC 上一个动点，过点P 作 y 轴的平行线交抛物线于点M ，交 x 轴于点 N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM 为等腰梯形？若存在，求出

5、此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由（ 3）若 AOB 沿 AC 方向平移（点A 始终在线段AC 上，且不与点C 重合）， AOB 在平移过程中与COD 重叠部分面积记为S试探究S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除2【答案】解：（ 1）抛物线 y=ax +bx+c 经过点 O， c=0。又抛物线2y=ax +bx+c 经过点 A 、C， a+b=2a=32 。，解得4a+2b=1b= 72抛物线解析式为y=3x 2 +7x 。22（2）设点 P 的横坐标为 t， PN CD， OPN OCD ，可得 PN= t

6、。 P（t， t ）。22点 M 在抛物线上， M （t ，3t2 +7t ）。22如图 1，过 M 点作 MG AB 于 G，过 P 点作 PHAB 于 H，AG=y A yM=2 3 t 2 + 7 t= 3 t27 t+2 ，2222BH=PN=t。2当 AG=BH 时，四边形 ABPM为等腰梯形， 3t27t+2= t ，化简得 3t28t+4=0 。222解得 t2，1=2（不合题意，舍去） ，t2=3点 P 的坐标为（2，1 ）。33存在点 P（ 2，1 ），使得四边形ABPM 为等腰梯形。33（ 3）如图2， AOB 沿 AC 方向平移至 AO，BAB交 x 轴于 T，交 OC

7、于 Q， AO交 x 轴于 K，交 OC 于 R。由 A 、 C 的坐标可求得过 A、 C 的直线为 yAC = x+3word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除设点 A的横坐标为a，则点 A（ a， a+3），易知 OQT OCD ，可得 QT= a 。2点 Q 的坐标为（ a， 2 ）。3设 AB 与 OC 相交于点 J， ARQ AOJ ，相似三角形对应高的比等于相似比，HT=AQ。OBAJA Q3a1 a21=2 a。 HT=OB=1AJ22KT= 11（ 3 a）， AQ=y yQ=（ a+3）a32A T=A=3a。222S 四边形RKTQ=S SARQ=11A Q?H

8、TAKTKT?AT223 a 3 a3 a1 a2 + 3 a3 =2+ 3 。113a+2 =1a 322222242281 0，2在线段 AC 上存在点 A（ 3，3 ），能使重叠部分面积S 取到最大值，最大值为3 。228【考点】二次函数综合题，二次函数的图象和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值，等腰梯形的性质，相似三角形的判定和性质，图形平移的性质以及几何图形面积的求法。【分析】（ 1）抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 O、 A 、C，利用待定系数法求抛物线的解析式。（ 2）根据等腰梯形的性质，确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一元二次方程，求出

9、t 的值，从而可解。结论：存在点 P（ 2，1），使得四边形 ABPM 为等腰梯形。33（ 3）求出得重叠部分面积S 的表达式，然后利用二次函数的极值求得S 的最大值。4. （ 2012 浙江绍兴 12 分）把一边长为 40cm 的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）。（ 1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。要使折成的长方形盒子的底面积为 484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由。word 可编辑

10、资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除（ 2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况） 。【答案】解：（ 1）设剪掉的正方形的边长为xcm。则（ 40 2x） 2=484，解得 x131 （不合题意，舍去） ， x29 。剪掉的正方形的边长为9cm。侧面积有最大值。设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，则 y 与 x 的函数关系为： y 4(40 2x)x8x 2160x8(x 10) 2800

11、， x=10 时， y 最大 =800。即当剪掉的正方形的边长为10cm 时，长方形盒子的侧面积最大为800cm2。（2）在如图的一种剪裁图中，设剪掉的正方形的边长为xcm。则 2(40 2x)(20x)2x(20 x) 2x(40 2x) 550 ，解得： x135 （不合题意，舍去） ， x2 15 。剪掉的正方形的边长为15cm。此时长方体盒子的长为15cm，宽为 10cm，高为 5cm。【考点】二次函数的应用，一元二次方程的应用。【分析】（ 1）假设剪掉的正方形的边长为xcm，根据题意得出（ 40 2x） 2=484，求出即可假设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为 ycm2，则

12、 y 与 x 的函数关系为： y=4（ 40-2x ） x，利用二次函数最值求出即可。（ 2）假设剪掉的正方形的边长为xcm，利用折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，得出等式方程求出即可。5 （ 2012 浙江绍兴 14 分）如图，矩形 OABC的两边在坐标轴上，连接AC ，抛物线 y x 24x 2 经过 A ， B 两点。（ 1）求 A 点坐标及线段 AB 的长；（ 2）若点 P 由点 A 出发以每秒1 个单位的速度沿 AB 边向点 B 移动， 1 秒后点 Q 也由点 A 出发以每秒7 个单位的速度沿 AO ， OC， CB 边向点 B 移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移

13、动，点P 的移动时间为t 秒。word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除当 PQAC 时，求 t 的值；当 PQAC 时，对于抛物线对称轴上一点H， HOQ POQ，求点 H 的纵坐标的取值范围。【答案】解：（ 1）由抛物线 y x 24x2知：当 x=0 时， y= 2， A （ 0， 2）。四边形 OABC 是矩形， AB x 轴，即 A 、B 的纵坐标相同。当 y= 2 时， 2x 24x 2 ，解得 x1 0， x 2 4 。 B （4， 2）。 AB=4 。（2）由题意知：A 点移动路程为AP=t ，Q 点移动路程为7（ t 1） =7 t 7。当 Q 点在 OA 上时，

14、即 0 7t7 2 ， 1 t9时，7如图 1，若 PQ AC ，则有 Rt QAP Rt ABC 。 QA= AP ，即 7t7t ，解得 t7。ABBC425 79，此时 t 值不合题意。57当 Q 点在 OC 上时，即 2 7t7 6，9t13 时，77如图 2，过 Q 点作 QD AB 。 AD=OQ=7（ t 1） 2=7t 9。 DP=t（ 7t 9）=9 6t。若 PQ AC ，则有 RtQDP Rt ABC ， QA= DP，即 296t，解得 t4。ABBC443 9413 ， t4符合题意。7373当 Q 点在 BC 上时，即 6 7t7 8，13t15时，77如图 3，若

15、 PQ AC ，过 Q 点作 QGAC ，则 QG PG，即 GQP=90° 。 QPB 90°，这与 QPB 的内角和为180°矛盾，此时 PQ 不与 AC 垂直。word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除综上所述，当t4时，有 PQAC 。34， BPQ BAC ， BP = BQ ，当 PQAC 时，如图BA BC 4 t 87(t1) ，解得 t=2 。42即当 t=2 时， PQ AC 。此时 AP=2 ， BQ=CQ=1 。 P（2， 2）， Q（4， 1）。抛物线对称轴的解析式为 x=2，当 H1 为对称轴与 OP 的交点时，有 H 1O

16、Q= POQ，当 yH 2 时， HOQ POQ。作 P 点关于 OQ 的对称点 P，连接 PP交 OQ 于点 M，过 P作 PN垂直于对称轴，垂足为 N，连接 OP，在 RtOCQ 中， OC=4， CQ=1 。 OQ=17 ， SOPQ=S 四边形 ABCD SAOP S COQ S QBP=3=1OQ×PM ，2 PM= 6 17 。 PP=2PM=12 17 。1717 NPP= COQ。 RtCOQ Rt NPP。CQ=OQOC1174'N1248NP''=，即 '=，解得 P， PN。PPPNPN12 17PN171717 P（4614）。

17、直线 OP的解析式为 y717，x 。1723 OP与 NP 的交点 H 2（ 2， 14）。23当 y H14时， HOP POQ。2314综上所述，当yH2 或 yH时， HOQ POQ 。23【考点】二次函数综合题，曲线图上点的坐标与方程的关系，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，对称的性质。【分析】（ 1）已知抛物线的解析式，将 x=0 代入即可得A 点坐标；由于四边形OABC 是矩形， 那么 A 、B 纵坐标相同，代入该纵坐标可求出B 点坐标，则AB 长可求。word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除（ 2） Q 点的位置可分：在OA 上、在 OC 上、在

18、 CB 上 三段来分析，若PQ AC 时，很显然前两种情况符合要求，首先确定这三段上t 的取值范围，然后通过相似三角形（或构建相似三角形），利用比例线段来求出t 的值，然后由 t 的取值范围将不合题意的值舍去。当 PQ AC 时， BPQ BAC ，通过比例线段求出t 的值以及 P、Q 点的坐标， 可判定 P 点在抛物线的对称轴上，若 P、H 1 重合，此时有 H1OQ= POQ。若作 P 点关于 OQ 的对称点 P，OP与 NP 的交点 H 2，亦可得到 H2OQ= POQ，而题目要求的是HOQ POQ，那么 H 1 点以下、 H2 点以上的 H 点都是符合要求的。6. （ 2012 浙江台

19、州 12 分）某汽车在刹车后行驶的距离s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系得部分数据如下表：时间 t（秒）00.20.40.60.81.01.2行驶距离 s（米）02.85.27.28.81010.8（ 1）根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点；（ 2）选择适当的函数表示 s 与 t 之间的关系，求出相应的函数解析式；（ 3）刹车后汽车行驶了多长距离才停止？当 t 分别为 t1，t 2（ t1 t2）时，对应s 的值分别为s1，s2，请比较s1 与 s2 的大小，并解释比较结果的实际意义t1t2【答案】解：（ 1）描点图所示：（ 2）由散点图可知该函数为二次函数。设二次函数的解析式

20、为：s=at2 bt c，抛物线经过点（ 0， 0）， c=0。又由点（ 0.2， 2.8），（ 1，10）可得：word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除0.04a+0.2b=2.8 ，解得：a=5 。a+b=10b=15经检验，其余各点均在s= 5t2+15t 上。二次函数的解析式为：s5t 215t 。（3）汽车刹车后到停止时的距离即汽车滑行的最大距离。245 ，当 t= 3 时，滑行距离最大，为 s5t 215t= 5t345 。2424因此，刹车后汽车行驶了45 米才停止。4 s5t 215t ， s15t1215t1，s25t 2215t 2 。s5t 215t1 =

21、5t1s=5t215t2 = 5t 2 15 。 1 =115，22t1t1t2t2 t1 t2， s1s2 = 5t1155t215 =5 t2t > 0 。 s1> s2。t1t21t2t1其实际意义是刹车后到t2 时间内的平均速到t1 时间内的度小于刹车后平均速度。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质和应用，不等式的应用。【分析】（ 1）描点作图即可。（ 2）首先判断函数为二次函数。用待定系数法，由所给的任意三点即可求出函数解析式。（ 3）将函数解析式表示成顶点式（或用公式求），即可求得答案。（ 4）求出 s1 与 s2 ，用差值法比

22、较大小。t1t27. （ 2012 浙江温州14 分）如图，经过原点的抛物线yx 22mx(m 0) 与 x 轴的另一个交点为 A. 过点 P(1,m) 作直线 PMx 轴于点 M ，交抛物线于点 B. 记点 B 关于抛物线对称轴的对称点为C（B 、 C 不重合） .连结 CB,CP。（ 1）当 m3 时，求点 A 的坐标及 BC 的长；（ ）当m1时，连结CA，问 m 为何值时CACP？2（ 3）过点 P 作 PE PC 且 PE=PC，问是否存在m ，使得点 E 落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m 的值，并写出相对应的点E 坐标；若不存在，请说明理由。word 可编辑资料收集于网络

23、，如有侵权请联系网站删除【答案】解：（ 1）当 m=3 时， y= x2 6x。令 y=0 得 x2 6x=0，解得， x1=0， x2=6。 A （6， 0）。当 x=1 时， y=5。 B（ 1， 5）。抛物线 y= x2 6x 的对称轴为直线 x=3 ，且 B ， C 关于对称轴对称， BC=4 。（ 2）过点 C 作 CH x 轴于点 H（如图 1）由已知得，ACP= BCH=90° ， ACH= PCB。又 AHC= PBC=90° ， AGH PCB 。 AH PB。CH BC抛物线y= x2 2mx 的对称轴为直线x=m ，其中 m 1，且 B ，C 关于对称

24、轴对称， BC=2 （ m1）。 B（ 1， 2m 1）， P（ 1，m）， BP=m 1。又 A （ 2m， 0）， C（ 2m1， 2m 1）， H（ 2m 1， 0）。 AH=1 ，CH=2m 1， 1m 1 ，解得 m= 3 。2m12 m12（ 3）存在。 B ， C 不重合， m1。（ I ）当 m 1 时， BC=2 （ m 1）， PM=m ， BP=m 1，（ i ）若点 E 在 x 轴上（如图1）， CPE=90° ， MPE+ BPC= MPE+ MEP=90°，PC=EP。 BPC MEP ， BC=PM ，即 2（ m-1）=m ，解得 m=2。此

25、时点 E 的坐标是（ 2， 0）。（ ii ）若点 E 在 y 轴上（如图 2），过点 P 作 PN y 轴于点 N，word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除易证 BPC NPE， BP=NP=OM=1 ，即 m 1=1 ，解得， m=2 。此时点 E 的坐标是（ 0， 4）。（ II ）当 0 m 1 时， BC=2 （ 1m）， PM=m ， BP=1 m，（ i ）若点 E 在 x 轴上（如图 3），易证 BPC MEP， BC=PM ，即 2（ 1 m） =m ，解得， m= 2 。3此时点 E 的坐标是（4， 0）。3（ ii ）若点 E 在 y 轴上（如图4），过点

26、P 作 PN y 轴于点 N，易证 BPC NPE， BP=NP=OM=1 ，即 1 m=1， m=0（舍去）。综上所述，当 m=2 时，点 E 的坐标是（ 0， 2）或（ 0， 4），当 m= 2 时，点 E 的坐标是（ 4 ， 0）。33【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（ 1）把 m=3，代入抛物线的解析式，令y=0 解方程，得到的非0 解即为和x 轴交点的横坐标，再求出抛物线的对称轴方程，从而求出BC 的长。（ 2）过点 C 作 CH x 轴于点 H（如图 1）由已知得ACP= BCH=90

27、76; ，利用已知条件证明 AGH PCB ，根据相似的性质得到：AHPB，再用含有m 的代数式表示出BC，CH ，BP，代入比例式即可求CHBC出 m 的值。（ 3）存在。本题要分当 m 1 时， BC=2 （m-1）， PM=m ， BP=m 1 和当 0 m 1 时， BC=2 （1 m），PM=m ，BP=1 m，两种情况分别讨论，再求出满足题意的m 值和相对应的点E 坐标。8. （ 2012 浙江义乌12 分）如图1，已知直线y=kx 与抛物线 y=4 x 2 + 22 x 交于点 A （ 3， 6）273（ 1）求直线 y=kx 的解析式和线段 OA 的长度；（ 2）点 P 为抛物

28、线第一象限内的动点，过点P 作直线 PM ，交 x 轴于点 M （点 M 、O 不重合），交直线 OA 于点 Q，再过点 Q 作直线 PM 的垂线，交 y 轴于点 N 试探究：线段 QM 与线段 QN 的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除（ 3）如图 2，若点 B 为抛物线上对称轴右侧的点，点E 在线段 OA 上（与点O、A 不重合），点 D （ m， 0）是 x 轴正半轴上的动点，且满足BAE= BED= AOD 继续探究： m 在什么范围时，符合条件的E 点的个数分别是1 个、 2个？【答案】解：（ 1）把点

29、 A （ 3，6）代入 y=kx得； 6=3k ，即 k=2 。 y=2x 。 OA32+62 =3 5。（ 2）线段 QM 与线段 QN 的长度之比是一个定值，理由如下：如图 1，过点 Q 作 QG y 轴于点 G， QH x 轴于点 H当 QH 与 QM 重合时，显然QG 与 QN 重合，此时 QMQHQHtan AOM=2 。QNQGOH当 QH 与 QM 不重合时， QN QM ，QG QH 不妨设点H， G 分别在 x、 y 轴的正半轴上， MQH= GQN 。又 QHM= QGN=90° ， QHM QGN 。 QMQHQHtanAOM=2 。QNQGOHword 可编辑

30、资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除当点 P、 Q 在抛物线和直线上不同位置时，同理可得QM =2 。QN线段 QM 与线段 QN 的长度之比是一个定值。（ 3）如图 2，延长 AB 交 x 轴于点 F，过点 F 作 FC OA 于点 C，过点 A作 AR x轴于点 R。 AOD= BAE ， AF=OF 。 OC=AC= 1 OA= 5 5 。22 ARO= FCO=90° ， AOR= FOC， AOR FOC。 OFAO3 55 。 OF=55515 。OCOR32215点 F（， 0）。设点 B （ x，4x2 + 22 x ），过点 B 作 BK AR 于点 K ，则 AKB ARF 。27342+22xBKAKx36x3，即27。FRAR7