2018届高考数学第一轮复习教案

1、高三一轮复习6.7数学归纳法【教学目标】1.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.重重点难点】1 .教学重点：了解数学归纳法的原理并能用数学归纳法证明一些简单的数学命题；2 .教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图考纲传真：了解数学归纳法的原埋，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.真题冉现；1.(2013湖北，14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,，第n个三n(n+1)1c1角形数为'；)=；n

2、2+；n.记第n个k边形数为N(n,k)(k>3)以卜列出了部分k边形数中第n个数的表达式：O通过对考纲的解读和分析。让学生明确考试要求，做到有的放矢1c1三角形数N(n,3)=戏2+21正方形数N(n,4)=n2,3c1五边形数N(n,5)=n2n,六边形数N(n,6)=2n2n,可以推测N(n,k)的表达式，由此计算N(10,24)=.解析由题中数据可猜想：含n2项的系1、，1人数为首项是1，公差是1的等差数列，含n,11八项的系数为首项是2,公差是-1的等差数列，因此N(n,k)=2+(k3)2.+|1+(k-3)l-1)n=jky2n2+4-？kn.222,一22故N(10,24

3、)=11n2-10n=11X102-10X10=1000.答案10002.(2015江苏,23)已知集合X=1,2,3,Yn=1,2,3,，n(n6N*),设Sn=(a,b)|a整除b或b整除a,a6X,b6Yn,令f(n)表示集合S所含元素的个数.(1)写出f(6)的值；学生通过 对高考真题 的解决，发现 自己对知识 的掌握情况。(2)当nA6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明.解(1)f(6)=13.(2)当nA6时,f(n)=nnnn+2+j2r+3I,n=6t,n1n1n+2+2+3,n=6t+1,nn2、一-In+2+-+o,n=6t+2,23J，j、n1naon+2+,n

4、=6t+3,123Jnn1八n+2+2+3-I，n=6t+4,n+2+fn-y1+n-z-2j,n=6t+5123J(tN*).下面用数学归纳法证明：当n=6时，f(6)=6+2+6+6=13,23结论成立；学生通过 对高考真题 的解决，感受 高考题的考 察视角。假设n=k(k>6时结论成立，那么n=k+1时，&+1在a的基础上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生，分以下情形讨论：1)若k+1=6t,则k=6(t-1)+5,此时有f(k+1)=f(k)+3=k+2+T+"2+323=(k+1)+2+一,结论成立;232)若k+1=6t+1,

5、则k=6t,此时有kk.f(k+1)=f(k)+1=k+2+5+o+1=(k23(k+1)1+1)+2+-_2+(k+1)1.-3，结论成立；3)若k+1=6t+2,则k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+223=(k+1)+2+2+(3)，结论23成立；4)若k+1=6t+3,则k=6t+2,此时有kk2f(k+1)=f(k)+2=k+2+2+3+2=(k+1)+2+，结论成23立；5)若k+1=6t+4,则k=6t+3,止匕时有f(k+1)=f(x)+2=k+2+9+k+232=(k+1)+2+2+(3)，结论23成立；6)若k+1=6t+5,则k=6t+4,此时有kk1

6、f(k+1)=f(k)+1=k+2+2+3+1=环节二：(k+1)1(k+1)+2+2+(k+1)2-，结论成立.综上所述，结3论对满足nn6的自然数n均成立.知识梳理：知识点数学归纳法的定义及框图表示1 .数学归纳法的定义证明一个与正整数n有关的命题，可按卜列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个可取值no(no6N)时命题成立;(2)(归纳递推)假设n=k(k斗0,kN*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n。开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.2 .数学归纳法的框图表示验讦5=曲时曲期成立若a&价争期时命题成立

7、土证明n=*+l呷*品以上归纳奥基归纳递推曲题对从而开始的所有正整数也都成立1.必知关系；数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，第_止曰芋正M山"给一止日节惨M少也生个山依据”，两个步骤缺一不可.2.必清误区；运用数学归纳法应注意以卜两点：(1)第一步验证n=no时，no不一te为1,要根据题目要求选择合适的起始值.(2)第二步中，归纳假设起着已知条件”的作用，在证明n=k+1时，命题也成立的过程中一定要用到它，否则就不是数学归纳法.考点分项突破考点一：用数学归纳法证明等式1.设f(n)=1+1+1+1(n6N*)23n求证：f(1)+f(2)+-+f(n-1)=nf

8、(n)-1(nZnWN*).【解】当n=2时，左边=f(1)=1,一117一一右边=2J+21尸1,左边=右边，等式成立.假设n=k(k4Zk6N州寸，结论成立，即f(1)+f(2)+f(k1)=kf(k)1,那么，当门=卜+1时，f(1)+f(2)+f(k-1)+f(k)=kf(k)1+f(k)=(k+1)f(k)-k=(k+教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。引导学生通过对基础知识的逐点扫描，来澄清概由常见问题的解决和总结，使学生形成解题模块，提高模式识别能力S教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构引导学生对所学的知识进行小结，由利于学11)fk+】k=(k+1

9、)f(k+1)(k+1)=(k+1)f(k+1)1,当n=k+1时结论成立.由可知：f(1)+f(2)1+f(n1)=nf(n)T(nAZn6N*).归纳：数学归纳法证明等式的思路和注意点1 .思路：用数学归纳法证明等式问题，要先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n。是多少.2 .注意点：第二步关键是:凑假设，二凑结论”.由n=k时等式成立，推出n=k+1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程.考点二：用数学归纳法证明不等式1 .等比数列an的前n项和为Sn,已知对任意的nN*,点5,Sn)均在函数

10、y=bx+r(b>0且b#b,r均为常数)的图象上.(1)求r的值；念，加强理 解。从而为后 面的练习奠 定基础.在解题中注 意引导学生 自主分析和 解决问题，教 师及时点拨 从而提高学 生的解题能 力和兴教师引导 学生及时总 结，以帮助学 生形成完整 的认知结构。生对 已有 的知 识结 构进 行编 码处理，加强理解记忆，提高解题技当b=2时，记bn=2(log2an+1)(nN*),证明：对任意的n6N*,不至十bl+1b2+1bn+1/卡等式bl,b2bn>加+2.【解】(1)由题总，Sn=bn+r,当n>2时，&+i=bn+1+r.所以第=&Si=bn1

11、(b-1).由于b>0且b?所以nA2时，%是以b为公比的等比数列.又a1=b+r,a2=b(b1),所以a2=b,a1rrbb-1./日即"=b,解得r=1.b+r(2)由(1)及b=2知an=2n1,因此bn=2n(n6N*),所证不等式为2+14+12n+1/24.2n>Nn+1.当n=1时，左式=2，右式=!2,左式>右式，所以结论成立.假设n=k(kLk6N)时结论成立，口门2+14+12k+1;即2Z2k>"k+1,则当n=k+1时，2+14+12k+12k+3、242k2k+1>/2k+32k+3加,7k+12k+125+1

12、9;女证ink+1时结论成立，r、T2k+3/口十2k+3只需证2/kT1K12，即证2贝k+1k+2,213由基本不等式得任尹=k+1+k+22/q2k+3Kk+lk+2成u，故2Mi司k+2成立，所以，当n=k+1时，结论成立.由可知，n6N*时，不等式bi+1b?+1bn+1/弁一hh>'n+1成立.bib2bn跟踪训练：1.已知数列an,an>Qa1=。，a21+an+11=an.求证：当nN*时,an<an+1.【证明】(1)当n=1时，因为a2是方程a2+a21=0的正根，所以a1<a2.假设当n=k(kN*)时，0<ak<ak+1,贝!

13、J由ak+1-ak=(ak+2+ak+21)(ak+1+ak+1-1)=(ak2ak+1)(ak+2+ak+1+1)>0,得ak+1<ak+2,即当n=k+1时，an<an+1也成立.根据(1)和(2),可知an<an+1对任意nN都成立.归纳：数学归纳法证明不等式的适用范围及关键1 .适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法.2 .关键：由n=k时命题成立证n=k+1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化.考点三：归纳一

14、猜想一证明命题角度1与数列有关的问题1 .数列Xn满足Xi=。,Xn+i=X2+Xn+c(nN*).证明：Xn是递减数列的充要条件是c<0.若0<c<4,证明：数列Xn是递增数列.【证明】(1)充分性：若0<0,由于Xn+1=Xn+Xn+C»n+C<Xn,所以数列Xn是递减数列.必要性：若4是递减数列，则X2<X1,且X1=0.又X2=X1+X1+c=c,所以c<0.故Xn是递减数列的充要条件是C<0.一1一I若0在左，要证Xn是递增数列.即Xn+l>Xn,也就是证明Xn<".卜面用数学1.L归纳法证明当0cc每时

15、，Xn<对任意nAnN*都成立.,L1、(i)当n=1时，xi=0</c2,结论成立.(ii)假设当n=k(k6N*)时结论成立，即Xk<vc.因为函数f(x)=X2+X+c在区间小内单调递增，所以Xk+1=f(Xk)<f(Vc)=&,这就是说当n=k+1时，结论也成立.故xn<yC对任意nAnN都成立.因此,Xn+1=Xn-Xn+C>Xn,即Xn是递增数列.命题角度2与不等式有关的问题2.由卜列不等式：1>9，1+9+q>1,1+223+1>31+2372'1十2311>2,，你能得到一个怎样的一般不15等式？并加以

16、证明.【解】一般结论：1+2+3+.+1n*一一，.，2>2（n6N）,证明如下：当n=1时，由题设条件知命题成立.假设当n=k（k6N*）时，猜想正确，口111k山即1+2+3+2卜一1>2.当n=k+1一.1111时，1+2+3+2k1+2+1k111k2k+1_1>2+2k+2k+1+2k+1-1>2k111k2k+2卜+1+2卜+1+2卜+1=2+2k+1=k+12，2k项.当n=k+1时,不等式成立.根据可知，XtnN*，有1+1+1+231n+”1、归纳：1.证明与数列有关的问题应注意两点（1）准确计算为，a2,a3发现规律（必要时可多计算几项）；（2）证明

17、ak+1时，ak+1的求解过程与a2,a3的求解过程相似，注意体会特殊与一般性的辨证关系.2.正确理解归纳一猜想一证明”模式归纳一猜想一证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的止确性.环节二：课堂小结：1.了解数学归纳法的原埋，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.学生回顾，总结.引导学生对学习过程进行反思，为在今后的学习中，进行启效调控打下良好的基础。环节四：课后作业：学生版练与测学生通过作业进行课外反思，通过思考发散巩固所学的知识。相信能就一定能33,ArLLrr与2HQ评分标准:45ilu1m2SJ.65分以上为能力超强6065分为能力强556