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1、. . . . 一 函数、极限、连续1 函数的性质a 有界性(1) 定义:, ,有.(2) 无界:, ,有.(3) 无界与无穷:无界的本质是有一个子列趋向于无穷;无穷的本质是任意的子列趋向无穷。b 奇偶性(1) 定义:偶;奇 。(2) 导函数:奇导偶,偶导奇.(3) 原函数:奇原偶, 偶函数的原函数有且仅有一个为奇函数.c 周期性(1) 定义:(2) 导函数:导函数还是周期函数并且周期一样d 单调性(1) 定义:递增(递减) 当时,均有(2) 导函数:单增(减);单增(减). 一 函数、极限、连续1 函数的性质a 有界性(1) 定义:, ,有.(2) 无界:, ,有.(3) 无界与无穷:无界的
2、本质是有一个子列趋向于无穷;无穷的本质是任意的子列趋向无穷。b 奇偶性(1) 定义:偶;奇 。(2) 导函数:奇导偶,偶导奇.(3) 原函数:奇原偶, 偶函数的原函数有且仅有一个为奇函数.c 周期性(1) 定义:(2) 导函数:导函数还是周期函数并且周期一样d 单调性(1) 定义:递增(递减) 当时,均有(2) 导函数:单增(减);单增(减).例1 设(A) 偶函数 (B)有界函数 (C) 周期函数 (D)单调函数分析:(A) 则是偶函数.(B) 取, 则, 故无界.(C) 若为周期函数,设周期为, , 故而, 从而 显然,当, 显然, 故而不是周期函数.(D) 设, 故而不是单调函数.例2
3、设是一个奇的连续函数,则下面必定是奇函数的是( )(A) (B)(C) (D)根据上面条件无法判断分析: (A) 是偶函数, 从而(A)是奇函数.(B) 是奇函数, 从而(B)是偶函数.(C) 是奇函数, 偶函数.例3 设函数具有二阶导数,并满足且若则(B)(A) (B)(C) (D)分析: 显然是奇函数, 故而是偶函数且为周期为1的函数, 则.2 极限的定义和性质a 一元函数的极限与性质(1) :,,当时,有.(2) 推论: 若, 则不存在.(3) 当有(4) 四则运算(略). 它的一个重要推论如下: 若,则.b 二元函数(1) :,,当时,有.(2)推论:若按两路径趋向于所得极限不同,则不
4、存在.(3) 当有例4 设,求和。分析:例5设函数在点(0,0)连续,且,则点(0,0)是( )(A)极大值点 (B)极小值点 (C)不是极值点 (D)根据上面条件无法判断3 一元函数极限的计算a 四则运算和等价无穷小代换.例6.例7 求b 三大恒等变形1).含的极限. 若直接计算且, 直接利用公式 将写成求解.例8例92)有理化变形例10例11 求3) 分子、分母同时除以最大的无穷大常见的无穷比较: 例12例13d 洛必达法则和泰勒定理函数进行泰勒定理展开时, 只要展开到首次不同项即可.例14设函数,则当时,是的()(A)低阶无穷小(B)高阶无穷小(C)等价无穷小(D)同阶但不等价的无穷小例
5、15 求.4 二元函数极限的计算a 利用夹逼准则、等价无穷小、初等函数的连续性等转化为为一元函数的极限.例16 求例17 求b 选择不同的路径得到不同的极限从而极限不存在.例18 请说明是否存在.5 连续函数a 定义: .b 运算:连续的函数的和、差、积与商(分母不为零),仍连续; 连续函数经有限次复合而成的复合函数仍连续。c 闭区域(区间)连续函数性质: 有界性、最值性、介值性、零点定理.推论: 设在连续,且存在, 则在有界.例19(04) 设函数在下列哪个区间有界( )A (-1,0) B (0,1) C (1,2) D (2,3)例20 设在连续,求证存在使得. 二 微分学1 导数与偏导
6、数的定义、性质a 导数定义: 1) 存在.2)存在在可微在连续.3)若, 在连续,则存在若, 在连续, 则存在.b 偏导数定义: ,.1) 在可微2) 例1设, 则在原点偏导数有( )(A) 偏导存在,偏导不存在 (B) 偏导不存在,偏导也不存在(C) 偏导不存在, 偏导存在 (D) 偏导存在,偏导也存在例2讨论二元函数 在处的连续性、偏导是否存在和可微性例3 可导, ,则是存在的( )条件A 充要 B 充分非必要 C 必要非充分 D 即非充分也非必要2 显函数求导公式a 常见的求导公式: 四则运算和复合函数求导(略).b微分方法求导(偏导数): 利用微分形式不变性求出微分, 自变量微分的系数
7、就是所要求的导数.c连环相乘的对数求导法: 设,两边取对数从而例4 设 求和.例5 设, 求.例6 设求3 特殊函数的求导方法a参数函数求导法: ; .b反函数求导法: ; c变上限函数求导法则: 其他形式的变上限函数通过四则运算或者换元变成上面的形式.d 分段函数的求导方法: 定义是唯一的途径.例7 设在和上连续,和分别为在和的原函数,令 又在上连续,问是否为在的一个原函数?例8 设满足,求它的反函数的二阶导数例9求常数a,b使函数处处可导,并求出导数例10 设在(,+ )连续且,求例11 设f(x)在(,+)连续,又,求例12 设,求4 隐函数求导公式: 两边同时求导或者求微分.例13设有
8、连续的一阶偏导数,又函数与分别由下列两式确定和,求.例14 设, 证明. 5 极值问题a 显函数极值问题先求出驻点()或者导数不存在的点(偏导不存在考研不要求);再进行判断,一元函数可以用在可疑点附近的领域判断或者在可疑点的值判断, 二元函数只能用二阶偏导判断.b隐函数极值问题先求可疑点,再判断但是隐函数只能用二阶导数判断.c 条件极值1)方法1: 消去条件,将条件问题直接转化为无条件问题.2)方法2: 利用Lagrange法将条件问题直接转化无条件问题.例15求函数在约束条件和的最大值与最小值例16 求方程所确定的隐函数的极值.例17设函数由方程确定,试求的驻点,并判断是否为极值.例18 求
9、单调区间和最值.例19 设在x = 0某邻域连续,则在x = 0处(A)不可导 (B)可导且(C)有极大值 (D)有极小值6 有界闭区域上的最值先求部可能点,再求边界可能点. 一元函数的边界可能点即为左右端点, 二元函数转化为求满足边界方程的可能条件极值点, 一般利用Lagrange乘子法. 其次,求出所有可能点对应的函数值,其中的最大值就为总体最大值,最小值就为总体最小值.例20求的最值.7 中值定理的证明问题a) 直接证明型: 参数放在等式右边,左边为或的形式,直接利用拉格朗日或者柯西中值定理。例21 证明.例22证明b) 构造函数型: 构造函数利用洛尔定理.1) 简单型:直接可以写出要构
10、造的函数,如下面的几个形式:,2) 标准型:. 构造的函数为.例23 设在上连续,在可导,且满足:,证明:至少存在一点,使得,.例24 设,在上皆连续,皆可导,且,则存在,使.8 函数的零点问题a) 一般若是讨论根的个数问题. 主要步骤如下:1) 写出方程对应的函数2)利用导数列表研究函数的单调性3) 分析各个单调区间端点值(或极限值)的符号(事实上就是零点定理),得到根的个数.b) 根的唯一型问题. 主要步骤如下:1) 写出方程对应的函数2)证明函数在区间上具有单调性. 3)证明区间端点值(或极限值)的异号。例25 当取下列哪个值时,函数恰有两个不同的零点 ( )(A) 2 (B) 4 (C
11、) 6 (D) 8例26 设有方程,其中为正整数,证明此方程存在惟一正根,并求。9 辅助函数法证明不等式步骤1:设置一个自变量,构造自变量的函数;步骤2:对函数求导,求最值, 将最值和要证明的值做比较。注: 同一问题可以构造很多函数,选择导数比较简单的函数。例27 若,证明 。例28 若,证明。例29证明当时有 .10 导数、偏导数的简单几何应用a) 切线: , 切点的斜率为该点对应的导数.b) 曲线的切向量与切线和法平面方程(数学一)1) 曲线方程为, 的切向量为,2)曲线方程,处切向量c) 曲面的法向量与切平面和法线方程(数学一)1),处的法向量2)若曲面方程为,写成之后,其法向量,此指向
12、与轴正向夹角为锐角.例30 函数在附近有定义且则(A)(B)曲面在点的法向量为.(C)曲线在点的切向量为.(D)曲线在点的切向量为.三 积 分1 积分的基本性质与定义a) 定积分1)定义:. 右端点: 左端点: 2) 定积分的主要性质. 若 则.特别的:又有但两个函数不全相等,则. 中值定理. 设在上连续,则存在使得. b) 二重积分1)定义:. 2) 二重积分的主要性质., 其中. 若 则.特别的:又有但两函数不全相等,则. 中值定理. 设在上连续,则存在使得. c) 定积分和二重积分都是数.例1 等于( )( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 例2 求.例3 设闭区域:。是上的连
13、续函数且,求例4 比较与的大小.2 积分计算中的对称与周期方法a) 定积分的对称与周期.1) 2) 设以为周期,则. 特别的: 在上面的条件下还有.3) 二重积分的对称性关于轴对称关于轴对称关于轴对称. 若还有, 则例5设函数,(1)当为正整数,且时,证明:;(2)求.例6 设,则下面的二重积分为0的是()(A) (B) (C) (D) 例4 设区域为D上的正值连续函数,a,b为常数,求?3 定积分(反常积分)的计算方法a) 常见方法.1)基本思想: 牛莱公式2)基本方法:凑(凑微分)、代(代换法)、分(分部积分法).例5 .例6 求积分.b) 特殊技巧1)对直接不好积分的函数, 采用积分变量
14、替换的方法,一般情形下做替换时要注意积分区间不变. 常用的替换为:等等.2) 直接求解或者配对相加求解.例7 对实数,求例8 设,在区间上连续,为偶函数,且满足条件(为常数).(1)证明:;(2)能利用(1)的结论计算.4 二重积分的计算a) 常规计算方法.1)选择坐标积分. 极坐标: ; 为圆型区域.2) 选择积分顺序. 极坐标一般先后.直角坐标: 首个积分必须能算出来, 顺便考虑使划分的区域尽量少.例9设D为圆域x2 + y2R2,则例10 求,其中D由直线以与曲线 围成例12 交换的积分顺序.例13 求.b) 特殊技巧(可以处理乘积型积分不等式)1)交换积分顺序 2) 配对相加求解.例1
15、3 在区间连续,证明.例14 证明.5 特殊函数的积分a) 变上限函数的定积分: 分部积分法或者转化为二重积分.b) 分段函数积分.1) 写出各区域分段函数.2) 画出积分区域,对其进行其划分.3)各区域积分相加.例16求.例17 .例18 计算.例19 计算积分6 积分的应用a) 面积b) 体积 ; 例20 求由与确定的平面图形绕直线旋转而成的旋转体的体积.例21 已知抛物线(其中)在第一象限与直线相切,且此抛物线与轴所围成的平面图形的面积为,(1)问和何值时,达最大值?(2)求出此最大值.7 积分型等式、不等式的证明a) 等式若两边都为积分: 一般采取换元法或者分部积分法证明.b) 等式或
16、不等式两边不含中值点: 往往采取构造辅助函数方法证明.c) 上面两个方法不行时(如含有中值点、绝对值等): 一般采取积分中值定理、微分中值定理证明(Lagrange和Taylor).例22 设f(x)在a,b有二阶连续导数,证明:例23 设在有二阶连续导数,.证明:例24当时,证明(为自然数)的最大值不超过.例25 且单调递增,证明.四 微分方程、差分方程1 一阶微分方程的求解a) 可分离: , 则.b) 齐次:,令 则.c) 一阶线性方程1)解的结构:为齐次线性方程的特解,则线性组合齐次线性通解. 若非齐次的特解,则是此非齐次线性方程的通解。2)解的表述: 则例1 求的通解。例2 例3 已知
17、函数在任意点x处的增量,且当时,是比较高阶的无穷小,则( )(A)2 (B) (C) (D)2 二阶线性微分方程a) 解的结构.1) ,为齐次线性方程的两特解,则也是解.特别地,与线性无关时,则方程的通解为。若非齐次的特解,则是此非齐次线性方程的通解。2)叠加原理:若y1是方程的一个解,y2是方程的一个解,则y1 + y2就是方程的一个解b) 常系数微分方程1)齐次线性微分方程特征根线性无关二解实根实根复根2)非齐次线性微分方程:r与,的关系特解y*的形式r,rr=,rr=,r=不是特征根是特征根例4 是二阶常线性微分方程的三个解,求此微分方程.例5 求微分方程的通解.3 积分方程和函数方程统
18、统转化为微分方程, 若可导直接求导,未已知可导用导数定义.例6 设函数连续,求解方程:例7 设,其中,在满足以下条件,且,(1) 求所满足的一阶微分方程 (2)求出的表达式例8 设, 且,求.五 无穷级数(数学一、三)1 常数项级数的基本概念a) 称为数项级数, 称为第项或通项.b) , 若(存在),则称级数收敛,其和为,记作;若极限不存在,称级数发散.2 收敛的基本性质a) 和皆收敛,则收敛;收敛,发散,则发散; 发散,发散,情况不明.b) 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变.c) 与收敛性一样.d) 对收敛级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛,而且其和不变. 但是发散级数任
19、意加括号,不一定发散它可能收敛.e) 级数收敛的必要条件是.3 正项级数和判别法a) 若则称为正项级数. 收敛有上界 b) 比较判别法一般:成立,收敛,则收敛;若发散,则发散。极限: 设, 若1)当时,与同时收敛或发散。2)当时,若收敛,则收敛。 3)当时,若收敛,则收敛.c) 比值判别法(达朗倍尔)设,而 1)当时,则收敛; 2)当时(包括),则发散; 3)当时,此判别法无效.注:对于多项式形式的级数,本方法必定不能判断收敛性.d) 根值判别法(柯西)(数学三不考)设,而 1)当时,则收敛; 2)当时(包括),则发散; 3)当时,此判别法无效.注: 比值判别法和根值判别法在很大程度上是等价的
20、,根据所给级数的形状有不同的选择。含阶层的通项往往用比值判别法,含指数为的通项往往用根植判别法.e) 判断程序: 必要条件,比较极限(等价代换),比值根值,比较,积分.例1讨论级数的收敛性.例2 讨论的收敛性.例3 讨论级数的收敛性.例4 讨论 的收敛性.4 交错级数与其莱布尼兹判别法a)定义 若,称为交错级数。b) 莱布尼兹判别法.设交错级数满足: 1) 2),则收敛,且.例5 讨论级数的收敛性.例6 讨论级数5 绝对收敛与条件收敛a) 定义: 若收敛, 称绝对收敛;若收敛,发散,称为条件收敛。b) 关系:若收敛,则一定收敛;反之不然。c ) 绝对收敛级数中无穷多项任意交换顺序,得到级数仍是绝对收敛,且其和不变。例7 设条件收敛,则该级数正项或负项构成的级数,即或是否收敛?6 幂
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