海文钻石卡讲义(高数)

1、. . . . 一 函数、极限、连续1 函数的性质a 有界性(1) 定义：, ，有.(2) 无界：, ，有.(3) 无界与无穷：无界的本质是有一个子列趋向于无穷；无穷的本质是任意的子列趋向无穷。b 奇偶性(1) 定义：偶；奇 。(2) 导函数：奇导偶，偶导奇.(3) 原函数：奇原偶, 偶函数的原函数有且仅有一个为奇函数.c 周期性(1) 定义：(2) 导函数：导函数还是周期函数并且周期一样d 单调性(1) 定义：递增(递减) 当时，均有(2) 导函数：单增(减)；单增(减). 一 函数、极限、连续1 函数的性质a 有界性(1) 定义：, ，有.(2) 无界：, ，有.(3) 无界与无穷：无界的

2、本质是有一个子列趋向于无穷；无穷的本质是任意的子列趋向无穷。b 奇偶性(1) 定义：偶；奇 。(2) 导函数：奇导偶，偶导奇.(3) 原函数：奇原偶, 偶函数的原函数有且仅有一个为奇函数.c 周期性(1) 定义：(2) 导函数：导函数还是周期函数并且周期一样d 单调性(1) 定义：递增(递减) 当时，均有(2) 导函数：单增(减)；单增(减).例1 设（A） 偶函数 （B）有界函数 （C） 周期函数 （D）单调函数分析：(A) 则是偶函数.(B) 取, 则, 故无界.(C) 若为周期函数,设周期为, , 故而, 从而 显然,当, 显然, 故而不是周期函数.(D) 设, 故而不是单调函数.例2

3、设是一个奇的连续函数，则下面必定是奇函数的是( )（A） （B）（C） （D）根据上面条件无法判断分析: (A) 是偶函数, 从而(A)是奇函数.(B) 是奇函数, 从而(B)是偶函数.(C) 是奇函数, 偶函数.例3 设函数具有二阶导数，并满足且若则（B）(A) (B)(C) (D)分析: 显然是奇函数, 故而是偶函数且为周期为1的函数, 则.2 极限的定义和性质a 一元函数的极限与性质(1) :,，当时，有.(2) 推论: 若, 则不存在.(3) 当有(4) 四则运算(略). 它的一个重要推论如下: 若，则.b 二元函数(1) :,，当时，有.(2)推论：若按两路径趋向于所得极限不同，则不

4、存在.(3) 当有例4 设，求和。分析:例5设函数在点（0，0）连续，且，则点（0,0）是( )（A）极大值点 （B）极小值点 （C）不是极值点 （D）根据上面条件无法判断3 一元函数极限的计算a 四则运算和等价无穷小代换.例6.例7 求b 三大恒等变形1).含的极限. 若直接计算且, 直接利用公式 将写成求解.例8例92）有理化变形例10例11 求3) 分子、分母同时除以最大的无穷大常见的无穷比较: 例12例13d 洛必达法则和泰勒定理函数进行泰勒定理展开时, 只要展开到首次不同项即可.例14设函数，则当时，是的（）（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但不等价的无穷小例

5、15 求.4 二元函数极限的计算a 利用夹逼准则、等价无穷小、初等函数的连续性等转化为为一元函数的极限.例16 求例17 求b 选择不同的路径得到不同的极限从而极限不存在.例18 请说明是否存在.5 连续函数a 定义: .b 运算:连续的函数的和、差、积与商（分母不为零），仍连续; 连续函数经有限次复合而成的复合函数仍连续。c 闭区域(区间)连续函数性质: 有界性、最值性、介值性、零点定理.推论: 设在连续,且存在, 则在有界.例19(04) 设函数在下列哪个区间有界( )A (-1,0) B (0,1) C (1,2) D (2,3)例20 设在连续，求证存在使得. 二 微分学1 导数与偏导

6、数的定义、性质a 导数定义: 1) 存在.2)存在在可微在连续.3)若, 在连续，则存在若, 在连续, 则存在.b 偏导数定义: ,.1) 在可微2) 例1设, 则在原点偏导数有( )(A) 偏导存在，偏导不存在 (B) 偏导不存在，偏导也不存在(C) 偏导不存在, 偏导存在 (D) 偏导存在，偏导也存在例2讨论二元函数 在处的连续性、偏导是否存在和可微性例3 可导, ,则是存在的( )条件A 充要 B 充分非必要 C 必要非充分 D 即非充分也非必要2 显函数求导公式a 常见的求导公式: 四则运算和复合函数求导(略).b微分方法求导(偏导数): 利用微分形式不变性求出微分, 自变量微分的系数

7、就是所要求的导数.c连环相乘的对数求导法: 设,两边取对数从而例4 设 求和.例5 设, 求.例6 设求3 特殊函数的求导方法a参数函数求导法: ; .b反函数求导法: ; c变上限函数求导法则: 其他形式的变上限函数通过四则运算或者换元变成上面的形式.d 分段函数的求导方法: 定义是唯一的途径.例7 设在和上连续，和分别为在和的原函数，令 又在上连续，问是否为在的一个原函数？例8 设满足，求它的反函数的二阶导数例9求常数a，b使函数处处可导，并求出导数例10 设在（，+ ）连续且，求例11 设f（x）在（，+）连续，又，求例12 设，求4 隐函数求导公式: 两边同时求导或者求微分.例13设有

8、连续的一阶偏导数，又函数与分别由下列两式确定和，求.例14 设, 证明. 5 极值问题a 显函数极值问题先求出驻点()或者导数不存在的点(偏导不存在考研不要求)；再进行判断，一元函数可以用在可疑点附近的领域判断或者在可疑点的值判断, 二元函数只能用二阶偏导判断.b隐函数极值问题先求可疑点，再判断但是隐函数只能用二阶导数判断.c 条件极值1)方法1: 消去条件，将条件问题直接转化为无条件问题.2)方法2: 利用Lagrange法将条件问题直接转化无条件问题.例15求函数在约束条件和的最大值与最小值例16 求方程所确定的隐函数的极值.例17设函数由方程确定，试求的驻点，并判断是否为极值.例18 求

9、单调区间和最值.例19 设在x = 0某邻域连续，则在x = 0处（A）不可导 （B）可导且（C）有极大值 （D）有极小值6 有界闭区域上的最值先求部可能点，再求边界可能点. 一元函数的边界可能点即为左右端点, 二元函数转化为求满足边界方程的可能条件极值点, 一般利用Lagrange乘子法. 其次，求出所有可能点对应的函数值，其中的最大值就为总体最大值，最小值就为总体最小值.例20求的最值.7 中值定理的证明问题a) 直接证明型: 参数放在等式右边，左边为或的形式，直接利用拉格朗日或者柯西中值定理。例21 证明.例22证明b) 构造函数型: 构造函数利用洛尔定理.1) 简单型：直接可以写出要构

10、造的函数，如下面的几个形式:，2) 标准型：. 构造的函数为.例23 设在上连续，在可导，且满足：，证明：至少存在一点，使得,.例24 设，在上皆连续，皆可导，且，则存在，使.8 函数的零点问题a) 一般若是讨论根的个数问题. 主要步骤如下：1) 写出方程对应的函数2)利用导数列表研究函数的单调性3) 分析各个单调区间端点值(或极限值)的符号(事实上就是零点定理)，得到根的个数.b) 根的唯一型问题. 主要步骤如下：1) 写出方程对应的函数2）证明函数在区间上具有单调性. 3）证明区间端点值(或极限值)的异号。例25 当取下列哪个值时，函数恰有两个不同的零点 ( )(A) 2 (B) 4 (C

11、) 6 (D) 8例26 设有方程，其中为正整数，证明此方程存在惟一正根，并求。9 辅助函数法证明不等式步骤1：设置一个自变量,构造自变量的函数；步骤2：对函数求导，求最值, 将最值和要证明的值做比较。注: 同一问题可以构造很多函数，选择导数比较简单的函数。例27 若，证明 。例28 若，证明。例29证明当时有 .10 导数、偏导数的简单几何应用a) 切线： , 切点的斜率为该点对应的导数.b) 曲线的切向量与切线和法平面方程(数学一)1) 曲线方程为, 的切向量为，2）曲线方程，处切向量c) 曲面的法向量与切平面和法线方程(数学一)1),处的法向量2)若曲面方程为，写成之后，其法向量，此指向

12、与轴正向夹角为锐角.例30 函数在附近有定义且则（A）（B）曲面在点的法向量为.（C）曲线在点的切向量为.（D）曲线在点的切向量为.三 积 分1 积分的基本性质与定义a) 定积分1）定义:. 右端点: 左端点: 2) 定积分的主要性质. 若 则.特别的：又有但两个函数不全相等，则. 中值定理. 设在上连续，则存在使得. b) 二重积分1）定义:. 2) 二重积分的主要性质., 其中. 若 则.特别的：又有但两函数不全相等，则. 中值定理. 设在上连续，则存在使得. c) 定积分和二重积分都是数.例1 等于( )( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 例2 求.例3 设闭区域：。是上的连

13、续函数且，求例4 比较与的大小.2 积分计算中的对称与周期方法a) 定积分的对称与周期.1) 2) 设以为周期，则. 特别的: 在上面的条件下还有.3) 二重积分的对称性关于轴对称关于轴对称关于轴对称. 若还有, 则例5设函数，（1）当为正整数，且时，证明：；（2）求.例6 设，则下面的二重积分为0的是（）（A） (B） (C） (D) 例4 设区域为D上的正值连续函数，a，b为常数，求？3 定积分(反常积分)的计算方法a) 常见方法.1)基本思想： 牛莱公式2)基本方法：凑(凑微分)、代(代换法)、分(分部积分法).例5 .例6 求积分.b) 特殊技巧1）对直接不好积分的函数, 采用积分变量

14、替换的方法，一般情形下做替换时要注意积分区间不变. 常用的替换为：等等.2) 直接求解或者配对相加求解.例7 对实数，求例8 设，在区间上连续，为偶函数，且满足条件（为常数）.（1）证明：；（2）能利用（1）的结论计算.4 二重积分的计算a) 常规计算方法.1)选择坐标积分. 极坐标: ; 为圆型区域.2) 选择积分顺序. 极坐标一般先后.直角坐标: 首个积分必须能算出来, 顺便考虑使划分的区域尽量少.例9设D为圆域x2 + y2R2，则例10 求，其中D由直线以与曲线 围成例12 交换的积分顺序.例13 求.b) 特殊技巧(可以处理乘积型积分不等式)1）交换积分顺序 2) 配对相加求解.例1

15、3 在区间连续，证明.例14 证明.5 特殊函数的积分a) 变上限函数的定积分: 分部积分法或者转化为二重积分.b) 分段函数积分.1) 写出各区域分段函数.2) 画出积分区域，对其进行其划分.3）各区域积分相加.例16求.例17 .例18 计算.例19 计算积分6 积分的应用a) 面积b) 体积 ; 例20 求由与确定的平面图形绕直线旋转而成的旋转体的体积.例21 已知抛物线（其中）在第一象限与直线相切，且此抛物线与轴所围成的平面图形的面积为，（1）问和何值时，达最大值?（2）求出此最大值.7 积分型等式、不等式的证明a) 等式若两边都为积分: 一般采取换元法或者分部积分法证明.b) 等式或

16、不等式两边不含中值点: 往往采取构造辅助函数方法证明.c) 上面两个方法不行时(如含有中值点、绝对值等): 一般采取积分中值定理、微分中值定理证明(Lagrange和Taylor).例22 设f（x）在a，b有二阶连续导数，证明：例23 设在有二阶连续导数，.证明：例24当时，证明（为自然数）的最大值不超过.例25 且单调递增，证明.四 微分方程、差分方程1 一阶微分方程的求解a) 可分离: ， 则.b) 齐次：，令 则.c) 一阶线性方程1）解的结构：为齐次线性方程的特解，则线性组合齐次线性通解. 若非齐次的特解，则是此非齐次线性方程的通解。2）解的表述： 则例1 求的通解。例2 例3 已知

17、函数在任意点x处的增量，且当时，是比较高阶的无穷小，则（ ）（A）2 （B） （C） （D）2 二阶线性微分方程a) 解的结构.1) ，为齐次线性方程的两特解，则也是解.特别地,与线性无关时，则方程的通解为。若非齐次的特解，则是此非齐次线性方程的通解。2）叠加原理：若y1是方程的一个解，y2是方程的一个解，则y1 + y2就是方程的一个解b) 常系数微分方程1）齐次线性微分方程特征根线性无关二解实根实根复根2）非齐次线性微分方程：r与，的关系特解y*的形式r，rr=，rr=，r=不是特征根是特征根例4 是二阶常线性微分方程的三个解，求此微分方程.例5 求微分方程的通解.3 积分方程和函数方程统

18、统转化为微分方程, 若可导直接求导，未已知可导用导数定义.例6 设函数连续，求解方程：例7 设，其中，在满足以下条件，且，（1） 求所满足的一阶微分方程 （2）求出的表达式例8 设, 且，求.五 无穷级数(数学一、三)1 常数项级数的基本概念a) 称为数项级数, 称为第项或通项.b) , 若（存在），则称级数收敛，其和为，记作；若极限不存在，称级数发散.2 收敛的基本性质a) 和皆收敛，则收敛;收敛，发散，则发散； 发散，发散，情况不明.b) 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变.c) 与收敛性一样.d) 对收敛级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不变. 但是发散级数任

19、意加括号，不一定发散它可能收敛.e) 级数收敛的必要条件是.3 正项级数和判别法a) 若则称为正项级数. 收敛有上界 b) 比较判别法一般:成立,收敛,则收敛;若发散,则发散。极限: 设， 若1）当时，与同时收敛或发散。2）当时，若收敛，则收敛。 3）当时，若收敛，则收敛.c) 比值判别法（达朗倍尔）设，而 1）当时，则收敛; 2）当时（包括），则发散; 3）当时，此判别法无效.注：对于多项式形式的级数，本方法必定不能判断收敛性.d) 根值判别法（柯西）（数学三不考）设，而 1）当时，则收敛; 2）当时（包括），则发散; 3）当时，此判别法无效.注: 比值判别法和根值判别法在很大程度上是等价的

20、，根据所给级数的形状有不同的选择。含阶层的通项往往用比值判别法，含指数为的通项往往用根植判别法.e) 判断程序: 必要条件,比较极限(等价代换),比值根值,比较,积分.例1讨论级数的收敛性.例2 讨论的收敛性.例3 讨论级数的收敛性.例4 讨论 的收敛性.4 交错级数与其莱布尼兹判别法a)定义 若，称为交错级数。b) 莱布尼兹判别法.设交错级数满足： 1） 2），则收敛，且.例5 讨论级数的收敛性.例6 讨论级数5 绝对收敛与条件收敛a) 定义： 若收敛, 称绝对收敛；若收敛，发散，称为条件收敛。b) 关系：若收敛，则一定收敛；反之不然。c ) 绝对收敛级数中无穷多项任意交换顺序，得到级数仍是绝对收敛，且其和不变。例7 设条件收敛,则该级数正项或负项构成的级数，即或是否收敛？6 幂