七年级数学相交线与平行线(教师讲义带答案)

1、-第 4 章 相交线与平行线一、知识结构图余角余角补角补角角两线相交对顶角同位角相三线八角内错角交同旁内角线与平平行线的判定行线平行线平行线的性质尺规作图二、基本知识提炼整理（一）余角与补角1 、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一个角的余角。2、如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称为互补，称其中一个角是另一个角的补角。3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角，它们只与角的度数有关，与角的位置无关。4、余角和补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。5、余角和补角的性质用数学语言可表示为：（ 1）12900 (180 0

2、), 13900 (180 0 ), 则 23 ( 同角的余角或补角相等 ) 。（ 2） 12900 (1800 ), 34900 (1800 ), 且 14, 则23( 等角的余角（或补角）相等) 。-1-6、余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法。（二）对顶角1、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。2、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。3、对顶角的性质：对顶角相等。4、对顶角的性质在今后的推理说明中应用非常广泛，它是证明两个角相等的依据及重要桥梁。5、对顶角是从位置上定义的，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。（三）同位角、内错角、

3、同旁内角1、两条直线被第三条直线所截，形成了 8 个角。2、同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。3、内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。4、同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角。5、这三种角只与位置有关，与大小无关，通常情况下，它们之间不存在固定的大小关系。（四）六类角1、补角、余角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角六类角都是对两角来说的。2、余角、补角只有数量上的关系，与其位置无关。3、同位角、内错角、同旁内角只有位置上的关系，与其数量

4、无关。4、对顶角既有数量关系，又有位置关系。（五）尺规作线段和角1、在几何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。2、尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。3、尺规作图中直尺的功能是：-2-（ 1）在两点间连接一条线段；（ 2）将线段向两方延长。4、尺规作图中圆规的功能是：（ 1）以任意一点为圆心，任 意长为半径作一个圆；（ 2）以任意一点为圆心，任意长为半径画一段弧；5、熟练掌握以下作图语言：（ 1）作射线××；（ 2）在射线上截取×× =××；（ 3）在射线××上依次截取×

5、5; =×× =××；（ 4）以点×为圆心，××为半径画弧，交××于点×；（ 5）分别以 点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点×；（ 6）过点×和点×画直线××（或画射线××）；（ 7）在×××的外部（或内部 ）画××× =×××；6、在作较复杂图形时，涉及基本

6、作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了。（ 1）画线段×× =××；（ 2）画××× =×××；（六）平行线的判定与性质平行线的判定平行线的性质1、同位角相等，两直线平行1、两直线平行，同位角相等2、内错角相等，两直线平行2、两直线平行，内错角相等3、同旁内角互补，两直线平行3、两直线平行，同旁内角互补4、平行于同一条直线的两直线平行4、经过直线外一点，有且只有一条直5、垂直于同一条直线的两直线平行线与已知直线平行-3-【经典例题 】例 1. 判断下列语句是否正确，如果是

7、错误的，说明理由。（ 1）过直线外一点画直线的垂线，垂线的长度叫做这个点到这条直线的距离；（ 2）从直线外一点到直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；（ 3）两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直；（ 4）两条直线的位置关系要么相交，要么平行。分析： 本题考查学生对基本概念的理解是否清晰。（ 1）、（ 2）都是对点到直线的距离的描述，由“直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”可判断（ 1）、（ 2）都是错的；由对顶角相等且互补易知，这两个角都是90°，故（ 3）正确；同一平面内，两条直线的位置关系是相交或平行，必须强调“在同一平面内”。解答：（

8、1）这种说法是错误的。因为垂线是直线，它的长度不能度量，应改为“垂线段的长度叫做点到直线的距离”。（ 2）这种说法是错误的。因为“点到直线的距离”不是指点到直线的垂线段的本身，而是指垂线段的长度。（ 3）这种说法是正确的。（ 4）这种说法是错误的。因为只有在同一平面内，两条直线的位置关系才是相交或平行。如果没有“在同一平面内”这个前提，两条直线还可能是异面直线。说明： 此题目的是让学生抓住相交线平行线这部分概念的本质，弄清易混概念。例 2. 如下图（ 1）所示，直线 DE 、BC 被直线 AB 所截，问1 与4，2 与4，3与4各是什么角？AD123E4BC图（ 1）分析： 已知图形不标准，开

9、始学不容易看，可把此图画成如下图（ 2）的样子，这样就容易看了。AD123E4BC图（ 2）答案：1 与 4是同位2 与 4是内错角， 3 与 4是同旁内-角，角。4-例 3 如下图（ 1），l 2364512l1l 3图（ 1）_与 _被第三条（ 1 ）1 与 2 是两条直线直线_所截构成的 _角。3是两条直线与被第三条直（ 2 ）1 与 线_所截构成的 _角。（ 3）3 与 4 是两条直线 _与被第三条直线_所截构成的 _角。（ 4 ）5 与 6 是两条直线_与 _，被第三条直线_所截构成的_角。分析：从较复杂的图形中分解出有关角的直线，因此可以得到1 与3 是由直线l1 ， l3被第三条

10、直线l 2 所截构成的同位角，如下图（2），类似可知其他情况。l 231l1l 3图（ 2）2 是两条直线 l 2 与 l 3 被第三条直线 l1 所截构成的答案：（1）1 与同位角。-3 是两条直线l1 与 l3 被第三条直线l 2 所截构成的同位（ 21 与角。）4 是两条直线 l 1 与 l 3 被第三条（ 33与 直线l2 所截构成的内错角。）5-（4） 5与6 是两条直线 l1 与 l 2 被第三条直线 l 3 所截构成的同旁内角。例 4 如图，已知 AMF= BNG=75 °， CMA=55°，求 MPN 的大小EGCMBNAPFDH答案： 50°解析

11、： 因为 AMF= BNG=75 °，又因为BNG= MNP ，所以 AMF= MNP ，所以 EF GH ，所以 MPN= CME ，又因为 AMF=75 °， CMA=55 °，所以 AMF+ CMA=130°，即 CMF=130 °，所以 CME=180 ° 130° =50 °，所以MPN=50 °例 5 如图， 1 与 3 为余角， 2 与 3 的余角互补， 4=115 °， CP 平分 ACM ，求PCM答案： 57.5 °解析： 因为 1+ 3=90 °， 2+

12、（ 90° 3）=180 °，所以 2+ 1=180 °，所以 AB1 DE ，所以 BCN= 4=115 °，所以 ACM=115 °，又因为 CP 平分 ACM ，所以 PCM= 21 ACM= 2 × 115°=57.5 °，所以 PCM=57.5 °例 6 如图，已知：1+ 2=180 °， 3=78 °，求 4 的大小答案： 102 °-解析： 因为 2= CDB ，又因为 1+ 2=180 °，所以 1+ CDB=180 °，所以得到 AB C

13、D ，所以 3+ 4=180 °，又因为 3=78 °，所以 4=102 °6-例 7 如图，已知：BAP 与 APD互补， 1= 2 ，说明：E=F解析： 因为 BAP 与 APD互补，所以AB CD ，所以 BAP= CPA ，又因为 1= 2，所以 BAP 1= CPA 2，即 EAP= FPA，所以 EA PF，所以 E= F例 8 如图，已知 AB CD ，P 为 HD 上任意一点，过 P 点的直线交 HF 于 O 点，试问： HOP 、 AGF 、 HPO 有怎样的关系？用式子表示并证明答案： HOP= AGF HPO解析： 过 O 作 CD 的平行线

14、 MN ，因为 AB CD ，且 CD MN ，所以 AB MN ，所以 AGF= MOF= HON ，因为 CD MN ， HPO= PON ，所以 HOP= HON PON= HON HPO ，所以 HOP= AGF HPO例 9 如图，已知 AB CD ，说明：B BED D=360 °ABABEFECDCD分析： 因为已知 AB CD ，所以在 BED 的内部过点 E 作 AB 的平行线，将 B BED D 的和转化成对平行线的同旁内角来求。解：过点 E作 EF AB ，则 B BEF=180 °（两直线平行，同旁内角互补） AB CD （已知）EF AB （作图）

15、 EF CD （平行于同一条直线的两直线平行） D DEF=180 °（两直线平行，同旁内角互补） B BEF D DEF=360 ° B BED D= B BEF D DEF-7- B BED D=360 °例 10. 小张从家（图中A 处）出发，向南偏东40°方向走到学校（图中B 处），再从学校出发，向北偏西75°的方向走到小明家（图中C 处），试问ABC 为多少度？说明你的理由。解： AE BD （已知） BAE= DBA （两直线平行，内错角相等） BAE=40 °（已知） ABD=40 °（等量代换） CBD= A

16、BC ABD （已知） ABC= CBD ABD （等式性质） ABD=40 °（已知） ABC=75 ° 40° =35 °例 11 如图， ADC= ABC ， 1 2=180 °， AD 为 FDB 的平分线，说明： BC 为 DBE 的平分线。分析： 从图形上看， AE 应与 CF 平行， AD 应与 BC 平行，不妨假设它们都平行，这时欲证 BC 为 DBE 的平分线， 只须证 3= 4，而 3=C= 6 ， 4= 5，由 AD 为FDB的平分线知5= 6，这样问题就转化为证AE CF，且AD BC 了，由已知条件12=180

17、76;不难证明AE CF，利用它的平行及ADC= ABC 的条件，不难推证AD BC。证明： 1 2=180 °（已知） 2 7=180 °（补角定义） 1= 7（同角的补角相等） AE CF （同位角相等，两直线平行） ABC C=180 °（两直线平行，同旁内角互补）又 ADC= ABC （已知）， CF AB （已证） ADC C=180 °（等量代换） AD BC（同旁内角互补，两直线平行） 6= C ， 4= 5（两直线平行，同位角相等，内错角相等）又 3= C （两直线平行，内错角相等） 3= 6（等量代换）又 AD 为 BDF 的平分线 5

18、= 6 3= 4（等量代换） BC 为 DBE的平分线例 12 如图， DE ， BE 分别为 BDC ， DBA 的平分线，DEB= 1 2（ 1）说明： AB CD（ 2）说明： DEB=90 °-分析：（ 1）欲证平行，就找角相等与互补，但就本题，直接证CDB 与 ABD 互补比8-较困难，而1 2= DEB ，若以 E 为顶点， DE 为一边，在 DEB 内部作 DEF= 2 ，再由 DE，EB 分别为 CDB ， DBA 的平分线，就不难证明 AB CD 了，（ 2）由（1）证得 AB CD 后，由同旁内角互补，易证1 2=90 °，进而证得DEB=90 

19、6;证明：（ 1）以 E 为顶点， ED 为一边用量角器和直尺在 DEB 的内部作 DEF= 2 DE 为 BDC 的平分线（已知） 2= EDC （角平分线定义） FED= EDC （等量代换） EF DC （内错角相等，两直线平行） DEB= 1 2 （已知） FEB= 1（等量代换） ， EBA= EBF= 1（角平分线定义） FEB= EBA （等量代换） FE BA （内错角相等，两直线平行）又 EF DC BA DC （平行的传递性）（ 2） AB DC （已证） BDC DBA=180 °（两直线平行，同旁内角互补）11又 1= 2 DBA ， 2= 2 BDC （角平

20、分线定义） 1 2=90 °又 1 2= DEB DEB=90 °中考真题精讲1如图， AD BC 于 D， EG BC 于 G ， E=1，可得 AD 平分 BAC 理由如下：AD BC 于 D ，EG BC 于 G ，（已知） ADC= EGC=90 °，（垂直的定义 ），AD EG，（同位角相等，两直线平行） 1= 2，（两直线平行，内错角相等） E = 3，（两直线平行，同位角相等）又 E= 1（已知）， 2=3（等量代换）AD 平分 BAC （角平分线的定义）考点 ：平行线的判定与性质；角平分线的定义；垂线专题 ：推理填空题-9-分析：先利用同位角相等，

21、两直线平AD EG，再利用平行线的性质1=行求出求出2， E= 3 和已知条件等量代换2= 3 即可证明求出解答：解： AD BC 于 D， EG BC 于 G ，（已知） ADC= EGC=90 °，（垂直的定义） AD EG ，（同位角相等，两直线平行） 1=2，（两直线平行，内错角相等） E= 3，（两直线平行，同位角相等）又 E= 1 （已知） 2=3（等量代换）AD 平分 BAC （角平分线的定义）点评：本题考查平行线的判定与性质，正确识别 “三线八角 ”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键2已知，如图，1= ACB ， 2= 3， FH AB 于 H问 CD 与

22、AB 有什么关系？考点 ：平行线的判定与性质；垂线专题 ：探究型分析：由 1=ACB ，利用同位角相等，两直线平行可得 DE BC，根据平行线的性质和等量代换可得3= DCB ，故推出CD FH，再结合已知FH AB ，易得 CD AB 解答：解： CD AB ；理由如下： 1=ACB ， DE BC ， 2= DCB ，又 2= 3，3= DCB ，故CD FH，FH AB CDAB点评：本题是考查平行线的判定和性质的基础题，比较容易，稍作转化即可3已知：如图，AE BC， FG BC ， 1= 2，求证： AB CD -考点 ：平行线的判定与性质专题 ：证明题10-分析：首先由 AE BC

23、 ， FG BC 可得 AE FG，根据两直线平行，同位角相等及等量代换可推出 A= 2，利用内错角相等，两直线平行可得AB CD 解答：证明：AE BC ， FG BC ， AMB= GNM=90°，AE FG，A=1；又 2=1， A= 2，ABCD点评：本题考查了平行线的性质及判定，熟记定理是正确解题的关键4如图，已知 BE DF， B= D，则 AD 与 BC 平行吗？试说明理由考点 ：平行线的判定与性质专题 ：探究型分析：利用两直线平行，同旁内角互补可得B+ C=180 °，即 C+ D=180 °；根据同旁内角互补，两直线平行可证得ADBC解答：解：

24、AD 与 BC 平行；理由如下：BE DF ， B+ BCD=180 °（两直线平行，同旁内角互补） B= D， D+ BCD=180 °， AD BC （同旁内角互补，两直线平行）点评：此题主要考查了平行线的判定和性质：两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行5如图，已知HDC 与 ABC 互补， HFD= BEG， H=20 °，求 G 的度数-11-考点 ：平行线的判定与性质专题 ：计算题分析：已知 HFD= BEG 且 BEG= AEF ，从而可得到 HFD= AEF ，根据同位角相等两直线平行可得到DC AB ，根据平行线的性质可得到HDC=

25、DAB ，已知 HDC与 ABC 互补，则 DAB 也与 ABC 互补，根据同旁内角互补即可得到 AD BC ，根据平行线的性质即可求得 G 的度数解答：解：HFD= BEG 且 BEG= AEF ， HFD= AEF ，DCAB， HDC= DAB ， HDC+ ABC=180 °， DAB+ ABC=180 °，AD BC ， H= G=20 °点评：此题主要考查学生对平行线的判定及性质的综合运用能力6推理填空：如图AD BE AB CD ， 1= 2， 3= 4，试说明解： AB CD （已知） 4= 1+ CAF（ 两直线平行，同位角相等） 3= 4（已知

26、） 3= 1+ CAF（等量代换） 1= 2（已知） 1+ CAF= 2+CAF （等量代换 ）即 4 = DAC 3= DAC（ 等量代换）AD BE（内错角相等，两直线平行）考点 ：平行线的判定与性质专题 ：推理填空题分析：首先由平行线的性质可得4= BAE ，然后结合已知，通过等量代换推出3= DAC ，最后由内错角相等，两直线平行可得AD BE解答：解： AB CD （已知）， 4=1+ CAF （两直线平行，同位角相等）； 3=4（已知）， 3=1+ CAF （等量代换）； 1=2（已知）， 1+CAF= 2+ CAF （等量代换），-12-即 4=DAC ， 3=DAC （等量代换）， AD BE （内错角相等，两直线平行） 点评：本题难度一般，考查的是平行线的性质及判定定理7如图， CD AF ， CDE= BAF ， AB BC ， BCD=124 °， DEF=80 °（ 1）观察直线 AB 与直线 DE 的位置关系，你能得出什么结论并说明理由；（ 2）试求 AFE 的度数考点 ：平行线的判定与性质；三角形内角和定理专题 ：探究型分析：（ 1）先延长 AF 、DE 相交于点 G ，根据两直线平行同旁内角互补可得 CDE+ G=180 °又已知 CDE= BAF ，等量代换可