七年级上数学(适合辅导孩子)

1、七年级上册数学数与数轴一、复习小学关于数的知识及运算1、自然数 定义 :表示物体个数及顺序的数，如 0,1,2,3,4,5， . 无穷多个。特别地规定： 0 是最小的自然数。2、分数定义：把单位 1 平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。如：1 , 5。分数可以表示为一个出发算式：如1表示为12。或者 1 =1 2。27223、小数定义：把 10 进分数按照整数的写法写成不带分母的形式，这样的数叫做小数。如 2.13，其中 2 是整数部分， 0.13 是小数部分。整数部分不为零的小数叫做带小数，整数部分为 0 的小数叫做纯小数，如： 0.25。任何一个小数都可以表示为：整数部分+

2、小数部分。任何一个分数都可以用小数表示：如 1=0.3333.计作：0.3。34 =0.8,1 =0.125,1 =0.5,1 =0.25,1 =0.16,1 =0.142857 。5824674、运算规则：先乘除，后加减。 有括号先算括号里面的。 如： 43+8-(5+3)2=_ 。运算定律：交换律： a b b a, a bba , 问题： 1 万亿和 1 亿万哪个多？加法对乘法的结合律： a ( b c)a bac ，反之也成立： ab ac a(b c)5、奇数：不能被2 整除的数为奇数如： 1，3,5,7,9,11. 也可以表示为2n+1（n 为0,1，2,3,4,5,6 .）如果要

3、表示为2n-1，则 n 为 1,2,3,4.。偶数：能被 2 整除的书为偶数， 如 2,4,6,8,10表示为 2n，n 为 1,2,3,4,5,6。特别地规定： 0 是偶数，所以上面表示偶数的2n 中的 n 也可以为 0。倒数：乘积为1 的两个数则互为倒数，可以表述为：如果 ab1 ，则 a, b 互为倒数。其中 a,b 均不能为 0。注意： 0 没有倒数。如果 0a 1, 则 11如果 -1 a,则 11a0a思考：则 1则 1如果 a1,1如果 a -1,1aa求和问题：(n1)n1）自然数求和： 1+2+3+4+n=22）奇数求和：1357(2 n1)(2 n11)( n1)(2 n2

4、) ( n 1)( n 1)2 （注意： n 从 022开始）1357(2 n1)(2 n11)n2nnn2 ( 注意 :n从1开始 )22解题方法：头加尾，乘以个数除以23）偶数求和：2 4 62n2(123n)(n1)n1) n（其中 n 为自然数）22(n4） 11+1+112233445n ( n 1)解：11+14+1n11)22334 5(n(1111111111)()()()()2233445n (n1)11111111112233445n(n 1)11( n1)(n1 1)( n1)n(n1)同理可解（试一试）：1+1+11其中 n=1,2,3)13355 7(2 n 1) (

5、2 n1)1+1+11其中 n=1,2,3)12212341231134n11+11其中 n=1,2,3)2+446246222n二、数的扩充1、负数生活中为了表示具有相反意义的量（数量） ，对数的概念进行了扩充，从而引进了负数。比 0 小的数叫做负数。如下图：某人从某一点 A向东走了 5 米计作 5 的话，那么向西走了5 米则可计作 -5。对应的向东走 5 米可计作+5 ，一般省略 + 号。西A东生活中有很多相反意义的数量如：天气预报，今日气温零下5 度到 3 度，可表示为 -53，零下的就用负数表示。在生活中，你还能举出具有相反意义的数量吗？2、相反数因为负数产生就是为了表示具有相反意义的

6、量。因此，如上图中的 +5 和 -5 就互为相反数。规定： 0 的相反数为 0.a 的相反数可以表示为a 。如： 3 的相反数是 -3.1 的相反数是 - 1 。22-5 的相反数是5 。- 1 的相反数是 133互为相反数的两个数之和为0 。即：若 a , b 互为相反数，则a + b =0证明如下：互为相反数，则baa, baba ( a) 0ab0对于以上结论反过来也成立，即：如果如果 ab 0,那么 a, b互为相反数。试证明： ab与 ba互为相反数3、有理数正整数注意：正分数1）0 和正整数合称为自然数，0 是最小的自然数有理数2）任何循环小数都可以表示为一负整数个分数。负分数04

7、、数的乘方1）定义aaaa表a示 : n 个相同数的乘积。n 个记作：an , 读作 a的 n次方，或者a的n次幂。其中a叫底数，n叫指数， an的结果叫幂 。2）乘方运算法则：相加： an3an4an（相同的幂，系数不同，则幂不变，系数相加。）am2an3am n×3ana n2an乘法： amanam n（底数相同， 指数不同的两个幂相乘， 则底数不变， 指数相加）算一算：a1a2a3a4a100？除法： a manam n（底数相同， 指数不同的两个幂相乘， 则底数不变， 指数想减）算一算：a2020a2017？乘方的乘方： ( am) nam n （底数不变，指数相乘）算一算

8、： (23)2？， (22 )3？，观察结果。说明 (a m) n(an ) mam n ，因为乘法有交换律。牢记：负数的奇数次方为负数(33)2 7负数的偶数次方为正数(3 4)8 10 的任何次方等于 00n01 的任何次方等于 11n1任何不为 0 的数的 0 次方等于 1 a0100 是不存在或没有意义的以上结论能证明吗？当指数为负数时表示什么？3的-2次方即 32？，我们现在来计算：3013290两式相除则：32=30-2 =3-2 =139因此：-213=9因此： a n1n （ a0 ）证明如下：a na na n na01aa0, 两边同时除以 an , 则有：a nan a

9、n = 1naa n = 1na由上面推导中有 a nana nna01 ，因此 a n和an 互为倒数 。-3-2， -3-2=-5(3)3练习：（-5） =，（- ）=思考题：当 a0,则 a20,a30当 a0,则 a20,a30如果 a , m, n 为大于 1 的正整数且 mn, 那么 am1an如果 0a 1, m, n 为大于 1 的正整数且 m n，那么 am1an证明：如果 a0， a1且 am和an互为倒数 ， m 和 n 互为相反数。乘方练习题（有难度哦）、已知： 3m 1m 2求 的值。13108,m2、已知 22n1n48,求 的值4n3、若 2m 2m 32m 3m

10、 2m 1,求 的值3336m4、已知： a,b,b2m 2为正整数，且 4abc求（ a-b-c) 201727373996,、判断下列各数的个位数 2201772017,599992017536、已知2n2n2n2 n 134求 的值34321423,n7、计算（ -2a) 341997 a 2 (0.25a)2001、若 3x 12x3x2x 142求x的值83 ,9、已知 2a5b2c 5d10,求证（ a1)(d1) (b 1)(c 1)、已知x2000,80y求 11的值10252000,yx5、有理数的运算有理数加法：同号相加，取原来的符号，并把绝对值相加-3+(-2)=-(3+

11、2)=-5异号相加，取绝对值大的符号，用大的绝对值减去小的绝对值。-3+(5)=+(5-3)任何数加0 等于任何数： a0a有理数减法：减去一个数等于加上这个数的相反数，表示为：a b a( b)如：5 ( 2)527，5(3)5 3(5 3)2有理数乘法：同号相乘为正，异号相乘为负，并把绝对值相乘。任何数乘以0 为 0如：5 (3)(53)15， 510(510)50任何数乘以0 为 0，表示为： a00有理数除法：除以一个数等于乘以一个数的倒数.如：10010100110，1118410282ana nana na2 n （ an和 an互为倒数 ）有理数混合运算：先乘方，在乘除，最后算加

12、减，有括号先算括号里面的。（括号里面也要先乘方，在乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的）325(15329)3255325如：32332351421计算： (17312(1599)(151)14（注意演算过程）14911) ( 2)3？2030绝对值与数轴一、数轴定义：用一条直线上的点来表示数，这条直线就叫数轴-3-2-1012数轴有三个要素： 1、规定了原点，代表02、规定了正方向，一般原点向右为正，原点向左为负。3、规定了单位长度1，1 的位置到原点的距离为单位长度。数轴的特点： 1、任何一个数都能在数轴上找到相应的点，一一对应。2、数轴能比较大小，右边的数比左边的数大。3、正数大于 0

13、，负数小于 0.正数大于负数4、互为相反数的两个数分别位于原点的两边并且离开原点的距离相等A-3-2-1012从数轴上可以看出，如果A 点落在 -1 和 -3 之间，则 A 点对应的数值计作a, 那么下面的不等式成立： -3< a < -1二、绝对值A距离-3-2-1012绝对值的概念：一个数的绝对值表示这个数在数轴上离开原点的距离。也可以将绝对值看成一种算法用表示。计作a。 ab 在数轴上表示两个点之间的距离。既然可以把绝对值看成一种算法，那就有绝对值的运算规律，规律如下：a= a ( a > 0时 )a= -a ( a < 0时)0 的绝对值是0，任何数的绝对值都大

14、于等于0。即 a 0abababba变化一下，我们来看看x2表示的意义:两种思考方法： 1、分段分析法（代数法）当 x2时， x20 ,x2 x2 x(2) 0当 x2时， x 20 ,x2x(2 )2x02、几何分析法根据绝对值的概念：x2 = x-（-2）表示在数轴上 x到 -2的距离距离距离xx-3-2-1012同样的道理：x3 表示 x的点到 3的距离例题： 1、如果a3b20,求ab解：a3，20,0 b要使，那么，a 3 b 2 0a 3 =0 b 2 =0a3,b2ab1、如果 ( x 5)2y20,求 xy 22解：因为 (x5)20，y20要使 ( x5) 2y20，则 (x

15、5)2 =0，y 2 =0则 x50, y20x5, y2。xy25( 2)2541所以： xy 2 =13、当 x在什么数值范围时， x3x1的有最小值，最小值是多少？解：分段法： 当x1时，x3x1 =x3 x 1 2x 24abba当x3时，x 3 x 1 =-(x 3) (1 x)2 2x 4综上分析： x3x14,当-3x1时，x3x1 达到最小值，最小值为 4几何解法：距离xxx-3-2-1012根据绝对值的概念：x3 表示 x到-3的距离，x1 表示 x到1的距离。如上图所示：只有当x 落在 -3 和 1 之间距离最短，因此当-3x1时，x3x1 达到最小值，最小值为 1-（-3

16、）=44、如果 x-3x+2y5y111,求 xy的最大值与最小值解：根据绝对值概念，x-3x+25y 5y1 6所以 x-3x+2y5y111所以只有当x-3x+2，5时，=5 yy 1 =6x-3x+2y5y等式成立。1 11所以-2x3,5 y1两式相加则有 7xy4-所以x的最大值为，最小值为-7y4科学计数法科学计数法是一种计数方法，把一个数表示为a(a 10,n 为整数 )与 10 的幂相乘1的形式。计作： a10n282.8101,100031.0310410001.0103,0.0000151.510 51、 a bbc ac12、 3700000（用科学计数法写出答案）2科学

17、技术发的作用：1、转换单位8 5. 亿5元= 8. 4 59 元1，0单位从大单位变到小单位。2、表示很大的数，也可表示很小的数。如：2800000=2.8 1060.000035=3.5 10-53、常用单位的可科学技术法1 十 =1011 百 =1021 千 =1031 万 =1041 百万 =1061 亿 =108今年我国外汇储备高达 3.57 万亿美元，用科学计数法可写为123.57× 10美元1 万亿 =1 万×1 亿=104108 =1012练习题一、选择题1、57000 用科学记数法表示为 ( ) 。A、57×103 B5.7 ×104C、

18、5.7 ×105D 0.57 ×1052、3400=3. 4×10n，则 n 等于 ()。A、2B、3C、4D、5103、 72010000000=a10 ，则 a 的值为 ( )。A、 7201B、 7.201C、 7.2D、 7.2014、若一个数等于5.8 ×1021，则这个数的整数位数是( )。A、 20B、21C、 22D、 235、我国最长的河流长江全长约为6300 千米，用科学记数法表示为（）、× 2千米B、6.3 ×102 千米C、 6.3 ×103 千米D、6.3 ×104 千米A63 106、今

19、年第一季度我国增值税、消费税比上年同期增收3.07 ×1010 元也就是说增收了( ).A 、30.7 亿元B、307 亿元C、3.07 亿元D、 3070 亿元二、填空题、175 是 _位数， 0.12 ×1010 是_位数；1365×102、把3900000 用科学记数法表示为_，把1020000 用科学记数法表示为_；、用科学记数法记出的数4 的原数是 _，2.236 ×108 的原数是 _；35.16 ×1043； 3.01 ×104× 4；4、比较大小： 3.01 10×_9.5 10×_3.1

20、0 105、地球的赤道半径是6371 千米， 用科学记数法记为 _米。6、 18克水里含有水分子的个数约为602300 00(20 个 0)，用科学记数法表示为_；7、我国建造的长江三峡水电站，估计总装机容量达16780000 千瓦，则用科学记数法表示的总装机容量为_。8、实施西部大开发战略是党中央的重大决策，我国国土面积约为960 万平方千米， 而我国西部地区占我国国土面积的2，用科学记数法表示我国西部地区的面积约为_3三、计算题（ 1）（8×1012）×（ 7.2×106）（ 2）（-6.5× 103）×（ -1.2× 109）探

21、究创新乐园1、用科学记数法表示15022、请写出用科学记数法表示的数5.0301× 1033、2001 年 2 月 12 日 ,科学家首次公布了人类基因组“基本信息” ，经过初步测定和分析 , 人类基因共有 32 亿个碱基对 ,包含了大约 3 万到 4 万个蛋白质编码基因，请用科学记数法表示 32 亿个碱基对。4、光的速度是 3×108 米/秒，太阳光从太阳射到地球的时间约500 秒，请你计算出太阳与地球的距离 (用科学计数法表示 )关于绝对值的练习题（有难度哦）1、已知 、 互为相反数， 、互为倒数，abcdx 2求： x2( ab cd )x ( ab) 2017( c

22、d )2017的值2、如果 a 10,( b 3) 20,求 b1的值a3、若 x 2y 2 0,求 xy的值4、 1） x+3x2 的最小值是，此时 x 的范围是2）当 x=时， x+7x1 + x3 有最小值，最小值为3abcd ，则xaxb + xcxd的最小值是）5、 x 3, y2,且 xyy x,求xy的值6、化简： 3x12x17、 abc0, 则 abc 的所有可能值是什么？abc8、 若2 x45x13x4的值恒为常数，求 x满足的条件及此常数是多少9、当 x 是什么实数时，下列等式成立：1） （x 2 ) (x4 ) x2 x42） （7x 6 ) ( 3x5)（ 7 x6

23、 )x( 35 )10、 1）x x， 2）化简x5x7x 1 0x11、设 Txpx 15xp15 ,其中0p15,对于满足 px15来说， T的最小值是多少？12、不相等的有理数a , b, c, 在数轴上的对应点分别为A, B, C 。如果 a b b c a c ，则 B 点的位置应为（）1)在 A, C 点的右边。2）在 A, C 点的左边。 3）在 A, C 点之间。 4）以上三种都有可能。代数式及方程一、代数式1、定义 由数和表示数的 字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等 代数运算 所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式。 例如： ax+2b，2/3 ，53a33a3

24、，等。5注意：1）、不包括等于号（ =、 ）、 不等号（、<、 >、）、 约等号 。2）、可以有绝对值。例如： |x|，|-2.25| 等。2、代数式的范围在复数范围内，代数式包括有理式和无理式。ax+2b 是有理式， a2 叫无理式。有理式又包括：整式（除数中没有字母的有理式）和分式除数中有字母且除数不为0 的有理式。这种代数式中对于字母只进行有限次加、减、乘、除和整数次乘方这些运算。不进行开方运算。下面我们重点学习整式：四、整式整式为单项式和多项式的统称，是有理式的一部分， 在有理式中可以包含加， 减，乘，除、乘方五种运算，但在整式中除数不能含有字母。2x ,0.4x3, x

25、y是整式。 x 不是整式 。3y（分母中含有字母，这种代数式叫分式）1、 单项式由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式（monomial）。单独一个数或一个字母也是单项式，如：3等单独的一个数如 -1，可以看成 -1 a0。Q , 1,a, ,5系数：（1）单项式中的常数因数叫做单项式的系数(coefficient).如 3x 的系数是 3。（2）如果一个单项式只含有字母因数，是正数的单项式系数为1，是负数的单项式系数为 -1，如系数为1，系数为 -1。（3）如果只是一个数字，系数是本身。如5 的系数还是5。次数：一个单项式中，所有字母指数的和叫做这个单项式的次数（degree

26、 of a monomial）。例如中字母 x 的次数是 1，字母 y 的次数是 2，则的次数为 1+2=3，又如，次数为 2+1=3，因为 3 的次数 3 不算入单项式的次数中。单独一个非零数的次数是 0。如 5 可以看成 5 a0因为任何数的0次方等于1)。,(易错混点：（1） 单项式的系数包括前面的符号，如：-a 的系数是 -1；（2） 单项式是由数字因数和字母因数组成的，单项式不含加减运算， 含有除法运算时，分母不含字母，分子不含加减运算，如：就不是单项式，也不是单项式，因为它们都含加减运算（但第二题也不是分式，因为是一个数，所以它是多项式）；（3） 单项式的次数不能为负数。5 a 3

27、 就不是单项式。因为5 a 3 = 53 ，分母不能为字母。a（4） 系数是 1 或-1 时，省略 1 不写；指数是 1 时，1 也省略不写，在这两个知识点上容易出现错误。如 -a， xy.单项式的运算：加减法则：单项式加减即合并同类项，也就是合并前各同类项系数的和，字母不变。例如：,等。同时还要运用到去括号法则和添括号法则。去括号法则：括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变。括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号。添括号法则：添括号时，如果括号前面是加号，括到括号里的各项都不变符号；如果 .括号前面是减号，括到括号里的各项都改变符号。乘法法则：单项式相乘，把它们的系数

28、、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式例如：（同底数幂的乘积，底数相同，指数相加） ， 53 a33a3 （只5把系数相乘）除法法则：同底数幂（次方）相除，系数相除，底数不变，指数相减。如：1 a52 a2(13) a5 21 a333322多项式由有限个单项式的代数和组成的代数式叫做多项式 (polynomial)。（化为最简式，即（常数）（指数不为负数）项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的 项，其中不含字母的项叫做 常数项。一个多项式合并同类项后有几项就叫做 几项式 。多项式中的符号，看作各项的性质符号 .一元 N 次多项式最多 N+1项。例：

29、在多项式中， 2x 和-3 是它的项，其中 -3 是常数项；在多项式中它的项分别是、2x 和 18，其中 18 是常数项，它是三项式。次数： 多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数，如：中，这一项的次数最高，这个多项式的次数就是，这个多项式就是八次三项式。排列： 有时为了计算需要，可以将多项式各项的位置根据加法交换律 按照其中某个字母的指数大小顺序来排列。 例如：把多项式按字母 x 指数从大到小的顺序排列， 写成，这叫做把多项式按字母x 的降幂排列，若按 x 指数从小到大排列，则就是把多项式按字母x 的升幂排列，写成，也可以是多项式中的其他字母。易错混点：（ 1）多项式的次数是次数

30、最高项的次数，而不是各项次数的和，应理解透概念。（ 2）看清是降幂还是升幂排列。（ 3）降幂和升幂排列都是以某一个字母（未知量）来排序。整式的运算1、 整式的加减就是单项式和多项式的加减，可利用去括号法则 和合并同类项来完成。例如， 1）。2） 5(a2b3ab2 ) 2( a2 b7ab2 )5a2b15ab22a2b14ab2 (去括号）22b-（1522移项添括号）5a b-2aab14ab )(=3a2 b-ab2 (合并同类项）2、 整式的乘法1） . 整数指数律 (Laws of Indices)同底数幂的乘法底数是相同的幂即为 同底数幂 。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即，（

31、m ，n 为正整数），如。幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘。即（m ，n 为正整数），如。积的乘方积的乘方，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所(ab)nanbn (n为正整数）得的幂相乘。用字母表示为：（n 为正整数），如2229x2（3x)3 x2）. 多项式乘法(Multiplication of Polynomials)单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。例如：单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。例如：多项式与多项式相乘。多项式与多项

32、式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。例如：。乘法公式 (Identities) ：也叫做简乘公式， 就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。公式中的每一个字母，一般可以表示数字，单项式，多项式，有的还可以推广到 分式，根式。常用公式：完全平方公式 ：三数和平方公式：平方差公式 ：立方和公式 ：立方差公式 ：完全立方公式 ：欧拉公式 ：练习题整式概念题一判断题(1) x1 是关于 x 的一次两项式 ( )3(2) 3 不是单项式 ( )(3) 单项式 xy 的系数是 0( )(4)x 3y3 是 6 次多项式 ()(5) 多项式是整式 ( ) 二、选择题1在下列代数式： 1 ab， ab ，ab2 +b+1， 3+ 2，x3+ x 2 3 中，多项式有（）22xyA2个 B 3个 C4个 D5 个3222多项式 2 mn 是（ ）A二次二项式B三次二项式 C 四次二项式 D 五次二项式3下列说法正确的是（）A3 x 22x+5 的项是 3x2 ，2x， 5B x y 与 2 x 2 2xy5 都是多项式33C多项式 2x2+4xy 的次数是D一个多项式的次数是 6，则这个多项式中只有一项的次数是64下列说法正确的是（）A整式 abc 没有系数B x + y + z 不是整