高中数学选修4-4坐标系

1、r某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观測点的报告L 正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚4 s.已知各观测点到中心的距离都是1 020 m.试确定巨响发生的位置.（假定声音传播的 速度为340 m/sT各观测点均在同一平 面上）观测点1观攬!点俗息中心如图1-1,将三个观测点记为A, B, C由于艮C 同时听到由点P发出的响声，因此I =|PC| ,说明 点F在线段BC的垂直平分线Z上；由于A听到响声的时 间比C晚4 s,因此PB =4X340 = 1 360<IABI说明点P在以点A, B为焦点的双曲线F上.图1-1下面利用问题的几何特征，通过

2、建立适当的直角坐标 系，具体确定点P的位置.如图1-2,以信息中心为原点O,直线EA为工轴,怎样建立直角坐标系才有利于我们解决这个问题?建立直角坐标系.由已知，点A, B, C的坐标分别为A(1 020, 0)» B(-l 020, 0), C(0, 1 020),直线I的方程为设双曲线的方程是a tr由已知得a=680, c1 020,于是b2=c2-a2 = l 0202-6802 = 5X340S所以，双曲线的方程为x2“68025X3402将，=-卫代入上述方程，解得工=士680岛，ji=T680V5.由已知，响声应在双曲线的左半支.所以点P的坐标为(-68075, 6807

3、5).从而 jPO I =680yi0(m).所以，巨响在信息中心的西偏北45°方向，距离680质 m处.我们以信息中心为基点，用角和距离刻画了点P的位置这种方法与 用直角坐标刻画点P的位置有什么区别和联系？你认为哪种方法更方便？例1已知AABC的三边a, b. c满足，+/ = 5込 EE, CF分别为边AC, AB上的中线，建立适当的平面 直角坐标系探究BE与CF的位置关系.解:如图P3,以ABC的顶点A为原点O,边AE所在的直线为z轴.建立直角坐标系.由已知，点A, B,F的坐标分别为A(0, 0), BCc9 0), F(p 0).设点C的坐标为(r y),则点E的坐标为(子

4、，子). 线段BE与CF所在直线的斜率分别为 kHE = 2:9 kcF=2i由圧+/=5/,可得到|AC|2+|AB|2 = 5|BC|2, 即整理得所以2b =（2ec）（2c尤）kE kcF = l-因此，BE与CF互相垂直.你能建立与上述解答中不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐 标系下解决问题的过程，你认为建立直角坐标系时应注意些什么？根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：(1) 如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点;(2) 如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；(3) 使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。(1)怎样由正弦曲线y=s inx得到曲线y=

5、s in2x? IIIy=sin2x在正弦曲线y=siw上任舉一点P(g),保持纵坐标不变, 将横坐椒缩为原来的4就得到正弦曲线戶sin2x2上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即：设P&)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标 不变，将横坐标x缩为原来1 ,得到点/(#,)/)坐标对应关系为：,1X = X2通常把叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。III(2)怎样由正弦曲y=sinx得到曲 线y=3sinx ?写出其坐标变换。y=3siwcy=siwc（2）怎样由正弦曲y=sinr得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。在正弦曲线上任取一点P（3）,保持横坐标兀不变, 将纵坐标

6、伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。设点p（心）经变换得到点为通常把叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。(3)怎样由正弦曲y=sinx得到曲线j=3sin2x?写出其坐标变换。1=nr.III(3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? 暑欝轟凉二;器;上任取一点尸(干丿)，保持纵坐 标不变，将横坐标兀缩为原来的，在此基础上, 将纵坐标变为原来的3倍，就得夠正弦曲线j=3sin2x.设点P (x5j)经变换得到点为 亠通常把 叫做平面直角坐标系中 的一个坐标伸缩变换。定义：设F(w)是平面直角坐标系中任意一点, 在变换阡=加(2>0)厂、 叫八幻(“>0)

7、的作用下，点P(m)对应"(xj)称 (P为平面直角坐标系中的伸缩变换O注(1) 2>0，“>0(2)把图形看成点的运动轨迹，平面图 形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；(3)在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。的乩瓷声舉芈标勇吁求下列方程所对应的图形经过 伸缩变换J兀=2乂= 3，后的图形。 2x+3y=0； (2)x2+y2=l解：(1)由伸缩变换 八力 得 代入2jt + 3y = 0 得# + # = °1 ,X = X2y*X = -Xf21 ,代入宀于二得+yf2 = 19(2)由伸缩变换(" = 2 乂得1

8、在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换: 曲线4兀2+刘2=36变为曲线X2 + /2 = 1X 7 YI解:设伸缩变换S 0)代入x" +严=得才兀2 + “22二又4/+9y2=36 则2在同一直角坐标系下经过伸缩变换二弘后, 曲线C变为护_9)/2=9,求曲线c的方程并画出 图形。2解：将"代入 xf2-9y2=9得9/ 一 9y2 = 9 艮卩兀 $ y2=i课堂小结：(1) 体会坐标法的思想，应用坐标 法解决几何问题；掌握平面直角坐标系中的伸缩 变换。典例精析题型一轨迹探求例1线段4於的两个端点分别在两条互相垂直的直线上滑 动，且IABI=4,求AB中点P的

9、轨迹方程.分析：题目未给出坐标系，因此，应先建立适当的坐标系，显然 以互相垂直的两直线分别为工轴，y轴最合适.解析：解法一 以两条互相垂直的直线分别为兀轴，y轴，建立直 角坐标系，如图所示.T设j),由于04是直角三角形，P为的中点，所以,IOPI = IABI,即x2+j2 = X4,即x2+j2 = 4.故点P的轨迹方程为x2+/ = 4.解法二建立直角坐标系，同解法一.y), A(xv 0), B(0,乃)，则兀+y = 16 .又P为AB的中点，所以Xj = 2x, y2 = 2j. 代入，得4兀2 + 4y2 = 16.故点P的轨迹方程为兀2 + j2 = 4.答案：x2+j2=4点

10、评：1. 求曲线方程一般有下列五个步骤:(1) 建立适当的直角坐标系，并用(兀，刃表示曲线上任意一点M的坐标，在建立坐标系时，应充分考虑平 行、垂直、对称等几何因素，使得解题更加简化;(2)写出适当条件P下的点M的集合：MLP(M);(2) 用坐标表示条件P(M),写出方程/g j) = 0;(3) 化简方程/仗，j) = 0(必须是等价变形)；证明以(4)中方程的解为坐标的点都在曲线上，补 上遗漏点或挖去多余点.一般地，方程的变形过程是等价的，步骤(5)可以省2. 求曲线方程主要有以下几种方法：(1) 条件直译法：如果动点运动的规律就是一些几何 量的等量关系，这些条件简单、明确，易于表达，

11、我们可以把这些关系直译成含“兀，丿”(或p、0)的等 式，我们称之为“直译”.(2) 代入法(或利用相关点法)：有时动点所满足的几何 条件不易求出，但它随另一动点的运动而运动，称 之为相关点.如果相关点满足的条件简单、明确， 就可以用动点坐标把相关点的坐标表示出来，再用 条件直译法把相关点的轨迹表示出来，就得到原动 点的轨迹.(3) 参数法：有时很难直接找出动点的横、纵坐标之间的关系，如果借助中间参量惨数)，使兀、丿之间建立起 联系，然后再从所求式子中消去参数，这样便可得动 点的轨迹方程.(4) 定义法：若动点满足已知曲线的定义，可先设方程 再确定其中的基本量.3. 在掌握求曲线轨迹方程的一般

12、步骤的基础上还要注 意：(1)选择适当的坐标系，坐标系如果选择恰当，可使解 题过程简化，减少计算量.霧EX豐豐?勺營范围要在限定范围的 蠶樑瞬确定出2的取值范围最后 (3)坐标系建立不同，同一曲线的方程也不相同.1.已知线段4长4,则以A为斜边的直角三角形的直角顶点F的轨迹方程是答案:兀2+y 2 = 4（好±2）釈在平而巔坐标系中，经过伸缩燃hr曲线C变为曲线+>=1,求曲线Q的方程.IDIIIIOr：设曲线C上任意一点为（心r）,经过伸缩变换后对应点的代入+b=l,得土+話=1, 例4求方程$=血兀变为尸=扌血4*的伸缩变换公式.睡令变换公城二；J代入y = sin xlx

13、，=sin点评：若已知Pd，y）是伸缩变换之前图形/U，j） = 0上的任意一点，（工/=（ ：0 ）在变换，/心的作用下，得到了 P£y）在变换下的对应 点p（0, _/）,因而可以求得变换后的图形方程/（xy）=o,反过 1X = j/ （2>0），来,变换又可以表示为1点pa,y）对应得到点円（0,厂卩'（“>o）,/ ），即由变换可得出/匕J）= o.我们还可以由变换前后的方程求出对应的伸缩变换，这时只要求出入“的值即可.在坐标伸缩变换的的作用下，可以实现平面图形的伸缩，即平面 图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示.在伸缩变换0:的作用下，直线变成直线，

14、y *(“>0)圆可以变成椭圆，椭圆可以变成圆等.嗖式训练2.已知伸缩变换公式:曲线C在此变换下变为y v求曲线£的方程.解析=设朋，肿为曲线C上任意一点，把 代入十+"6 =19得” +广=1 故曲线（7的方程为H+j，=l 答案：x2+/=l析疑难提能力例由j=sinx伸缩得到变换得到j=sin2x,横坐标是伸长为 原来的2倍，还是缩为原来的女错解：由j=sinxHj=sin2r,横坐标是伸长为原来的2倍.t" =kx,代入y' = sin2xf 中得y = sin2kx,将y = sin2kx 与 j = sin x比较系数可得R =扌，所以由j = sinx到丿=$询加的伸缩变换是每个点的纵坐标不变，横坐标缩为原来的2这与函数解 析式j = sin 2x的形式正好相反.正解：将变换后的曲线J=sin2x改写成yf=sm2xf ,xf =2x G>0), 设伸缩变换为仁(“、y =py (“>o)代入上式得妙=sin(22x),即 J=sin(22x),22=1,比较系数得丫 1a故伸缩变换为2x的伸缩变换是每个点的纵坐标不变，横坐标为原来的*易错点：不理解伸缩变换的定义导致错误【易错点辨析】对于平面直角坐标系中的伸缩变换关系式 =ax Q >0）,illF =阿（>0）,要区分a，肿与T，八的