一阶常微分方程的解法.

1、一阶常微分方程的解法摘要： 常微分方程是微积分学的重要组成部分， 广泛用于具体问题的研究中， 在整个数学中占有重要的地位。 本文对一阶常微分方程的解法作了简要的总结， 并举例加以分析了变量可分离方程， 线性微分方程， 积分因子， 恰当微分方程， 主要归纳了一阶微分方程的初等解法，并以典型例题加以说明。关键词： 变量分离 ; 积分因子 ; 非齐次微分方程; 常数变易法Solution of first-order differential equationAbstract: Differential equations, important parts of calculus, are wide

2、ly used in the research of practical problems, which also play important role in mathematics. The solution of a differential equation is summarized briefly, and illustrates the analysis of variable separable equation, linear differential equation, integral factor, exact differential equation, mainly

3、 summarizes the elementary solution of first order differential equations, and the typical examples to illustrate. Keywords: variable separation; integral factor; non-homogeneous differential equation; constant variation method1. 引言一阶常微分方程初等解法 , 就是把常微分方程的求解问题转化为积分问题 , 能用这种方法求解的微分方程称为可积方程 . 本文通过对一阶微分

4、方程的初等解法的归纳与总结， 以及对变量分离， 积分因子， 微分方程等各类初等解法的简要分析，同时结合例题把常微分方程的求解问题化为积分问题，进行求解.2. 一般变量分离2.1变量可分离方程形如dy（1.1 ）f ( x) g( y)dx或M1 (x) N1 ( y)dx M 2 (x) N2 ( y)dy（1.2 ）的方程，称为变量可分离方程。分别称（ 1.1 ）、（1.2 ）为显式变量可分离方程和微分形式变量可分离方程 1 .(1) 显式变量可分离方程的解法在方程（ 1.1 ）中，若 g ( y)0 ，（1.1 ）变形为dyf (x)dxg( y)积分得dy（1.3 ）f ( x) dx

5、Cg( y)此为（ 1.1 ）的解若 g ( y)0 ， y0 使 g( y0 ) 0 ，则 yy0 也是（ 1.1 ）的解注：当 yy0 不包含于（ 1.3 ）时要特别补上解 y y0 例 1：求解方程 dy1y2dx1x2解 : 当y1dydx时，方程的通积分为y2C ，即11 x2arcsin y arcsin xC即y sin(arcsin x C) .另外，方程还有解y1 ，不包含在通解中 .(2) 微分形式变量可分离方程的解法方程M 1( x)N1( y)dx M 2 (x)N2 ( y)dy（1.2 ）是变量可分离方程的微分形式表达式. 这时， x 和 y 在方程中的地位是“平等

6、”的，即 x 和 y 都可以被认为是自变量或函数1 .在求常数解时，若N1( y0 )0 ，则 yy0 为方程（ 1.2 ）的解 . 同样，若M 2 ( x0 )0 ，则 xx0 也是方程（ 1.2 ）的解 .当 N1 y M 2 x 0 时 , 用它除方程 (1.2) 两端 , 分离变量 , 得N2yM 1xN1dyM 2dxyx上式两端同时积分 , 得到方程 (1.2) 的通积分N2yM 1xN1dyM 2dx Cyx例 2: 求解方程x y21 dx y x2 1 dy 0解 : 首先 , 易见 y1,x1为方程的解 . 其次 , 当 ( x2 1) y210 时, 分离变量得xdxyd

7、y0x 21y2 1积分，得方程的通积分ln x2 1 ln y21 ln C（C0）或x21 y21C（C0）以上内容归纳了变量可分离方程的解法,. 有些方程虽然不是变量可分离方程 , 但是经过变量变换之后 , 就能化成变量可分离方程 , 接下来归纳了两类可化为变量可分离的方程及其解法 .2.2 可化为变量可分离方程(1) 第一类可化为变量可分离的方程 : 齐次微分方程如果一阶显式方程dy（1.4 ）f ( x, y)dx的右端函数f ( x, y) 可以改写为y 的函数 g( y ) ，那么称方程（ 1.4 ）为一阶齐次xx微分方程 , 也可以写为dyg ( y )(1.5)dxx作变量变

8、换uy(1.6)x于是 yux ，从而dyux du(1.7)dxdx把（ 1.6 ），（ 1.7 ）代入（ 1.5 ）得x duug (u)dx即dug (u)u(1.8)dxx方程（1.8 ）是一个变量可分离方程 , 当 g(u)u 0时, 分离变量并积分 , 得到它的通积分dudxln C1(1.9)g(u)ux或duC1xe g (u ) u即xCe (u )其中 (u)du,C1 .g(u)uC1以 uy 代入 , 得到原方程 (1.5)的通积分xxCe( y)x若存在常数 u0 , 使 g(u0 )u0 0 ，则 uu0 是(1.8)的解 ,由 uy , 得 yu0 x 是原x方程

9、（ 1.5 ）的解 1 例 3：解方程 x2 dy xy y2 dx2, 令 yx du解：将方程化为dyyyu ，代入上式得 uu u2 , 即dxxxxdxx duu2 易于看出 , u0 为这个方程的一个解 , 从而 y0为原方程的一个解 .dx当 u 0 时, 分离变量得dudxu2x .两端积分后得1ln xCu或u1ln xC将 u 换成 y , 并解出 y , 便得到原方程的通解x.yxln xC(2) 第二类可化为变量可分离的方程形如dya1xb1 yc1（ 2.1）dxa2 xb2 yc2的方程是第二类可化为变量可分离的方程1 .其中 a1, b1 ,c1, a2 ,b2 ,

10、 c2 均为常数 . 分如下情况：(i )c1c20dya1xb1 y .dxa2 xb2 ydya1b1y即xdxya2b2x用变量代换 yu 即可化为可分离变量的微分方程x(ii ) a1b1kc1a2b2c2令 u a2 xb2 y则dua2b2dya2b2ku c1dxdxu c2是可分离变量的微分方程(iii )a1b1a2b2若 c1 ,c2 不全为零，则a1 xb1 yc10a2 xb2 yc20代表 oxy 平面上的两条相交的直线有且只有唯一的交点, 设为,令Xx，则上述方程变为Yya1 XbY10a2 Xb2Y0则（ 1.7 ）变为 dXa1 XbY1gx为可分离变量的微分方

11、程dYa2 Xb2Yy注：若 c1 c20 ，则为 i的情形例 4：求方程 dy x y 5 . dx x y 2解 ： 令 u x y2, 则 dy dxdu ， 代 入 得 到 1duu 7 ， 有dxuudu7dx ，所以u2C (C为常数 ) ，7 x2（ xy2把 u 代入得到2）7x C(C为常数 ) 。2例 5：求方程 dy 2x y 1 .dxx2 y 1x1u1解：由 2 xy103 , 令xdydv ，代入得到, 得3 , 有x2 y10y1v1dxdu3y3dv2uv2vu，duu2v1v2u令 tv ，有 dvtduudt ，代入得到 tudt2t ， 化简得到，udu

12、12tdu12tdtd(1tt 2 ) ，u22t2t 22(1tt 2 )有 ln uln(1tt 2 )C(C为常数 ) ，所以有 uC1，(C1eC )21 tt2故代入得到1C1, (C1 0)x32y113y1311x3x33 常数变易法一阶线性微分方程的一般形式dy（2.2 ）p( x) y f (x)dx其中 p( x), f ( x) 在考虑的区间上是x 的连续函数 .当 fx0 时, 即dy0（2.3 ）P x ydx称为一阶线性齐次微分方程，当 f ( x)0 ，称为一阶线性非齐次微分方程.3.1 齐次方程通解的解法：一般变量分离对 dy p x y 0 分离变量，得 dx

13、1 dyp x dxy两边同时积分，得lnyp xdx c1即yc2ep x dx则ypx dx0)ce(c3.2 非齐次方程通解的解法：常数变易法不难看出 , （2.3 ）是（ 2.2 ）的特殊情形 , 两者既有联系又有差别 , 因此可以设想它们的解也应该有一定的联系而又有差别 , 现试图利用方程的通解的形式去求出方程的通解 , 显然 , 如果中 c 恒保持为常数 , 它们不可能是的解 . 可以设想在中将常数 c 变易为 x 的待定函数 , 使它满足方程 , 从而求出 c x , 为此，令yc(x)ep ( x )dx（2.4 ）为方程（ 2.2 ）的解，其中 c( x) 待定，将（ 2.4

14、 ）代入（ 2.2 ），得p( x) dxp( x) dxp( x)p( x)dxf ( x)c '( x)ec( x)ep( x) c( x)e即c '( x)f ( x)ep( x)dx从而c( x)p( x) dxcf ( x)edx故，方程（ 2.2 ）的通解为yp( x )dxp( x) dxp ( x) dxceef (x)edx注：一阶非齐次微分方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和 4 。例 6：求解方 dyyx2（2.5 ）dxx解：方程（ 2.5 ）所对应的齐次方程为dyy（2.6）dxx其通解为1 dxln xxy cececx,由常

15、数变易法，令 yc(x) x 为方程（ 2.5 ）的通解，并代入（ 2.5 ）c'(x) x c(x)c(x)x2即 c '(x)x ，c x1 x2c ，则方程（ 2.5 ）的通解为2y cx 1 x3 . 24恰当微分方程若一阶微分方程M ( x, y)dx N (x, y)dy 0（2.7 ）的左端恰好是某个二元函数的全微分，即M ( x, y)dxN (x, y)dydu (x, y)u dxu dyxy则（ 2.7 ）为恰当微分方程，其中M ( x, y) ， N (x, y) 为某矩形区域上连续且具有连续的一阶偏导数 1 那么如何判定一个微分方程是否为恰当微分方程呢

16、，下面给出其判别方法若（ 2.7 ）为恰当微分方程，则u（2.8 ）Mxu（2.9 ）Ny对（ 2.8 ），（ 2.9 ）分别求关于 y ， x 的偏导数，有M2u， N2u ，yx yxy x由M，N2 u2 u故MN，此即为判定微分方程是yx的连续性，可知y xyxx y否为恰当微分方程的充要条件下面来讨论 (2.7)的通解形式由 (2.8) 知uM ( x, y) dx( y)y 是 y 的可微函数，下面来求y , 使y 也满足(2.9)uM (x, y)dxd ( y)yNydy由此知d( y)NM ( x, y)dxdyy下证 NM ( x, y)dx 与 x 无关即可yNNM (x

17、, y)dxNNMM ( x, y) dxxM ( x, y)dxx0xxyxy xy所以左边与 x 无关积分得( y)NM ( x, y)dx dyy所以u(x, y)M ( x, y)dxNM ( x, y)dx dyy从而，原方程的通解为u( x, y)M ( x, y)dxNM ( x, y)dx dy CyC 为任意常数例 7: (3x26xy2 )dx (6x2 y4 y3 )dy 0解：由题意得到， M ( x, y) 3x26xy2 , N ( x, y) 6x2 y 4y3 , 由 M12 xyN 得yx到，原方程是一个恰当方程；下面求一个 G (x, y), s.t G (

18、 x, y)M ( X , y), G( x, y)N ( x, y) ，由xyG (x, y)M ( X , y) 3x26xy 2 ，得xG( x, y) x33x2 y 2( y) ，两边对 y 求偏导得到G6x 2 y( y)6x2 y 4 y3 ，y得到 ( y)4 y3 ，有( y)y 4 ，故 G( x, y)x33x 2 y2y 4 ，由 dG0 ，得到x3x2 y 2y 4C, (C为常数).35积分因子恰当微分方程可以通过积分求出它的通解 因此能否将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程就有很大的意义积分因子就是为了解决这个问题引进的概念如果存在连续可微函数x, y0 ，使得x

19、, y Mx, ydxx, yNx, y dy0为一恰当微分方程，即存在函数u ，使MdxNdydu ，则称x, y 为方程 Mx, y dxNx, ydy0 的积分因子；积分因子不唯一 2 .函数x, y 为 Mx, y dxNx, ydy0 积分因子的充要条件是(M )(N )yx即NxM( MN )yyx假设原方程存在只与 x 有关的积分因子x ，则x0 ，则 为原方程(MN )的积分因子的充要条件是x( MN )，即xyx 仅是关于 x 的yxN函数此时可求得原方程的一个积分因子为ex dx同样有只与 y 有关的积(MN )分因子的充要条件是yyx是仅为 y的函数，此时可求得方程 (1.1)M的