一元二次方程【韦达定理、根与系数的关系练习答案】.

1、韦达定理与根与系数的关系练习题一、填空题1、关于 x 的方程 2x23xm0 ，当时，方程有两个正数根；当 m时，方程有一个正根，一个负根；当 m时，方程有一个根为 0。2、已知一元二次方程2x23x10 的两根为 x1 、 x2 ，则 x1x23、如果 x1 ， x2 是方程 x25x 6 0 的两个根，那么 x1x24、已知 x1 ， x2 是方程 x26x30 的两实数根，则 x2x1的值为 _x1x25、设 x1 、 x2 是方程 2x24x30 的两个根，则 ( x11)( x21)6、若方程 2x24x30 的两根为、，则 a222a 7、已知 x1 、x2 是关于 x 的方程 (

2、a1) x2xa 21 0 的两个实数根，且 x1 x2 1 ，则 x1x2 38、已知关于 x 的一元二次方程 mx24x6 0 的两根为 x1 和 x2 ，且 x1x22 ，则 m， x1x2x1 x2。9、若方程 2 x25xk0 的两根之比是 2：3，则 k10、如果关于 x 的方程260，那么 kxxk的两根差为 2。11、已知方程2x2mx 40 两根的绝对值相等，则 m。12、已知方程 x2mx20 的两根互为相反数，则 m。13、已知关于 x 的一元二次方程 (a 21)x2(a1) x10 两根互为倒数，则 a。14、已知关于 x 的一元二次方程 x22(m1) xm20 。

3、若方程的两根互为倒数，则 m；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m。15、一元二次方程px2qx r0(p0) 的两根为0和 ，则 p : q。116、已知方程3x 2x10 ，要使方程两根的平方和为13 ，那么常数项应改为。917、已知方程 x24x2m 0 的一个根比另一个根小4，则； m。18、已知关于 x 的方程x23xk0 的两根立方和为0 ，则 k19、已知关于 x 的方程x232(m1)0的两根为x1、x2，且 113 ，则 m。mxx1x2420、若方程 x24xm0 与 x2x2m 0 有一个根相同，则 m。21、一元二次方程2x 23x 10 的两根与 x23x 20 的

4、两根之间的关系是。22、请写出一个二次项系数为1，两实根之和为 3 的一元二次方程：23、已知一元二次方程的两根之和为5 ，两根之积为6 ，则这个方程为。24、若 、 为实数且 |3|(2)20 ，则以、 为根的一元二次方程为。( 其中二次项系数为 1)25、求作一个方程，使它的两根分别是方程x23x20 两根的二倍，则所求的方程为。二、解答题1、已知 m， n 是一元二次方程 x22x50 的两个实数根，求2m23n22m 的值。2、设 x1 、 x2 是方程 2x24x10 的两个根，求| x1x2 | 的值。3、已知 x1 、 x2 是方程 x22x a0 的两个实数根，且 x12x23

5、 2 （1）求x1、 x2及 a 的值；（ ）求322x1x2 的值2x13x14、已知 x1 、 x2 是一元二次方程 x222( x1x2 )23，225 ，mx n 0 的两个实数根， 且 x1x222x1x2求 m 和 n 的值。5、已知 a21a ， b21b ，且 ab ，求 (a1)(b1) 的值。6、设： 3a 26a110 ， 3b26b110 且 ab ，求 ab 的值。7、已知： 、 是关于 x 的二次方程： (m 2)x22(m 4)xm 40 的两个不等实根。(1) 若 m 为正整数时，求此方程两个实根的平方和的值；(2)若 226 时，求 m 的值。8、已知关于 x

6、 的二次方程 x2mx10的一个根是21 ，求另一个根及 m 的值9、已知方程 5x2mx100 的一根是 5，求方程的另一根及m 的值。10、已知 23 是 x24xk0 的一根，求另一根和k 的值。11、(1)方程 x23x m0 的一个根是2 ，则另一个根是。(2)若关于y的方程y2my n0的两个根中只有一个根为，那么、应满足。0m n12、如果 x1 是方程 2x23mx10 的一个根，则 m，另一个根为。13、已知关于 x 的方程 2x25xm 的一个根是 2，求它的另一个根及m 的值。14、已知关于 x 的方程 3x21tx 的一个根是 2，求它的另一个根及t 的值。15、在解方

7、程x2px q0时，小张看错了 p ，解得方程的根为与 ；13小王看错了q ，解得方程的根为 4与 2。这个方程的根应该是什么 ?16、已知一元二次方程 8y2(m1) ym50 。(1) m 为何值时，方程的一个根为零 ?(2) m 为何值时 ，方程的两个根互为相反数 ?(3) 证明：不存在实数 m ，使方程的两个相互为倒数。17、方程 x23xm0 中的 m 是什么数值时，方程的两个实数根满足：(1) 一个根比另一个根大 2；(2) 一个根是另一个根的 3倍；(3) 两根差的平方是 17。18、已知一元二次方程 8x 2(2m1) xm70 ，根据下列条件，分别求出m 的值：(1) 两根互

8、为倒数；(2) 两根互为相反数；(3) 有一根为零；(4) 有一根为 1；20、已知关于 x 的一元二次方程x2mx120 的两根之差为 11，求 m 的值。21、已知关于 x 的二次方程 x22( a2) xa250 有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，求 a 的值。22、已知方程 x2bxc0 有两个不相等的正实根，两根之差等于 3，两根的平方和等于 29，求 b、 c 的值。23、已知关于 x 的方程 2x 2(m1)xm10的两根满足关系式x1x21，求 m 的值及两个根。24、已知关于 x 的方程 x2(k1)xk20 的两个实数根的平方和等于6，求 k 的值25、 、 是关于

9、x 的一元二次方程 (m 1)x2x 10 的两个实数根，且满足 (1)(1) m 1 ，求实数 m 的值26、 、 是关于 x 的方程4x24mx m24m 0 的两个实根，并且满足 ( 1)(1)19 ，求 m 的值。10027、已知：、是关于 x 的方程 x2(m2) x10 的两根，求 (1m2 )(1m2 ) 的值。28、已知关于 x 的方程 x22( m2)xm20，问：是否存在正实数 m , 使方程的两个实数根的平方和等于 56，若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由 .29、关于 x 的一元二次方程 3x2( 4m21) xm(m2)0 的两实根之和等于两个实根的倒数和，

10、求m 的值。30、已知关于 x 的一元二次方程 ax2bxc0 ( a0 ) 的两根之比为 2 : 1，求证： 2b29ac 。31、已知方程 x2mx40 和 x2(m2) x160 有一个相同的根，求m 的值及这个相同的根。32、已知关于x 的一元二次方程ax2bxc0 的两根为、，且两个关于x 的方程x2(1) x20 与x2(1) x20 有唯一的公共根，求a、 b、 c 的关系式。33、已知 x1 、 x2 是关于 x 的方程 x2px q 0 的两根 x11 、 x21是关于 x 的方程 x2qxp 0 的两根，求常数 p、 q 的值。34、已知方程 x2mx120 的两实根是 x

11、1 和 x2 ，方程 x2mxn0 的两实根是 x17 和 x27 ，求 m 和 n 的值。35、已知 224s7 0， 7t24t2 0，、t为实数，且 st 1. 求下列各式的值：ss(1) st1 ；(2)3st2s3 。tt36、已知x1 、x2 是关于x 的方程x2m2 xn0 的两个实数根；y1 、y2 是关于y 的方程y 25my70的两个实数根，且x1y12 ,x2y22 ，求 m 、 n 的值。37、关于 x 的方程 m2 x2(2m3)x10 有两个乘积为 1的实根，x22(am)x2am26m40 有大于 0 且小于 2 的根，求 a 的整数值。38、已知关于 x 的方程

12、 mx2nx20 两根相等，方程 x24mx 3n0 的一个根是另一个根的3倍。求证：方程x2()(k)0一定有实数根。k n xm39、已知关于 x 的一元二次方程x2( 4m1)x2m10 (1) 求证：不论 m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程两根为 x1 、 x2，且满足 111 ，求 m 的值x1x2240、关于 x 的方程 x22mx1 n20 ，其中 m 、 n 分别是一个等腰三角形的腰长和底边长。4(1) 求证：这个方程有两个不相等的实根；(2) 若方程两实根之差的绝对值是 8，等腰三角形的面积是 12，求这个三角形的周长。41、已知关于 y 的方程 y2

13、2ay2a40 。(1) 证明：不论 a 取何值，这个方程总有两个不相等的实数根；(2) a 为何值时，方程的两根之差的平方等于 16?42、已知方程 2x 25mx 3n0 的两根之比为 2 : 3，方程 x22nx 8m0 的两根相等 ( mn 0 ) 。求证：对任意实数k ，方程mx2( n k 1)x k 10 恒有实数根。43、如果关于 x 的实系数一元二次方程x22(m3) xm230 有两个实数根、，那么 (1) 2(1) 2 的最小值是多少 ?44、已知方程 x2axb0 的两根为 x1 、 x2 ，且 4x1x20 ，又知根的判别式25 ，求 a、 b 的值。45、求一个一元

14、二次方程，使它的两个根是26 和 26 。46、已知方程 x 25x70 ，不解方程，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程的两个根的负倒数。47、已知方程 2x 23x30 的两个根分别为 a 、 b ，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是：(1)a 1 、 b 1(2)2b 、 2aab48、已知两数之和为 7，两数之积为 12，求这两个数。49、已知两数的和等于 6，这两数的积是 4，求这两数。50、一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm，面积为 7 cm2 ，求这个直角三角形斜边的长。251、已知关于 x 的方程 x2(2a1) x4(a1)0 的两个

15、根是斜边长为 5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。52、试确定使 x2(ab) xa0 的根同时为整数的整数a 的值。53、已知一元二次方程(2k3) x24kx2k50 ，且 4k1 是腰长为 7的等腰三角形的底边长，求：当 k 取何整数时，方程有两个整数根。54、已知关于 x 的一元二次方程 x22xp20 有两个实根 x1 和 x2 ( x1x2 ) ，在数轴上，表示 x2 的点在表示 x1 的点的右边，且相距p1，求 p 的值。答案一、填空题1、 0 m9;82、 323、64、1055、26、107、-18、-2 ;-89、310、811、012、013、2(2舍

16、去)14、-1 ( 1舍去 ) ;1 3(1 3舍去)15、116、-217、-4;0;018、319、 1320、3 或 021、互为倒数22、 x23x 0, (答案不唯一 )23、 x25x60, (答案不唯一 )24、 x23x2025、 x26x80,(答案不唯一 )二、解答题1、 m22m 5、 n22n 5原式 2m2322m6m6n2537n2、 | x1x2 |(x1x2 )24 x1 x22x1x22x1123、（1） x1 x2a解之 x212x12x2 32a1（2）221；原式x1x211x1x12( x1x2 ) 22x1 x22m 2n 3解之 m1或 m214、

17、 x1x2m、x1x2n ， 2( x1x2 )22x1 x22(m2n)210(舍去)( x1x2 )2n25n 1n 3 55、 (a1)(b1)ab(ab)1 16、 ab24237、0 m4，且 m2（1） m1时， x26x30 ， 2230 ；m 3 时， x22x 10 ， 226 ；22 m 4（2） 22() 226 ，即2( m 4)6 ，m2m 2化简得 m2m60，解得 m13，m228、 x221，m29、 x22 ， m23510、 x223，k111、（ 1） 32 ； （2） n0且 m0 ；12、11213、 x21， m2214、 x21， t116215、

18、 q1(3)2)3所以原方程为 x22x30 ，解得 x11， x23p4(216、（ 1）方程的一个根为0，即 c0，此时 m5；（2）方程的两根互为相反数，即b0 ，此时 m1；（3）方程的两根互为倒数，即ac ，此时 m 13，原方程为 8 y214y8 0，（60 0）17、 x1x23（ 1）m5；（）m27 ； （ ） m 2x1 x2m4216318、（ 1）方程的两根互为倒数，即 ac ，此时 m15，4( m7 )217601 ；2（2）方程的两根互为相反数，即b0，此时 m2（3）方程的一个根为0，即 c0 ，此时 m 7 ；（4）方程的一个根为1，此时82m1m70 ；解

19、得 m0 ；19、x1x2mx11220、 x1 x212，解之x21x1x211m139 ，由题意可得x1x22(a2)21、0 ax1 x2a25即 a254(a2) ，解得 a1或 a3 （舍）4x1 x22 x1x20b722、不相等的两正根，则b0，由题意解得c10c023、 ( x1x2 ) 2( x1x2 ) 24x1x2 ( m 1)24m 1122即m21011(m11)(m1)0m当 m11时， x25x60 ，解得 x 2或 3;当 m1时， x2x0 ，解得 x0或 124、 x12x22( x1x2 ) 22x1 x2( k1) 22(k2)6，化简得 k 29 0

20、，所以 k3或 k 3（舍）25、 (1)(1)1m1， 1111m ，解得 m1或 m2 （舍）mm26、 (1)(1)1()m24mm9 ， 解得 m3 或 m3 （舍）41005527、 x2mx12x ，则有2m12、 2m12原式 2241428、22(x1x2) 22x1x2 2(m2) 22256，化简得m28m 20 0，m2或 m10（舍）x1x2m29、 x1 x211x1x2即 ( x1x2 )(11 )0x1x2x1 x2x1x2当 x1x20时， 4m210 ，解得 m1 或 m1 （舍）;22当x1x20时，110，x1x2m(m2)1，解得 m或（舍）;33 m

21、1x1 x2综上所述， m1 或 m32x1x2b3x222b9a（）230、不妨设 x12x2 ，则有，1得，即 2b9acx1 x2c2（2）ac2a2x231、方法一：- 得：(2m2)x200，即 mxx 10代入中得： x2x60 ，解得 x13、 x22当 x3时， m13，方程 的解为3、4;方程 的解为16，符合题意；333、3当 x2时， m4，方程 的解为2、2 ;方程 的解为2、 8，符合题意；综上所述，当 m13 时相同根为3 ； 当 m4时相同根为2；3方法二：- 得：(2m2)x200，即x101m代入中得：10210m40 ，化简为3m2m520 ，解得 m13或 m4(1m)21m3当 m13 时由 ，相同根为3 ； 当 m4时相同根为2；332、-得： () x(22 )0 ，由题意得，所以 xb2cb代入 中化简得： 2()20，即 20， 2b2ac abaaa33、 p1， q334、 m7， n5435、 7t24t20 ，两