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文档简介
1、韦达定理与根与系数的关系练习题一、填空题1、关于 x 的方程 2x23xm0 ,当时,方程有两个正数根;当 m时,方程有一个正根,一个负根;当 m时,方程有一个根为 0。2、已知一元二次方程2x23x10 的两根为 x1 、 x2 ,则 x1x23、如果 x1 , x2 是方程 x25x 6 0 的两个根,那么 x1x24、已知 x1 , x2 是方程 x26x30 的两实数根,则 x2x1的值为 _x1x25、设 x1 、 x2 是方程 2x24x30 的两个根,则 ( x11)( x21)6、若方程 2x24x30 的两根为、,则 a222a 7、已知 x1 、x2 是关于 x 的方程 (
2、a1) x2xa 21 0 的两个实数根,且 x1 x2 1 ,则 x1x2 38、已知关于 x 的一元二次方程 mx24x6 0 的两根为 x1 和 x2 ,且 x1x22 ,则 m, x1x2x1 x2。9、若方程 2 x25xk0 的两根之比是 2:3,则 k10、如果关于 x 的方程260,那么 kxxk的两根差为 2。11、已知方程2x2mx 40 两根的绝对值相等,则 m。12、已知方程 x2mx20 的两根互为相反数,则 m。13、已知关于 x 的一元二次方程 (a 21)x2(a1) x10 两根互为倒数,则 a。14、已知关于 x 的一元二次方程 x22(m1) xm20 。
3、若方程的两根互为倒数,则 m;若方程两根之和与两根积互为相反数,则m。15、一元二次方程px2qx r0(p0) 的两根为0和 ,则 p : q。116、已知方程3x 2x10 ,要使方程两根的平方和为13 ,那么常数项应改为。917、已知方程 x24x2m 0 的一个根比另一个根小4,则; m。18、已知关于 x 的方程x23xk0 的两根立方和为0 ,则 k19、已知关于 x 的方程x232(m1)0的两根为x1、x2,且 113 ,则 m。mxx1x2420、若方程 x24xm0 与 x2x2m 0 有一个根相同,则 m。21、一元二次方程2x 23x 10 的两根与 x23x 20 的
4、两根之间的关系是。22、请写出一个二次项系数为1,两实根之和为 3 的一元二次方程:23、已知一元二次方程的两根之和为5 ,两根之积为6 ,则这个方程为。24、若 、 为实数且 |3|(2)20 ,则以、 为根的一元二次方程为。( 其中二次项系数为 1)25、求作一个方程,使它的两根分别是方程x23x20 两根的二倍,则所求的方程为。二、解答题1、已知 m, n 是一元二次方程 x22x50 的两个实数根,求2m23n22m 的值。2、设 x1 、 x2 是方程 2x24x10 的两个根,求| x1x2 | 的值。3、已知 x1 、 x2 是方程 x22x a0 的两个实数根,且 x12x23
5、 2 (1)求x1、 x2及 a 的值;( )求322x1x2 的值2x13x14、已知 x1 、 x2 是一元二次方程 x222( x1x2 )23,225 ,mx n 0 的两个实数根, 且 x1x222x1x2求 m 和 n 的值。5、已知 a21a , b21b ,且 ab ,求 (a1)(b1) 的值。6、设: 3a 26a110 , 3b26b110 且 ab ,求 ab 的值。7、已知: 、 是关于 x 的二次方程: (m 2)x22(m 4)xm 40 的两个不等实根。(1) 若 m 为正整数时,求此方程两个实根的平方和的值;(2)若 226 时,求 m 的值。8、已知关于 x
6、 的二次方程 x2mx10的一个根是21 ,求另一个根及 m 的值9、已知方程 5x2mx100 的一根是 5,求方程的另一根及m 的值。10、已知 23 是 x24xk0 的一根,求另一根和k 的值。11、(1)方程 x23x m0 的一个根是2 ,则另一个根是。(2)若关于y的方程y2my n0的两个根中只有一个根为,那么、应满足。0m n12、如果 x1 是方程 2x23mx10 的一个根,则 m,另一个根为。13、已知关于 x 的方程 2x25xm 的一个根是 2,求它的另一个根及m 的值。14、已知关于 x 的方程 3x21tx 的一个根是 2,求它的另一个根及t 的值。15、在解方
7、程x2px q0时,小张看错了 p ,解得方程的根为与 ;13小王看错了q ,解得方程的根为 4与 2。这个方程的根应该是什么 ?16、已知一元二次方程 8y2(m1) ym50 。(1) m 为何值时,方程的一个根为零 ?(2) m 为何值时 ,方程的两个根互为相反数 ?(3) 证明:不存在实数 m ,使方程的两个相互为倒数。17、方程 x23xm0 中的 m 是什么数值时,方程的两个实数根满足:(1) 一个根比另一个根大 2;(2) 一个根是另一个根的 3倍;(3) 两根差的平方是 17。18、已知一元二次方程 8x 2(2m1) xm70 ,根据下列条件,分别求出m 的值:(1) 两根互
8、为倒数;(2) 两根互为相反数;(3) 有一根为零;(4) 有一根为 1;20、已知关于 x 的一元二次方程x2mx120 的两根之差为 11,求 m 的值。21、已知关于 x 的二次方程 x22( a2) xa250 有实数根,且两根之积等于两根之和的2倍,求 a 的值。22、已知方程 x2bxc0 有两个不相等的正实根,两根之差等于 3,两根的平方和等于 29,求 b、 c 的值。23、已知关于 x 的方程 2x 2(m1)xm10的两根满足关系式x1x21,求 m 的值及两个根。24、已知关于 x 的方程 x2(k1)xk20 的两个实数根的平方和等于6,求 k 的值25、 、 是关于
9、x 的一元二次方程 (m 1)x2x 10 的两个实数根,且满足 (1)(1) m 1 ,求实数 m 的值26、 、 是关于 x 的方程4x24mx m24m 0 的两个实根,并且满足 ( 1)(1)19 ,求 m 的值。10027、已知:、是关于 x 的方程 x2(m2) x10 的两根,求 (1m2 )(1m2 ) 的值。28、已知关于 x 的方程 x22( m2)xm20,问:是否存在正实数 m , 使方程的两个实数根的平方和等于 56,若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由 .29、关于 x 的一元二次方程 3x2( 4m21) xm(m2)0 的两实根之和等于两个实根的倒数和,
10、求m 的值。30、已知关于 x 的一元二次方程 ax2bxc0 ( a0 ) 的两根之比为 2 : 1,求证: 2b29ac 。31、已知方程 x2mx40 和 x2(m2) x160 有一个相同的根,求m 的值及这个相同的根。32、已知关于x 的一元二次方程ax2bxc0 的两根为、,且两个关于x 的方程x2(1) x20 与x2(1) x20 有唯一的公共根,求a、 b、 c 的关系式。33、已知 x1 、 x2 是关于 x 的方程 x2px q 0 的两根 x11 、 x21是关于 x 的方程 x2qxp 0 的两根,求常数 p、 q 的值。34、已知方程 x2mx120 的两实根是 x
11、1 和 x2 ,方程 x2mxn0 的两实根是 x17 和 x27 ,求 m 和 n 的值。35、已知 224s7 0, 7t24t2 0,、t为实数,且 st 1. 求下列各式的值:ss(1) st1 ;(2)3st2s3 。tt36、已知x1 、x2 是关于x 的方程x2m2 xn0 的两个实数根;y1 、y2 是关于y 的方程y 25my70的两个实数根,且x1y12 ,x2y22 ,求 m 、 n 的值。37、关于 x 的方程 m2 x2(2m3)x10 有两个乘积为 1的实根,x22(am)x2am26m40 有大于 0 且小于 2 的根,求 a 的整数值。38、已知关于 x 的方程
12、 mx2nx20 两根相等,方程 x24mx 3n0 的一个根是另一个根的3倍。求证:方程x2()(k)0一定有实数根。k n xm39、已知关于 x 的一元二次方程x2( 4m1)x2m10 (1) 求证:不论 m 为任何实数,方程总有两个不相等的实数根;(2) 若方程两根为 x1 、 x2,且满足 111 ,求 m 的值x1x2240、关于 x 的方程 x22mx1 n20 ,其中 m 、 n 分别是一个等腰三角形的腰长和底边长。4(1) 求证:这个方程有两个不相等的实根;(2) 若方程两实根之差的绝对值是 8,等腰三角形的面积是 12,求这个三角形的周长。41、已知关于 y 的方程 y2
13、2ay2a40 。(1) 证明:不论 a 取何值,这个方程总有两个不相等的实数根;(2) a 为何值时,方程的两根之差的平方等于 16?42、已知方程 2x 25mx 3n0 的两根之比为 2 : 3,方程 x22nx 8m0 的两根相等 ( mn 0 ) 。求证:对任意实数k ,方程mx2( n k 1)x k 10 恒有实数根。43、如果关于 x 的实系数一元二次方程x22(m3) xm230 有两个实数根、,那么 (1) 2(1) 2 的最小值是多少 ?44、已知方程 x2axb0 的两根为 x1 、 x2 ,且 4x1x20 ,又知根的判别式25 ,求 a、 b 的值。45、求一个一元
14、二次方程,使它的两个根是26 和 26 。46、已知方程 x 25x70 ,不解方程,求作一个一元二次方程,使它的两个根分别是已知方程的两个根的负倒数。47、已知方程 2x 23x30 的两个根分别为 a 、 b ,利用根与系数的关系,求一个一元二次方程,使它的两个根分别是:(1)a 1 、 b 1(2)2b 、 2aab48、已知两数之和为 7,两数之积为 12,求这两个数。49、已知两数的和等于 6,这两数的积是 4,求这两数。50、一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm,面积为 7 cm2 ,求这个直角三角形斜边的长。251、已知关于 x 的方程 x2(2a1) x4(a1)0 的两个
15、根是斜边长为 5的直角三角形的两条直角边的长,求这个直角三角形的面积。52、试确定使 x2(ab) xa0 的根同时为整数的整数a 的值。53、已知一元二次方程(2k3) x24kx2k50 ,且 4k1 是腰长为 7的等腰三角形的底边长,求:当 k 取何整数时,方程有两个整数根。54、已知关于 x 的一元二次方程 x22xp20 有两个实根 x1 和 x2 ( x1x2 ) ,在数轴上,表示 x2 的点在表示 x1 的点的右边,且相距p1,求 p 的值。答案一、填空题1、 0 m9;82、 323、64、1055、26、107、-18、-2 ;-89、310、811、012、013、2(2舍
16、去)14、-1 ( 1舍去 ) ;1 3(1 3舍去)15、116、-217、-4;0;018、319、 1320、3 或 021、互为倒数22、 x23x 0, (答案不唯一 )23、 x25x60, (答案不唯一 )24、 x23x2025、 x26x80,(答案不唯一 )二、解答题1、 m22m 5、 n22n 5原式 2m2322m6m6n2537n2、 | x1x2 |(x1x2 )24 x1 x22x1x22x1123、(1) x1 x2a解之 x212x12x2 32a1(2)221;原式x1x211x1x12( x1x2 ) 22x1 x22m 2n 3解之 m1或 m214、
17、 x1x2m、x1x2n , 2( x1x2 )22x1 x22(m2n)210(舍去)( x1x2 )2n25n 1n 3 55、 (a1)(b1)ab(ab)1 16、 ab24237、0 m4,且 m2(1) m1时, x26x30 , 2230 ;m 3 时, x22x 10 , 226 ;22 m 4(2) 22() 226 ,即2( m 4)6 ,m2m 2化简得 m2m60,解得 m13,m228、 x221,m29、 x22 , m23510、 x223,k111、( 1) 32 ; (2) n0且 m0 ;12、11213、 x21, m2214、 x21, t116215、
18、 q1(3)2)3所以原方程为 x22x30 ,解得 x11, x23p4(216、( 1)方程的一个根为0,即 c0,此时 m5;(2)方程的两根互为相反数,即b0 ,此时 m1;(3)方程的两根互为倒数,即ac ,此时 m 13,原方程为 8 y214y8 0,(60 0)17、 x1x23( 1)m5;()m27 ; ( ) m 2x1 x2m4216318、( 1)方程的两根互为倒数,即 ac ,此时 m15,4( m7 )217601 ;2(2)方程的两根互为相反数,即b0,此时 m2(3)方程的一个根为0,即 c0 ,此时 m 7 ;(4)方程的一个根为1,此时82m1m70 ;解
19、得 m0 ;19、x1x2mx11220、 x1 x212,解之x21x1x211m139 ,由题意可得x1x22(a2)21、0 ax1 x2a25即 a254(a2) ,解得 a1或 a3 (舍)4x1 x22 x1x20b722、不相等的两正根,则b0,由题意解得c10c023、 ( x1x2 ) 2( x1x2 ) 24x1x2 ( m 1)24m 1122即m21011(m11)(m1)0m当 m11时, x25x60 ,解得 x 2或 3;当 m1时, x2x0 ,解得 x0或 124、 x12x22( x1x2 ) 22x1 x2( k1) 22(k2)6,化简得 k 29 0
20、,所以 k3或 k 3(舍)25、 (1)(1)1m1, 1111m ,解得 m1或 m2 (舍)mm26、 (1)(1)1()m24mm9 , 解得 m3 或 m3 (舍)41005527、 x2mx12x ,则有2m12、 2m12原式 2241428、22(x1x2) 22x1x2 2(m2) 22256,化简得m28m 20 0,m2或 m10(舍)x1x2m29、 x1 x211x1x2即 ( x1x2 )(11 )0x1x2x1 x2x1x2当 x1x20时, 4m210 ,解得 m1 或 m1 (舍);22当x1x20时,110,x1x2m(m2)1,解得 m或(舍);33 m
21、1x1 x2综上所述, m1 或 m32x1x2b3x222b9a()230、不妨设 x12x2 ,则有,1得,即 2b9acx1 x2c2(2)ac2a2x231、方法一:- 得:(2m2)x200,即 mxx 10代入中得: x2x60 ,解得 x13、 x22当 x3时, m13,方程 的解为3、4;方程 的解为16,符合题意;333、3当 x2时, m4,方程 的解为2、2 ;方程 的解为2、 8,符合题意;综上所述,当 m13 时相同根为3 ; 当 m4时相同根为2;3方法二:- 得:(2m2)x200,即x101m代入中得:10210m40 ,化简为3m2m520 ,解得 m13或 m4(1m)21m3当 m13 时由 ,相同根为3 ; 当 m4时相同根为2;332、-得: () x(22 )0 ,由题意得,所以 xb2cb代入 中化简得: 2()20,即 20, 2b2ac abaaa33、 p1, q334、 m7, n5435、 7t24t20 ,两
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