《8.3简单几何体的表面积与体积》获奖说课导学案

1、第2课时球的表面积和体积谡程标准:逋过对球诙的研究.了解球的表面税及体积公式.教学童点：球的表面枳、惇枳公式及其置用.教学难点；与球有关的匚何位的表直和配体积的土算.核心概念掌握知识导学知识点球的表面积和体积1 .球的表面积如果球的半径为R,那么它的表面积S=014TR22 .球的体积如果球的半径为R,那么它的体积V=0247R33口评价自利1 .判一判(正确的打,错误的打“X”)(1)决定球的大小的因素是球的半径.()(2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径.()(3)球的体积V与球的表面积S的关系为V= RS.()3答案(1)，(2)，2 .做一做(1)若球的过球心的圆面圆周长

2、是 c,则这个球白表面积是()c2c2C22A.石B.2； C' D-2必(2)表面积为4冗的球的半径是.直径为2的球的体积是.4 兀 ,(4)已知一个球的体积为不，则此球的表面积为.3答案(1)C (2)1 43t (4)4 九核心素养彩成题型一球的表面积与体积例1 (1)已知球的直径为6 cm,求它的表面积和体积；(2)已知球的表面积为64冗，求它的体积；500 P (3)已知球的体积为 不一，求它的表面积.3解(1) :球的直径为6 cm, 球的半径R=3 cm.球的表面积S球=4 R2= 36几(cm球的体积v球=.病3=36冗(cm， 3(2) .S球=4/ = 64彳.-.

3、R2=16,即 R=4.一 4 7 4、一3 256 几V 球=.tR =3 ttX 4 =-. 333-4 r3 500 兀f3 r(3) V球=atR3=, .R3=125, R=5. 33金版点睛. S球=4 R2=100 兀.求球的体积与表面积的方法(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径 R,然后代入体积或表面积公式求解.(2)半径和球心是球的关键要素，把握住这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.两个球的半径相差1,表面积之差为28 %则它们的体积和为; 已知球的大圆周长为16冗cm求这个球的表面积.答案33" (2)见解析解析(1)

4、设大、小两球半径分别为 R, r,则由题意可得Rr = 1,R=4,4 tR2 4 f2= 28 g r=3.643 3-3力4一3+ 3小4一3它们的体积和为设球的半径为R cm,由题意可知2声=16冗，解得R=8, 则 S球=4 #=256 兀(cm题型二球的截面问题例2 平面截球。的球面所得圆的半径为1,球心O到平面a的距离为”, 则此球的体积为（）A.乖兀 B. 4437t C. 4、/6 兀 D.6/3 九解析利用截面圆的性质先求得球的半径长.如图，设截面圆的圆心为 O' , M为截面圆上任一点，则 OO'=隹 O' M = 1,.om= Y啦2+i =<

5、;3,即球的半径为V3, ；V= 3 兀x (V3)3= 4y3 兀.答案B球的截面的性质（1）球的轴截面（过球心的截面）是将球的问题（立体几何问题）转化为平面问题 （圆的问题）的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并 充分利用它来分析解决问题.（2）用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图，球的截面有以下性质：球心和截面圆圆心的连线垂直于截面；球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足关系d=R2r2.(1)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器， 容器高8 cm,将一个球 放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,若不计容器厚度，则球的

6、体积为()A.矍 cm3866 7r 331372 7t 3C. -3- cm2048 7r 33球的表面积为 400冗，一个截面白面积为 64九，则球心到截面的距离为答案(1)A (2)6解析 (1)如图，作出球的一个截面，则MC = 8 6 = 2(cm), BM = 2aB = ：X8= 4(cm).设球的半径为 R cm,则 R2 = OM2 +MB2= (R2)2 + 42,. R= 5,(cm).V 球=，53=530 冗(2)如图，由已知条件知球的半径 R= 10,截面圆的半径r = 8,球心到截面的距离卜=7隹一产=6.题型三球的组合体问题例3设长方体的长、宽、高分别为 2a,

7、 a, a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A. 3旧2 B. 6旧2 C. 12旧2 D. 24旧2解析作出图形的轴截面如图所示，点 。即为该球的球心，线段 AB即为长方体底面的对角线，长度为a2+ 2a2= J5a,线段BC即为长方体的高，长度 为a,线段AC即为长方体的体对角线，长度为 7才+乖a 2 =V6a,则球的半径R=AC=16a,所以球的表面积答案B条件探究将本例中长方体改为棱长为 a的正四面体，则球的表面积如何求？解 如图，过A作底面BCD的垂线，垂足为E,则E为9CD的中心，连接BE.棱长为a, .BE=ax3 = W3a.2 a26在RtABE 中，AE=Ja2

8、§= 3 a.设球心为O,半径为R,则(AER)2+BE2=R2,.6 R= 4 a,- S球=4启乎a 2=2必2金版点睛1.正方体的内切球a球与正万体的K个面都相切，称球为正万体的内切球，此时球的半径为ri=1 过在一个平面上的四个切点作截面如图（1）.2 .长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知,长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a, b, c,过球心作长方体的对角线，则球的半径为+ b2 + c2,如图(2).3 .正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球的半径6R的关系为：2R= a.跟探训练21设三棱柱

9、的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A.者 B.7Tia2 C.g g2 D. 5旧2 33答案 B解析 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，。为球心，易知AP = 2x33a=33a, OP=1a, 3232所以球白半径R=OA满足R2= Wa 2+ Qa 2 = %a2,故S球=4长2=鼻阳2. 31123p随堂水平达标1 .将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为 （）A 4九答案di4- 3是 积 体 其解析 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方

10、体的棱长是相等的，故可得球的直径为2,所以球的半径为X TtX 13=¥32 .正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为（）A.815 B. 16 兀 C. 9 兀 D.27-544答案 A解析 如图，设球心为O,半径为r,则在Rt*OE中，（4r）2+N2）2 = r2,_9 29 2 81 兀解得r=4，该球的表面积为47r=4启4 =4.3.三个球的半径之比为1 ： 2 ： 3,那么最大球的表面积是其余两个球的表面 积之和的（）A. 1倍 B. 2倍 C.9倍 D.4倍答案 C解析设最小球的半径为r,则另外两个球的半径分别为2r,3r,其表面积分别为4觉2,16，,36作2,故最大球是其余两个球的表面积之和的36 /9 -4/+ 16 15 0,答案32几34 . 一个距离球心为小的平面截球所得的圆面面积为冗，则球的体积为解析设所得的圆面的半径为r,球的半径为R,又 r2+($)2 = R2, . R=2.一 4-3 32 冗.V = 3 卡=3 .5 .有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径 为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水 的深度.解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面.根据切线的