人教A版高中数学必修1第一章集合与函数概念1.1集合导学案

1、设A是有限集，A中元素的个数称为集合A的元素数，记为At特别，|=0,| |二1A J B子集和元素的区别 符号包含属于A=B当且仅当AQB且BJA。(用于证明)是否存在集合A和B,使得A三B且AGB ?若存在，请举一例设八二包 , B=a,a,b,c,则有：AwB 且 A£B再例如：翘且宜内设A是集合，A的所有子集为元素做成的集合称为 A的富集，记以P(A)或2A。12A | =2n：'(A)=S|S - A例：A=a,b,c,则：(A户 , a,b,c, a,b,a,c,b,c, a,b,c事集合仍然是集合。例.写出集合a, b的嘉集合：正确的写法：(A户 ,a,b,a,

2、b错误的写法：'(A)= ,a,b,a,b集合A 一共有Cn0 + Cn1 + Cnn个子集设C是一个集合。若C的元素都是集合，则称C为集合族。若集合族C可表示为C=SddD,则称D为集合族C的标志(索引)集。设A, B是两个集合。由属于集合 A而不属于集合B的所有元素组成的集合，称为 A 与B的差集，记以A-B ,或AB。设A, B是两个集合。则 A与B的环和(对称差，记以AB,定义为 AB=(A- B) U (BA) A与B的对称差还有一个等价的定义，即A©B=(AU B>(A PB)。设A, B是两个集合，则 A与B的环积定义为 A ® B = A份B1

3、.分配律 An (B u c)=(a n B) u (A n C),AU (B n C)=(A U B) n (A U C)。证明：An (B u c)=(a n B) u (A n C)先证 An (B UC) (APB) U (AHO) 任取 a CAP (B U C),则a S并且a C BUG由 aC BU 知，aCB 或 aC C。若 ae,则 a SPB;若 aW,则 asnc。因此，a 8 nB 或 aSPC,即 a qA PB) U(A PC) o再证(APB) U (A DXA 门(B UC)。任取 a (A n B) U (A n C),则 a C AH B或 a C AH

4、 C。若 a C AH B,则a C A 且 a C B ;若 a C AH C,则a C A 且 a C C。总之，aCA,且aCB或aCC,即 aCA且 aC BUC,亦即 aC AH (B U C) o综上：(A n B) n (A n C)=An (b u c)。将(ai,a2，an)称为有序n元组，其中，ai是其第一个元素，a2是其第二个素，an是其第n个元素对于有序n元组，当n=2时，将其称作有序对，也称作序偶，或有序二元组设A, B是两个集合，所有有序对(x, y)做成的集合(其中x三A, yEB),称为A, B 的笛卡儿积(直乘积)，记以AMB。不满足交换律和结合律AxB=(x

5、 , y)XAH yB0方法1利用定义来证明集合的包含关系 要证明A三B,首先任取xwA,再演绎地证出xwB成立。特别，当A是无限集时，因为不能对x WA,逐一地证明xwB成立，所以证明时“黑任取的”就特别重要。方?t 2设法找到一个集合 T,满足A=T且T=B,由包含关系的传递性有 A<=B.方法3利用A三B的等价定义，即AB=B,Acb=A或A-B=e来证.例.证明A匚C且BQC当且仅当A=B1C.证明:必要性.（A 一 B） 一 C=（A 一 B） 一 C 一 C=（A 一 C） 一（B _ C户C _ C=C,所以 A B-C.充分性.A 3c =（A，jC）uB=（A <

6、jB）.C=C , C三A=C ,所以 AlC=C ,故 ACC.同理可证B工C.方法5反证法例.证明若AC用C且A-C±B-C ,则AB.证明：若不然，则有 xA且x正B.若xWC ,则x三ACC但x更BC,与ACQBCC矛盾；若xmC,则x三AC但x三B-C ,与A-C2B-C矛盾。因此，A B.证明集合相等的常用方法方法1若A, B是有限集，证明 A=B可通过逐一比较两集合所有元素均一一 对应相等，若A, B是无限集，通过证明集合包含关系的方法证A三B, B三A即可。方法2反证法方法3利用集合的基本算律以及已证明的集合等式，通过相等变换将待证明的 等式左（右）边的集合化到右（左）边的集合，或者两边同时相等变换到同一 集合。例设A, B, C是三个集合，已知 AcB=AcC, A=B=AuC,求证 B=C。用方法2 :使用反证法。假设Bw C,则必存在x,满足x w B,且x走C,或者x更B,且x w C。不妨设x w B ,且x更C,若x w A,则x w AcB,但x圭AcC ,与AcB=AcC矛盾。若x更A,则x w A=B,但x更A=C,与A，jB=AlC矛盾。所以原假设不对，B=Co用方法3:利用已知以及集合运