人教A版高中数学必修4第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换教案(3)

1、 3.2简单的三角恒等变换【学习目标】1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.预可新知夯实基础问题导学知识点一半角公式思考1我们知道二倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用2 a替换a ,结果怎样？答案 结果是 cos a = 2cos2-2-1 = 1 - 2sin 2_2- = cos2- sin 2-2.思考根据上述结果，试用sin a , cos a 表7K sin -,cos y, t

2、an .答案2 a 1 + cos acos =1 + cos a cos= 22，同理1 cos a2, , tan 2 =cos -sin -2= 土一. asin a21 cos a=1 + cos a思考3利用tan a民、，I 一tan -2与 sin a , cos a 怎样的关系?asina万一一 ”sin 2- 2cosa2sin atan一一2aaa1 + cos acoscos 二- 2cos222空上和二倍角公式又能得到 cos a答案asin a2sin 万 2sin 了 1-cosa2aoea sin acos - cos , 2sin -sin彳=1 cos a/2

3、梳理sin asin a1 + cos a知识点二辅助角公式思考1 asin x+ bcosx化简的步骤有哪些?答案(1)提常数，提出，齐后得到22ab7Tb ijosin x+?acosx(2)定角度，确定一个角 0满足： cos 0 = / 2 y sin 9 = j 2 2acb或sin 0 = f 22, cos 0 = 2 22 .般0为特殊角号，手等j则得到 、a2+ b2(cos 0 sin x+sin 0 cosx)(或/a2+ b2(sin 0 sin x+ cos 0 cos x).(3)化简、逆用公式得 asin x+ bcosx=a2+ b2sin( x+ 0 )(或

4、asin x+ bcosx=a2+ b2cos( x-9 ) .思考2在上述化简过程中，如何确定 0所在的象限？答案。所在的象限由a和b的符号确定.梳理辅助角公式：asin x+ bcosx = a2+ b2sin( x+ 0). 其中 tan 0 =思考辨析判断正误,贝U tans sin21 + cosa 1 cos a 一/=一：恒成立.(V )a sin a/2.若函数 f (x) =Asin(w x+()1) , g(x) = Asin( 3 x+ j 2)(其中 A0, A0, 30),则 h(x)=f (x) + g(x)的周期与f(x)和 g(x)的一致.(V )3.辅助角公式

5、asin x+ bcosx =a2+ b2sin( x+ j ),其中j所在的象限由a, b的符号决定,()与点(a, b)同象限.(V )4. sinx十3cosx=2sin , + 6j(x )提示 sin x+ -J3cosx = 2 12sin x +乎cosx)= 2sin启迪思维探究重点题型探究类型一应用半角公式求值八45兀八c9-0已知 sin 0 =5, -2- 0 3兀，求 cos-2和 tan .考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值解sin0 3ti , cos 0 = 41 sin 2 935.由 cos 0 = 2cos 22- 1,得01 + c

6、os 015.4- vyvV，cosT=0 sin 0tan 5=1 + cos 0 =2.反思与感悟利用半角公式求值的思路则求解时常常借助半角公(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,式求解.(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围.(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用s sin a 1 cos atan -=21 + coss sin a,其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正弦、余弦值时，常先利用sin2-y1 cos a2 a 1 + cos a cos -=计算.(4)下结论:结

7、合(2)求值.跟踪训练1已知sin 0 = I, 3兀。572兀,则tan 2-的值为(-1A. 3B. 3C-D).3考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值答案 Bsin 0-=3.1 + cos 0解析.3 兀 。0, cos ? TTTT _ 一5 兀-有 2x = 2ktt + (kCZ), 即 x=kit+ r ( k C Z), 3212，所求x的集合为/x= kn+需，kCZ :.反思与感悟(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.(2)解此类题时要充分运用两角和 (差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除

8、差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障.x i, g(x) =sin2 x-4.跟踪训练4 已知函数f (x) = cos 3- + x ! - cos J-3- (1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数h(x) = f (x) g(x)的最大值，并求使 h(x)取得最大值时x的集合.考点 简单的三角恒等变换的综合应用 题点辅助角公式与三角函数的综合应用 13斛 (1) f (x) = cosx - 2 sin x j=1cos2x 3sin 2x441 + cos2x 3 cos2x =J881-1=-cos2x -2 4，口， EEr ,2 兀. f (x)的最小正

9、周期为 T= -= Tt .1-1一(2) h(x) = f (x) g( x) = 2cos2 x 2sin2 x匪 In 17t=2 cos ?x+了 b当 2x+4= 2k % ( k Z),即 x = k 兀-8( kC Z)时，h(x)有最大值.此时x的集合为c,x x=k % -8-, kCZ :.达标检测 检测评桁达标过关11 .右 cos a =-, a (0 ,兀)，贝U cos万的值为()考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值答案 A解析由题意知 2-C Jo, -2- i；cos-y0, cos-y = y1iosZ = W6.2 .已知2兀。4兀，

10、且sin 0 = f, cos 0 0,则tan g的值等于（）52A. 3B 3c 1D.1 3 3考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值答案 A解析由题意知0为第三象限角，cos 0 =.941=1 25551. sin A+ sin 0= 2sinBcrn, 0 sin 0所以 tan =21 + cos35，-=-3.故选A.4、 41一5八在 2sin2 a3化简订后2象的结果为()A. tan a B. tan2 a C. 1D. 2考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值 答案 B解析原式=2sin2 a2-2cos a2cos aCOS

11、2 a=tan2 a .4.函数 f (x) =sin xcosx, xC |0,的取小值为 考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用辅助角公式化简求值答案 1解析 f (x) = *sin (一A，xe |0, 2 1.1. f (x)min= -sin 1 - -41.2c- 一5.已知在 ABO43, sin A cos 2 +sin C , cos2A 3 .2=sin B,求证：sin A+ sin O= 2sin B考点三角恒等式的证明题点三角恒等式的证明证明,2O2A 3由 sin A- cos 2 +sin 0。cos 2= 2sinB,得sinA 1 + cos 0. o

12、1 + cos A 3 .22-2sinB,即 sin A+ sin0+ sin A- cosO+ sin 0 - cosA= 3sin B,- sinA+ sin- sinA+ sin即 sin A+ sinO sin( M 0) = 3sin B,0+ sin(兀一E) = 3sin B, 0+ sinB= 3sin B,规律与方法1 .学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助 前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式.2 .辅助角公式asin x+ bcosx = a2+ b2sin（ x+（）,其中e满足：e与点（

13、a, b）同象限;bbtan 4 =- 或sin e = , 2 ,2 aa + b3 .研究形如f （x） = asin x+bcosx的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式.因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一.对一些特殊的系数a,b应熟练掌握,例如 sinxcosx= sin x，3注王双基强化落实课时对点赛、选择题,.r11.已知cos,2兀i,则sin尹于（）考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值答案解析u 红 2 .上 rLy.2，2兀2；4sin1 cos a/T02=52.已知180 a

14、 360 ,贝Ucosa_2的值等于（）A.C.考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值答案 C1J30./l-cos50 i，4 .设 a=2cos6 一 勺sin6, b=2sin13 cos13 , c=、/2,贝U有()A. cbaB. abcC. acbD. bca考点简单的三角恒等变换的综合应用题点简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用答案 C解析 a=sin30 cos6 cos30 sin6 = sin(30 6 ) = sin24 , b=2sin13 cos13 = sin26 , c=sin25 ,y=sinx在0 , 90 上是单调递增的，acb.4

15、 . （2017 安徽芜湖高一期末考试 ）已知等腰三角形的顶角的余弦值为7-,则它的底角的余弦25值为（）A.4B.1峥.5考点简单的三角恒等变换的综合应用题点三角恒等变换与三角形的综合应用答案 B解析 设等腰三角形的顶角为a ,底角为3 ,则cos =77；2-,所以 cos 3 = cos5 .在 ABC43,若 sin Asin B= cos?则 ABB ()B.等腰三角形D.直角三角形A.等边三角形C.不等边三角形考点简单的三角恒等变换的综合应用题点三角恒等变换与三角形的综合应用答案 B1.解析 sin Asin B= 2（1 + cosC）,即 2sin Asin B= 1 + co

16、sC,2sin Asin B= 1 cosAcosB+ sin Asin B,故得 cos（ A- E） = 1,又.A Be （兀，兀）， -A- B= 0,即A= B,则 ABC等腰三角形. mv 34-2mr7t 八 、0 号一6.已知 sin 0 = m, cos 0 = 班 5 殳 9兀 j,则 tan 2等于（）A. -1B. 53C. 5 或1D. 1或 533考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值答案 B解析由 sin2。+ cos2。= 1,得 累 j + Jmmm1=1,一,1，、一一，一. 一.，兀斛得m=。或8,当m=。时，sin 0 0,不符合 了

17、 0 兀.m= 0 舍去，故 m= 8,sin 9 =-5, cos 9 = - 11, 1313121 + 01 cos 013tan 万=sin 0=57=5.137.如果 |cos 0 | = -, 5- 0 3 % ,则 sin g-的值是（）522A BC 5 B. 5 C,5 D. 5考点简单的三角恒等变换的综合应用题点辅助角公式与三角函数的综合应用答案 C解析:竺 0 3 % , |cos 0 | =1,25cos 0 0, cos 0 = ；r. 5 /23 兀，, sin -20. sin 221 cos 035. .sin上一亚 25二、填空题8.已知a-1 兀i . -1

18、rr .00, i,sin2a = 2,则 sin考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点综合运用三角恒等变换公式化简求值答案解析因为 1 2sin 2a +了 尸 cos 2 a + 万 I- sin2所以一.2 sin因为I, 兀 i ?，T)所以所以3,则 cos2 -6-2考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用降哥公式化简求值答案解析因为cos Aa f= sin=sin 3.所以1 + cos 5- a J2 二21+3 5 =二.26”r . r .4 m兀 -10.已知 sin 9+3 1+ sin a = 5, a 0,则 cos a考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点综

19、合运用三角恒等变换公式化简求值答案33-4 10,Frl,一 心 ,日兀兀解析 由已知得 sin a cos+ cos a sin + sin a11. sin 220 +sin80 - sin40 的值为 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点综合运用三角恒等变换公式化简求值答案34解析 原式=sin 220 +sin(60 +20 ) - sin(60 -20 )=sin 220 + (sin60 cos20 +cos60 sin20 ) (sin60 cos20 cos60 sin20 )= sin 220 + sin 260 cos 220 - cos260 sin 220=sin

20、220 十 |cos220 ；sin 22044=|sin 220 + ；cos220。=；444三、解答题3x , x 2sin x12. 求证：tan tan 万=cosx cos2x.考点三角恒等式的证明题点三角恒等式的证明证明左边=tan3x tan2x-2 X- 2n s访 os c场 21X-2sin3x x 3x x ycos 2-cos ysin 23xxsin 万一23xcos -cosX- 2cos 赵cos x 22sin x2sin x3x xcos cos 2 cosx3x x2+cos 万一22sin xcos x+ cos 2 x=右边.原等式得证.7兀八13.已知 cos2 0 = , k 0 % ,25 2求tan 0的值;2cos2-2-+ sin 0(2)求2sin的值.考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点综合运用三角恒等变换公式化简求值(1)因为 cos2 07cos2 0 - sin 2 0725cos2