二次函数在实际生活中的应用

1、二次函数在实际生活中的应用【经典母题】某超市销售一种饮料，每瓶进价为 9元，经市场调查表明，当售价在10元到 14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加元，日均销量减少40瓶； 当售价为每瓶12元时，日均销量为400瓶.问销售价格定为每瓶多少元时， 所得日均毛利润(每瓶毛利润=每瓶售价-每瓶进价)最大？最大日均毛利润 为多少元？解：设售价为每瓶x元时，日均毛利润为y元，由题意，得日均销售量为400 40( x12)+ = 1 360 80x,y = (x9)(1 360 -80x)2 ,、=80x +2 080 x12 240(10 <x<14).b 2 0802a= 2

2、X (80) = 13,V10<13< 14, .当 x=13 时,y 取最大值,y 最大=80X 132+ 2 080 X13 12 240 = 1 280(元).答：售价定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1 280元.【思想方法】本题是一道复杂的市场营销问题，在建立函数关系式时，应注 意自变量的取值范围，在这个取值范围内,需了解函数的性质(最大最小值,变化情况，对称性，特殊点等)和图象，然后依据这些性质作出结论.【中考变形】1. 2017 锦州某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进 价提高50%勺价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在

3、不低于原售价 的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减 少.销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图Z8-1所示.(1)图中点P所表示的实际意义是当售价定为35元/件时、销售量为300件;销售单价每提高1元时，销售量相应减少20件；(2)请直接写出y与x之间的函数表达式：y = 20x图Z8_ 1+ 1 000;自变量x的取值范围为 30& x&50 ;(3)第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？解：(1)图中点P所表示的实际意义是：当售价定为35元/件时，销售量为300 件；第一个月的该商品的售价为20X(1 +50%)=

4、30(元)，销售单价每提高1元时， 销售量相应减少数量为(400 300) + (35 30) = 20(件).(2)设y与x之间的函数表达式为y = kx + b,将点(30 , 400), (35 , 300)代入，400=30k+b,k= 20,得解得300=35k+b,b= 1 000 ,；y与x之间的函数表达式为y= 20x+ 1 000.当 y=0 时，x = 50,自变量x的取值范围为30<x<50.(3)设第二个月的利润为W阮，由已知得 W (x 20)y = (x20)( 20x+1 000) = 20x2+1 400x-20 000 2=20(x35) +4 5

5、00,v-20<0, .当 x = 35 时，W<最大值 4 500.答：第二个月的销售单价定为35元时，可获得最大利润，最大利润是 4 500 元.2. 2016 宁波一模大学生自主创业，集资5万元开品牌专卖店，已知该品牌 商品成本为每件a元，市场调查发现日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间 存在一次函数关系，如下表所示：销售价x(元/件)110115120125130销售量y(件)5045403530若该店某天的销售价定为110元/件，雇有3名员工，则当天正好收支平衡(即 支出=商品成本+员工工资+应支付的其他费用 ).已知员工的工资为每人每 天100元，每天还应支付其他费

6、用200元(不包括集资款). 求日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系式；(2)该店现有2名员工，试求每件服装的销售价定为多少元时，该服装店每天 的毛利润最大(毛利润=销售收入一商品成本一员工工资一应支付的其他费 用)；(3)在(2)的条件下，若每天毛利润全部积累用于一次性还款，而集资款每天应按其万分之二的利率支付利息，则该店最少需要多少大(取整数)才能还清集资款？解：(1)由表可知，y是关于x的一次函数，设y = kx + b,将 x=110, y = 50; x=115, y=45分别代入，110k+b=50, . /口 k= 1, ,一 解得一115k+b=45,b= 160

7、, .y= x+160(0<x0160);(2)由已知可得 50X 110= 50a+3X100+ 200,解得a= 100.设每天的毛利润为 W元，贝U W (x-100)( -x+160)-2X100- 2002=x +260x 16 400=(x130)2+500,当x=130时，W取最大值500.答：每件服装的销售价定为130元时，该服装店每天的毛利润最大，最大毛禾I润为500元；(3)设需t天才能还清集资款，Wj500t50 000+ 2X50 000t ,2解得嗨. t为整数，一. t的最小值为103天.答：该店最少需要103天才能还清集资款.3. 2017 青岛青岛市某大酒

8、店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每、，一 ，1一、一 间价格比淡季上涨-.下表是去年该酒店豪华问某两天的相关记录:3淡季旺季未入住房间数100日总收入(元)24 00040 000(1)该酒店豪华间有多少问？旺季每间价格为多少元?(2)今年旺季来临，豪华间的问数不变，经市场调查发现，如果豪华间仍旧实 行去年旺季的价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元, 每天未入住房间数增加1间.不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨 多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？(注：上涨价格需为25的倍数)解：(1)设淡季每间的价格为x元，依题意得400001x 1 +

9、-324 000+ 10,解得 x = 600,40 00040 000酒店蒙华向有 1=1 = 50（向），x 1 + -600 X 1 + -331 1 旺季每I可价格为x+.x = 600+600= 800（兀）.33答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元； 设该酒店豪华间的价格上涨x元，日总收入为y元,y = (800+x) 50-25 = 25(x225)2 + 42 025,当x = 225时，y取最大值42 025.答：该酒店将豪华间的价格上涨 225元时，豪华间的日总收入最高，最高日 总收入是42 025元.4.某公司经营杨梅业务，以3万元/t的价格向农户收购杨梅后，

10、分拣成A, B两类，A类杨梅包装后直接销售，B类杨梅深加工再销售.A类杨梅的包装成 本为1万元/t ,根据市场调查，它的平均销售价格y(万元/t)与销售数量x(x>2)( t)之间的函数关系式如图Z8-2, B类杨梅深加工总费用s(单位： 万元)与加工数量t (单位：t)之间的函数关系是s=12 + 3t,平均销售价格为 9万元/t.图 Z8- 2(1)直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；(2)第一次该公司收购了 20 t杨梅，其中A类杨梅x t ,经营这批杨梅所获 得的毛利润为 W元(毛利润=销售总收入一经营总成本).求W氏于x的函数关系式；若该公司获得了 30万

11、元毛利润，问：用于直接销售的 A类杨梅有多少吨？ (3)第二次该公司准备投人132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得 最大毛利润，并求出最大毛利润.-x+14 (2<x<8), 解：(i) y=小 / c、6 (x>8)；销售A类杨梅x t ,则销售B类杨梅(20x)t.当20x<8时,W x(-x+ 14)+ 9(20 -x) -3X20- x 12 + 3(20 x) = x2 + 7x + 48,当 x8 时，W 6x+9(20-x) -3X20- x 12 + 3(20 x) = x+48,2一 ，一一、函数表达式为-x + 7x + 48 (2<x

12、<8), W-x + 48 (x>8);当 20x<8 时，一x2 + 7x+48=30,解得 x1 = 9, x?= 2,均不合题意，当 x>8 时，x + 48 = 30,解得 x= 18.答：当毛利润达到30万元时，直接销售的A类杨梅有18 t ;设该公司用132万元共购买mt杨梅，其中A类杨梅为x t , B类杨梅为(m-x)t ,购买费用为3m万元.由题意，得 3mx+12 + 3(m-x) =132,化简，得3m= x + 60.当 20x<8 时，Wx( -x+14) +9(m-x) -132,把 3m= x+60代入，得 W-(x-4)2 + 64

13、,当x=4时，有最大毛利润64万元.此时,6452m= -3-, m-x = -3;当 x>8 时，W6x + 9(m-x) 132,由 3m= x + 60,得 W 48,当 x>8 时, 毛利润总为48万元.答：综上所述，购买杨梅共64 t ,且其中直销A类杨梅4 t , B类杨梅52 t ,33公司能获得最大毛利润64万元.【中考预测】某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件.(1)写出月销售利润y(元)与售价x(元/件)之间的函数关系式；(2)当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润；(3)衬衣店想在月销售量不少于 300件的情况下，使月销售利润达到 10 000 元，销售价应定为多少？(4)当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润.解：(1)由题意可得月销售利润y与售价之间的函数关系式为 _2 y = (x30)600 -10(x-40) = 10x +1 300x-30 000;(2)当 x=45 时，600 10(x 40) =550(件)，y= 10X452+1 300 X45 30 000=8 250(元)；(3)令y=10 000,