直线与平面所成的角与二面角

1、直线与平面所成的角与二面角第一课时平面的斜线和平面所成的角教学目标：知识目标：1、斜线在平面上的射影2、斜线和平面所成的角3、公式cos=cos1cos24、最小角定理能力目标：1、掌握斜线在平面上的射影的概念、斜线与平面所成角的概念2、掌握公式cos=cos1cos2，会用这个公式解决一些问题教学重点： 斜线在平面上的射影的概念、斜线与平面所成角的概念教学难点：公式cos=cos1cos2的灵活运用教学过程：情境设置发射炮弹时，当炮筒和地面所成的角为多少度时，才能准确地命中目标，也即射程最远？铅球运动员在投掷时，以多大的角度，投出的距离最远？这都与我们今天学习的直线和平面所成的角有关。探索研

2、究1、公式cos=cos1cos2已知AO是平面的斜线，A是斜足，OB垂直于，B为垂足，则直线AB是斜线OA在内的射影，设AC是内的任一条直线，且BCAC于C，又设AO与AB所成的角为1，AB与AC所成的角为2，AO与AC所成的角为，则cos=cos1cos2。证：不妨设AO为单位长，则说明：当为平面内与AC平行的直线与异面直线OA所成的角时，公式cos=cos1cos2仍成立。2、最小角定理平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中的最小角。在公式cos=cos1cos2中，由于0cos21，所以coscos1，从而1（ycosx在0,上是减函数）3、直

3、线和平面所成的角定义：一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）。规定：如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或在平面内，那么就说直线和平面所成的角是0°的角。说明：斜线和平面所成的角的定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的锐角。斜线和平面所成角的范围是(0,/2)；直线和平面所成角的范围是0,/2；两条异面直线所成角的范围是(0,/2，三者不同，要注意区分。求斜线和平面所成的角一般步骤是：作：作（或找）出斜线在平面上的射影，将空间角（斜线和平面所成的角）转化为平面角

4、（两条相交直线所成的锐角），作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足（有时可以是两垂足）作直线，注：斜线上点的选取以及斜足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算。证：证明某平面角就是斜线与平面所成的角。算：通常在垂线段、斜线段和射影所组成的直角三角形中计算。反思应用例1在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别在B1C1和CC1上，且EC11/3，FC1，求异面直线A1B和EF所成的角。分析：由于A1B是平面BB1C1C的斜线，且BB1是A1B在平面BC1上的射影，而EF在平面BC1内，故求A1B与EF所成角的余弦值可以考虑公式cos=cos1cos2求解。解：在RtE

5、FC1中，EC11/3，FC1，tanC1FE=,C1FE30°，又A1B在平面BC1上的射影为BB1，且A1B与BB1所成的角为45°，设A1B与EF所成的角为，则有coscos45°cos30°。异面直线A1B和EF所成的角为。例2如图，已知AB为平面的一条斜线，B为斜足，AO，O为垂足，BC为内的一条直线，ABC60°，OBC45°，求斜线AB和平面所成的角。解：由斜线和平面所成的角的定义知，ABO为AB和所成的角，巩固训练P45练习15例3（创48T7）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为AA1、AB的中点，求EF与平面AA1C1C所成角的大小。分析：求斜线EF与平面AA1C1C所成角，关键是找到EF在平面AA1C1C上的射影。确定直线在平面上射影的方法是找到该直线上的一点在平面内的射影（垂足），再将其与斜足连结起来，即为射影。解：设正方体的棱长为2，过F作FGAC于G，AA1平面ABCD，AA1FG，FG平面AA1C1C，连结EG，则FEG为EF与平面AA1C1C所成的角。连结BD交AC于O，由F是AB的中点得