《勾股定理的应用》(北师大)

1、数学SHUXUE八年级上册勾股定理的应用1教学目标【知识与能力目标】能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题。【过程与方法目标】1. 学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念。2. 在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。【情感态度价值观目标】1. 通过有趣的问题提高学习数学的兴趣。2. 在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学。教学重难点【教学重点】探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题。【教学难点】利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用

2、勾股定理及逆定理，解决实际问题。教学过程I丿1、创设问题情境，引入新课：前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？5米，至少需多长的梯例如：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物子？ 根据题意，（如图）AC是建筑物，则 AC=12米，BC=5米，AB是梯子的长度.所以在RtABC 中，AB 2=AC2+BC2=122+52=132 ； AB =13 米。所以至少需13米长的梯子。2.讲授新课：、蚂蚁怎么走最近|BBrA出示问题：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于 3厘米.在圆行柱的底面 A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的的最

3、短路程是多少？（ n的值取3）.（1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从 A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉 得哪条路线最短呢？（小组讨论）（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B点的最短路线是什么？你画对了吗？（3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（学生分组讨论，公布结果）我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA '将圆柱的侧面展开（如下图）。我们不难发现，刚才几位同学的走法： A t AB ; （2） A t BB; At dtb ；（4） A > B.哪条路线是最短呢？你画对了吗？第（4）条路

4、线最短.因为“两点之间的连线中线段最短” 、做一做：教材 14页。李叔叔随身只带卷尺检测 AD , BC是否与底边AB垂直，也就是 要检测 / DAB =90°,/ CBA=90° .连结BD或AC ,也就是要检测 DAB和厶CBA是否 为直角三角形很显然，这是一个需用勾股定理的逆定理来解决的实际问题 、随堂练习3、出示投影片1. 甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险某日早晨8： 00甲先出发，他以6千米/时的速度向 东行走.1时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进上午10 : 00,甲、乙两人相距多远？2. 如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一

5、小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长？1. 分析：首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型。解:（如图）根据题意，可知A是甲、乙的出发点，米）;乙到达C点，贝U AC=1X 5=5（千米）.在 Rt ABC 中，BC2=AC 2+AB2 =52+122=169=132,10 : 00时甲到达所以BC=13千米.即甲、乙两人相距 13千米。2. 分析：从题意可知，没有告诉铁棒是如何插入油桶中，因而铁棒的长是一个取值范围而不是固定的长度，所以铁棒最长时，是插入至底部的A点处，铁棒最短时是垂直于底面时解：设伸入油桶中的长度为x米，则应求最长时和最短时的值。

6、（1）x2=1.5 2+22，x2=6.25，x=2.5所以最长是2.5+0.5=3（米）。 x=1.5，最短是 1.5+0.5=2（米）。答：这根铁棒的长应在 23米之间（包含2米、3米）。3. 试一试在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？我们可以将这个实际问题转化成数学模型解：如图，设水深为 x尺，则芦苇长为（x+1）尺，由勾股定理可求得2 2 2 2 2（x+1） =x +5，

7、x+2x+1=x +25解得x=12则水池的深度为12尺，芦苇长13尺。4、课时小结这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的几个实际问题我们从中可以发现用数学知识解决这些实际问题，更为重要的是将它们转化成数学模型5、课后作业习题14 1、2题教学反思J/这节的内容综合性比较强，可能有些同学掌握的不是太好。勾股定理的应用2'教学目标【知识与能力目标】能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际题。【过程与方法目标】学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念；在将实际问题抽象成几 何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想

8、。【情感态度价值观目标】通过有趣的问题提高学习数学的兴趣；在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用 性，体现人人都学有用的数学。r教学重难点【教学重点】探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆定理，并用它们解决生活实际问题。【教学难点】利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题。f课前准备纸板做的圆柱。教学过程LjAAA '将圆柱的侧一、蚂蚁怎样走最近：（勾股定理的应用）如图所示，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于 3厘米。在圆柱下底面的 A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？ （:的值取3）（1）在

9、自己做好的圆柱上尝试从 A点到B点沿着圆柱侧面画出几条路 线，你觉得哪条路线最短呢？（学生可能会有多种答案，可适当给学生一些讨论、交流想法的时间。） 师：我们知道，圆柱的侧面展开图是一个长方形。现在我们就用剪刀沿着 面展开。（2）如图所示，将圆柱的侧面展开成一个长方形，从A点到B点的最短路径是什么？你画用心用情服务教育A 'B对了吗？（连接两点的所有连线中线段最短）（3）蚂蚁从A点出发，想吃到 B点上的食物，它需要爬行的最短路程是多少？在Rt AA ' B中已知AA ' =12厘米，A ' B '=二r=3X 3=9厘米。根据勾股定理可得：AB2=AA

10、' 2+A ' B ' 2=122+ 92=225,所以AB =15厘米。即蚂蚁爬行的最短距离为15厘米。思维过程：转化转化立体图形& 平面图形.直角三角形问题二、做一做：（勾股定理逆定理的应用）李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边 AB，但他随身只带了卷尺。（1）你能替他想办法完成任务吗？（2）李叔叔量得 AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米。AD边垂直于 AB边吗？（3）小明随身只有一个长度为 20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于 AB边吗？ BC边与AB边呢？（当刻度尺较短时， 学生可能会在上面解决问题的

11、基础上，想出多种办法，如利用分段相加的方法量出AB , AD和BD的长度，或在 AB , AD边上各量一段较小长度，如：在 AB边2 2 2 2 2上量一小段 AE =6厘米，在 AD边上量一小段 AF=8厘米，而=AE +AF =8 +6=10这时只要量一下EF是否等于10厘米即可，从而得到结论。）三、随堂练习1. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险。某日早晨8： 00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走。1时后乙出发，他以 5千米/时的速度向北行进。上午 10： 00,甲、乙二人相距多 远？北盒cL2. 有一圆柱形油罐，如图所示，要以A点环绕油罐建梯子，正好到 A点的正上方B点，问梯子最短要

12、多少米？（已知油罐周长是12米，高AB是5米）四、试一试（课本 P15）A五、小结:B这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的几个实际问题。我们从中可以发现用数学知识解决这些实际问题，更为重要的是将它们转化成数学模型。六、作业：1. 课本P14习题1.4C偏离欲到达点 B 200米，结果它2. 某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点在水中实际游了 520米，求该河流的宽度。教学反思”略。勾股定理的应用3教学目标(1) 学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念。(2) 经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力。(3) 在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析

13、问题、解决问题的能力及渗透数 学建模的思想。教学重难点【教学重点】探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题。【教学难点】利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题。教学方法L丄引导一探究一归纳本节课的教学对象是初二学生 ，他们的参与意识教强，思维活跃，为了实现本节课的教学 目标，我力求以下三个方面对学生进行引导：(1) 从创设问题情景入手，通过知识再现，孕育教学过程；(2) 从学生活动出发，顺势教学过程；(3) 利用探索研究手段，通过思维深入，领悟教学过程。'课前准备”J教具：教材、电脑、多媒体课件。学具：用矩形纸片做成的圆柱、剪刀

14、、教材、笔记本、课堂练习本、文具。教学过程第一环节：情境引入内容：情景1：多媒体展示：提出问题：从二教楼到综合楼怎样走最近?情景2:如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在 A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？意图：通过情景1复习公理： 两点之间线段最短；情景2的创设引入新课， 激发学生探究热情。从学生熟悉的生活场景引入，提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠定了良好基 础。第二环节：合作探究内容：学生分为4人活动小组， 合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，

15、通过具体计算，总结出最短路线。让学生 发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短 问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法：建立数学模型，构图，计算。意图：通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化 为平面最短距离问题并利用勾股定理求解.在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，操作能力，分析能力，发展空间观念。效果：学生汇总了四种方案：At B的路线长为： AA +d,(4)学生很容易算出：情形（1）中情形（2）中 At B的路线长为：AA' + n（F 2。所以情形（1）的路线比情

16、形（2）要短。AA学生在情形（3）和（4）的比较中出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母线剪开圆柱得到矩形，前三种情形最短可判断（4）最短。如图：At B是折线，而情形（4）是线段，故根据两点之间线段(1)中At B的路线长为：AA+d(2)中At B的路线长为：AA'+A' B>AB(3)中At B的路线长为：AO+OB>AB(4)中At B的路线长为：AB得出结论：利用展开图中两点之间，线段最短解决问题。 在这个环节中，可让学生沿母线剪开圆柱体，具体观察。 接下来后提问：怎样计算 AB ？在Rt AA ' B中，利用勾股定理可得 AB AA 2 A'

17、;B2，若已知圆柱体高为12cm,2 2 2底面半径为 3cm, n取 3,则 AB =12(3 3),. AB=15 。第三环节：做一做AD边是否垂直于内容：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，(1) 你能替他想办法完成任务吗？(2) 李叔叔量得 AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？(3) 小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AB边吗？ BC边与AB边呢？2 2 2 2解答：(2) AD2 AB -30240 -25002BD =2500 AD和AB垂直意图：运用勾股定理逆定理

18、来解决实际问题，让学生学会分析问题， 利用允许的工具灵活处理问题。效果：先鼓励学生自己寻找办法，再让学生说明李叔叔的办法的合理性.当刻度尺较短时，学生可能会在上面解决问题的基础上，想出多种办法，如利用分段相加的方法量出AB，AD和BD的长度，或在 AB，AD边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边， 从而得到结论.第四环节：小试牛刀内容:1甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8: 00甲先出发，他以6km/h的速度向正东行走，1小时后乙出发，他以 5km/h的速度向正北行走.上午10: 00,甲、乙两人相距多远?解答：如图:已知A是甲、乙的出发点，10:00甲到达乙到达C点。

19、贝y :AB =2X 6=12（千米）AC=1X 5=5（千米）来#源：中人教&网在Rt ABC中BC2 二 AC2 AB2=52 122 =169=132 BC=13（千米）即甲乙两人相距13千米2.如图，台阶A处的蚂蚁要爬到 B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离.解答:2 2 2 2.AB =1520 =625 =253.有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5米，问这根铁棒有多长?解答：设伸入油桶中的长度为 X米,则最长时:八i.5'x = 2 .5最长是 2.5+0.5=3（-22最短是

20、1.5+0.5=2（答:这根铁棒的长应在2-3米之间意图:对本节知识进行巩固练习，训练学生根据实际情形画出示意图并计算.效果:学生能独立地画 出示意图，将现实情形转化为数学模型，并求解. 用心用情服务教育第五环节：举一反三内容：1. 如图，在棱长为10厘米的正方体的一个顶点 A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行,已知蚂蚁爬行的速度是 1厘米/秒，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20秒内从A爬到B ？2在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是:有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达

21、岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？解答：设水池的水深 AC为x尺，则这根芦苇长为AD=AB= (x+1)尺，在直角三角形ABC中，BC=5尺由勾股定理得：BC2+AC2=AB2即52+x2= ( x+1)225+ x2= x2+2 x+1,2 x=24, x=12,x+1=13答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺。意图：第1题旨在对“蚂蚁怎样走最近”进行拓展，从圆柱侧面到棱柱侧面，都是将空间问题平面化；第2题，学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应用，了解我国古代人民 的聪明才智；运用方程的思想并利用勾股定理建立方程。效果:学生能画出棱柱的侧面展开图，确定出AB位置，并正确计算.如有可能，还可把正方体换成长方体进行讨论。学生能画出示意图，找等量关系，设适当的未知数建立方程。注意事项：对于普通班级而言，学生完成“小试牛刀”，已经基本完成课堂教学任务。因此本环节可以作为教学中的一个备选环节，共老师们根据学生状况选用。第六环节：交流小结内容：师生相互交流总结：1 解决实际问题的方法是建立数学模型求解。2在寻求最短