石群邱关源电路课件(第8至16单元)白底

第8章

相量法

复数8.1正弦量8.2相量法的基础8.3电路定律的相量形式8.4首页本章重点2.正弦量的相量表示3.电路定理的相量形式

重点：1.正弦量的表示、相位差返回1.复数的表示形式FbReIma0

|F|下页上页代数式指数式极坐标式三角函数式8.1复数返回几种表示法的关系：或2.复数运算加减运算——采用代数式下页上页FbReIma0

|F|返回则

F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)若

F1=a1+jb1，F2=a2+jb2图解法下页上页F1F2ReIm0F1+F2-F2F1ReIm0F1-F2F1+F2F2返回乘除运算——采用极坐标式若

F1=|F1|

1，F2=|F2|

2则下页上页模相乘角相加模相除角相减返回例1-1

解下页上页例1-2解返回旋转因子复数

ejq

=cosq+jsinq=1∠qF•ejqFReIm0F•ejq

下页上页旋转因子返回

+j,–j,-1都可以看成旋转因子。特殊旋转因子ReIm0下页上页注意返回8-2

正弦量1.正弦量瞬时值表达式i(t)=Imcos(w

t+

)tiOT周期T和频率f频率f

：每秒重复变化的次数。周期T

：重复变化一次所需的时间。单位:Hz(赫兹)单位：s(秒)正弦量为周期函数

f(t)=f(

t+kT

)下页上页波形返回正弦电流电路

激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。研究正弦电路的意义正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正弦函数；正弦信号容易产生、传送和使用。下页上页优点返回正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信号可以分解为按正弦规律变化的分量。

对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。下页上页结论返回

幅值

(振幅、最大值)Im(2)角频率ω2.正弦量的三要素(3)

初相位

单位：

rad/s

，弧度/秒反映正弦量变化幅度的大小。相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。反映正弦量的计时起点，常用角度表示。i(t)=Imcos(w

t+

)下页上页返回同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。

=0

=/2

=－

/2下页上页iOt

注意返回一般规定：|

|<

。例2-1已知正弦电流波形如图，

＝103rad/s，1.写出i(t)表达式；2.求最大值发生的时间t1。tiO10050t1解由于最大值发生在计时起点右侧下页上页返回3.同频率正弦量的相位差设

u(t)=Umcos(w

t+

u),i(t)=Imcos(w

t+

i)相位差：j=(wt+

u)-(wt+

i)=

u-

i下页上页等于初相位之差返回规定：|

|<(180°)j>0，u超前ij角，或i

滞后

u

角

(u

比i先到达最大值)。

j<0，

i超前

uj

角，或u滞后

ij

角（

i比

u

先到达最大值）。下页上页返回

tu,iu

i

u

ijOj＝0，同相j=(180o)

，反相特殊相位关系

tu

i0

tu

i0=p/2：u领先

ip/2

tu

i0同样可比较两个电压或两个电流的相位差。下页上页返回例计算下列两正弦量的相位差。下页上页解不能比较相位差两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。结论返回4.周期性电流、电压的有效值

周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。周期电流、电压有效值定义R直流IR交流i物理意义下页上页返回下页上页均方根值定义电压有效值：

正弦电流、电压的有效值设

i(t)=Imcos(t+

)返回下页上页返回因为所以同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：若交流电压有效值为U=220V

，U=380V

其最大值为Um

311VUm

537V下页上页注意工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。返回测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。下页上页返回8.3相量法的基础1.问题的提出电路方程是微分方程：下页上页RLC+-uCiLuS+-返回求：i

(t),uL(t),uR(t)的稳态解方程特解难点1：求特解的待定系数求导难点2：正弦量的微分/积分计算难点3：正弦量的±计算各支路量有何特点？思考所有支路电压电流均以相同频率变化!!下页上页返回i1i1+i2

i3i2www角频率下页上页I1I2I3有效值

1

2

3初相位

tu,ii1

i20i3返回两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算：(b)

幅值

(Im)(a)

角频率(w)(c)

初相角(y)用什么可以同时表示幅值和相位？思考

同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只需确定初相位和有效值。因此采用正弦量复数变换的思想结论下页上页返回下页上页返回CharlesSteinmetz(1865-1923)

查尔斯steinmetz：美籍德国人，电气工程师，电气工程领域的先驱，发明商用的交流电机。他自认为最重要的三项成果是：(1)从事电磁领域的研究工作；(2)建立一个实用简便的使用复数计算交流电数值的方法、(3)弧光现象的研究。

steinmetz发明了三相电路。他的工作使电力工业在美国大力发展。查尔斯steinmetz被认为是美国电气工程领域的先驱。造一个复函数对F(t)取实部

任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数。无物理意义是一个正弦量有物理意义3.正弦量的相量表示下页上页结论返回F(t)包含了三要素：I、

、

，复常数包含了两个要素：I

,

。F(t)还可以写成复常数下页上页正弦量对应的相量相量的模表示正弦量的有效值。相量的幅角表示正弦量的初相位。注意返回同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：已知例1试用相量表示i,u.解下页上页例2试写出电流的瞬时值表达式。解返回在复平面上用矢量表示相量的图。

相量图下页上页返回

q+1+jO

旋转相量与正弦量下页上页返回旋转相量

+1+jt=0i(t)t=t1t=t2t=t3t30tt1t24.相量法的应用同频率正弦量的加减相量关系为：下页上页结论

同频正弦量的加减运算变为对应相量的加减运算。返回i1

i2=i3下页上页例返回借助相量图计算+1+j首尾相接下页上页+1+j返回正弦量的微分、积分运算微分运算积分运算下页上页返回例用相量运算：把时域问题变为复数问题；把微积分方程的运算变为复数方程运算；可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。下页上页Ri(t)u(t)L+-C相量法的优点返回①正弦量相量时域频域相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。③相量法用来分析正弦稳态电路。正弦波形图相量图下页上页注意不适用线性线性w1w2非线性w返回振幅相量和有效值相量下页上页注意返回有效值相量振幅相量8.4电路定律的相量形式1.电阻元件VCR的相量形式时域形式：相量形式：相量模型uR(t)i(t)R+-有效值关系相位关系R+-UR

u相量关系：UR=RI

u=

i下页上页返回瞬时功率

波形图及相量图

i

t0uRpR

u=

iURI

瞬时功率以2

交变，始终大于零，表明电阻始终吸收功率同相位下页上页返回时域形式：相量形式：相量模型相量关系：2.电感元件VCR的相量形式下页上页有效值关系：U=wLI相位关系：

u=

i+90°

i(t)uL(t)L+-j

L+-返回感抗的性质表示限制高频电流的能力；感抗和频率成正比。wXLXL=L=2fL，称为感抗，单位为

(欧姆)BL=-1/L=-1/2fL，

称为感纳，单位为S

感抗和感纳下页上页返回相量关系式功率

t

i0uLpL2

瞬时功率以2

交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消，表明电感只储能不耗能。

i波形图及相量图电压超前电流900下页上页返回时域形式：相量形式：相量模型iC(t)u(t)C+-+-相量关系：3.电容元件VCR的相量形式下页上页有效值关系：

IC=wCU相位关系：

i=

u+90°

返回XC=-1/wC，

称为容抗，单位为

(欧姆)BC

=wC，

称为容纳，单位为

S

容抗和频率成反比

0，|XC|

直流开路(隔直)w

，|XC|0

高频短路w|XC|容抗与容纳下页上页返回相量表达式功率

t

iC0upC

瞬时功率以2

交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消，表明电容只储能不耗能。

u波形图及相量图电流超前电压900下页上页2

返回4.基尔霍夫定律的相量形式同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：

流入某一结点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL。下页上页表明返回例1试判断下列表达式的正、误。L下页上页返回例2已知电流表读数：A1＝8A下页上页＝6AA2A1A0Z1Z2A2A0＝?解返回＝I0max=?A0A0＝I0min=?下页上页A1A0Z1Z2A2＝?A2A0＝A1解返回下页上页A1A0Z1Z2A2解返回A0＝0满足什么关系下页上页A1A0Z1Z2A2解返回若电源的电压不变，频率增大一倍，讨论电流表读数的变化。不变减小一倍增大一倍例3解相量模型下页上页+_15Wu4H0.02Fij20W-j10W+_15W返回下页上页返回j20W-j10W+_15W例4-4解下页上页+_5WuS0.2

Fi相量模型+_5W-j5W返回例5解1下页上页j40WjXL30WCBA返回解2下页上页j40WjXL30WCBA返回例6图示电路I1=I2=5A，U＝50V，总电压与总电流同相位，求I、R、XC、XL。解法1令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部下页上页jXC+_RjXLUC+-返回下页上页画相量图计算jXC+_RjXLUC+-解法2返回例7

图示电路为阻容移项装置，如要求电容电压滞后电源电压

/3，问R、C应如何选择。解1上页jXC+_R+-返回画相量图计算上页jXC+_R+-解2返回第9章正弦稳态电路的分析首页本章重点正弦稳态电路的分析9.3正弦稳态电路的功率9.4复功率9.5最大功率传输9.6阻抗和导纳9.1电路的相量图9.22.正弦稳态电路的分析；3.正弦稳态电路的功率分析；

重点：1.阻抗和导纳；返回9-1

阻抗和导纳1.阻抗正弦稳态情况下Z+-不含独立源线性网络+-阻抗模阻抗角欧姆定律的相量形式下页上页返回当无源网络内为单个元件时有：Z可以是实数，也可以是虚数。C+-下页上页R+-L+-表明返回2.

RLC串联电路KVL：下页上页LCRuuLuCi+-+-+-+-uRR+-+-+-+-j

L返回Z+-Z—复阻抗；|Z|—复阻抗的模；

Z

—阻抗角；R—电阻(阻抗的实部)；X—电抗(阻抗的虚部)。转换关系：或R=|Z|cos

ZX=|Z|sin

Z阻抗三角形|Z|RXjZ下页上页返回分析R、L、C

串联电路得出（2）wL>1/wC

，X>0，jZ>0，电路为感性，电压超前电流。下页上页相量图：一般选电流为参考相量，

ZUX电压三角形等效电路返回j

LeqR+-+-+-（1）Z=R+j(wL-1/wC)=|Z|jZ

为复数，称复阻抗。（3）wL<1/wC，

X<0，jz

<0，电路为容性，电压落后电流。

zUX等效电路下页上页R+-+-+-（4）wL=1/wC

，X=0，j

z=0，电路为电阻性，电压与电流同相。R+-+-等效电路返回例1-1

已知：R=15,L=0.3mH,C=0.2F,求

i,uR,uL,uC。解画出相量模型下页上页返回LCRuuLuCi+-+-+-+-uRR+-+-+-+-j

L则下页上页返回下页上页UL=8.42>U=5，分电压大于总电压。相量图注意

-3.4°返回3.导纳正弦稳态情况下导纳模导纳角下页上页返回Y+-不含独立源线性网络+-对同一二端网络:当无源网络内为单个元件时有：Y可以是实数，也可以是虚数。下页上页C+-R+-L+-表明返回4.RLC并联电路由KCL：下页上页iLCRuiLiC+-iRR+-j

L返回Y+-Y—复导纳；|Y|—复导纳的模；

Y—导纳角；G—电导(导纳的实部)；B—电纳(导纳的虚部)；转换关系：或G=|Y|cos

YB=|Y|sin

Y导纳三角形|Y|GB

Y下页上页返回（2）wC>1/wL，B>0，

Y>0，电路为容性，电流超前电压。相量图：选电压为参考向量，

Y分析R、L、C

并联电路得出：RLC并联电路会出现分电流大于总电流的现象。IB下页上页注意返回（1）Y=G+j(wC-1/wL)=|Y|jY

为复数，称复导纳。（3）wC<1/wL，B<0，

y<0，电路为感性，电流落后电压；

y等效电路下页上页R+-返回（4）wC=1/wL，B=0，jy=0，电路为电阻性，电流与电压同相。等效电路等效电路下页上页j

LegR+-R+-+-返回5.复阻抗和复导纳的等效互换一般情况G

1/R，B

1/X。若Z为感性，X>0，则B<0，即仍为感性。下页上页ZRjXGjBY注意返回同样，若由Y变为Z，则有：下页上页GjBYZRjX返回例RL串联电路如图，求在

＝106rad/s时的等效并联电路。解RL串联电路的阻抗为下页上页返回

L'R'0.06mH50

下页上页注意一端口N0的阻抗或导纳是由其内部的参数、结构和正弦电源的频率决定的，在一般情况下，其每一部分都是频率的函数，随频率而变；一端口N0中如不含受控源，则有或但有受控源时，可能会出现或其实部将为负值，其等效电路要设定受控源来表示实部；返回下页上页注意一端口N0的两种参数Z和Y具有同等效用，彼此可以等效互换，其极坐标形式表示的互换条件为返回6.阻抗（导纳）的串联和并联分压公式阻抗的串联下页上页Z1+Z2Zn－Z+-返回分流公式导纳的并联两个阻抗Z1、Z2的并联等效阻抗为：下页上页Y1+Y2Yn－Y+-返回例1求图示电路的等效阻抗，

＝105rad/s

。解感抗和容抗为：下页上页1mH30

100

0.1FR1R2返回例2图示电路对外呈现感性还是容性？解等效阻抗为下页上页电路对外呈现容性。返回3

3

－j6

j4

5

解2用相量图求解，取电感电流为参考相量：下页上页＋＋－－－3

3

－j6

j4

5

电压滞后于电流，电路对外呈现容性。返回例图为RC选频网络，求u1和u0同相位的条件及解设：Z1=R+jXC,Z2=R//jXC下页上页jXC－R－＋＋Ruou1jXC返回9.3正弦稳态电路的分析电阻电路与正弦电流电路的分析比较：下页上页返回1.引入相量法，电阻电路和正弦电流电路依据的电路定律是相似的。下页上页结论2.引入电路的相量模型，把列写时域微分方程转为直接列写相量形式的代数方程。3.引入阻抗以后，可将电阻电路中讨论的所有网络定理和分析方法都推广应用于正弦稳态的相量分析中。直流（f=0)是一个特例。返回例1画出电路的相量模型求各支路电流。已知：解下页上页返回R2+_Li1i2i3R1CuZ1Z2R2+_R1下页上页返回Z1Z2R2+_R1下页上页返回Z1Z2R2+_R1+_R1R2R3R4列写电路的回路电流方程和结点电压方程例2

解回路方程下页上页+_LR1R2R3R4C返回结点方程下页上页+_R1R2R3R4返回方法1：电源变换解例3下页上页Z2Z1

Z3Z+-Z2Z1ZZ3返回方法2：戴维宁等效变换求开路电压：求等效电阻：下页上页ZeqZ+-+-Z2Z1Z3返回例4求图示电路的戴维宁等效电路。解下页上页求开路电压：返回j300

+_+_50

50

+_j300

+_+_100

求短路电流：下页上页返回+_100

+_j300

+_+_100

例5

解下页上页Z2Z1Z3+-Z2Z1Z3返回用叠加定理计算电流,下页上页Z2Z1Z3+-返回Z2Z1Z3+-已知平衡电桥Z1=R1,Z2=R2,Z3=R3+jwL3。

求：Zx=Rx+jwLx。平衡条件：Z1Z3=

Z2Zx

得R1(R3+jwL3)=R2(Rx+jwLx)Rx=R1R3/R2,Lx=L3R1/R2例6解|Z1|

|Z3|

=|Z2|

|Zx|

1

+

3

=

2

+

x

下页上页Z1Z2ZxZ3

返回|Z1|

1

•|Z3|

3

=|Z2|

2

•|Zx|

x

已知：Z=（10+j50）W,Z1=（400+j1000）W。例7解下页上页ZZ1+_返回的关系

已知：U=115V,U1=55.4V,U2=80V,R1=32W,

f=50Hz。

求：线圈的电阻R2和电感L2

。方法一、画相量图分析。例8解下页上页R1R2L2+_+_+_q2q返回下页上页q2q返回方法二、其余步骤同解法一。下页上页R1R2L2+_+_+_返回用相量图分析例9移相桥电路。当R2由0

时，解当R2=0，q=180

；当R2

，q=0

。abb下页上页abR2R1R1+_+-+-+-+-返回例10图示电路，解下页上页R1R2jXL+_+_jXC返回例11求RL串联电路在正弦输入下的零状态响应。解应用三要素法用相量法求正弦稳态解下页上页返回L+_+_RtiO直接进入稳定状态下页上页过渡过程与接入时刻有关。注意返回出现瞬时电流大于稳态电流现象tiO下页上页返回9-4

正弦稳态电路的功率1.瞬时功率第一种分解方法第二种分解方法下页上页返回线性网络+ui_第一种分解方法：p

有时为正,有时为负；p>0,电路吸收功率；p<0，电路发出功率；

t

i0uUIcos

恒定分量。UIcos

(2t－

)为正弦分量。下页上页返回p

t0第二种分解方法：UIcos

(1-cos2t)为不可逆分量。UIsin

sin2t为可逆分量。

部分能量在电源和一端口之间来回交换。下页上页返回2.平均功率

P

=

u-

i：功率因数角。对无源网络，为

其等效阻抗的阻抗角。cos

：功率因数。P

的单位：W（瓦）下页上页返回一般地,有：0

cos

1X>0,j>0,

感性，X<0,j<0,

容性，cosj1,纯电阻0，纯电抗平均功率实际上是电阻消耗的功率，亦称为有功功率。表示电路实际消耗的功率，它不仅与电压电流有效值有关，而且与cos

有关，这是交流和直流的很大区别,主要由于电压、电流存在相位差。下页上页结论返回4.视在功率S3.无功功率

Q单位：var

(乏)。Q>0，表示网络吸收无功功率；Q<0，表示网络发出无功功率。Q

的大小反映网络与外电路交换功率的速率。是由储能元件L、C的性质决定的下页上页电气设备的容量返回有功，无功，视在功率的关系：有功功率:

P=UIcos

单位：W无功功率:

Q=UIsinj

单位：var视在功率:

S=UI

单位：VAjSPQ功率三角形下页上页返回5.R、L、C元件的有功功率和无功功率uiR+-PR=UIcos

=UIcos0=UI=I2R=U2/RQR=UIsin

=UIsin0=0PL=UIcos

=UIcos90=0QL=UIsin

=UIsin90=UI=I2XLiuC+-PC=UIcos

=UIcos(-90)=0QC=UIsin

=UIsin(-90)=-UI=

I2XC下页上页iuL+-返回6.任意阻抗的功率计算uiZ+-PZ=UIcos

=I2|Z|cos

=I2RQZ=UIsin

=I2|Z|sin

=I2X

＝I2(XL＋XC)=QL＋QCjSPQjZRX相似三角形下页上页返回(发出无功)电感、电容的无功补偿作用

t

i0uLL发出功率时，C刚好吸收功率，与外电路交换功率为pL+pC。L、C的无功具有互相补偿的作用。

t

i0uCpLpC下页上页LCRuuLuCi+-+-+-返回电压、电流的有功分量和无功分量：以感性负载为例

下页上页RX+_+_+_GB+_返回jSPQjZRX相似三角形jIIGIBjUURUX下页上页返回反映电源和负载之间交换能量的速率。无功的物理意义:下页上页返回例1

三表法测线圈参数。已知：f=50Hz，且测得U=50V，I=1A，P=30W。解法1下页上页RL+_ZWAV**返回解法2又下页上页解法3返回已知：电动机

PD=1000W，U=220，f=50Hz，C=30

F

cos

D=0.8，求：负载电路的功率因数。例2解下页上页+_DC返回7.功率因数的提高

设备容量

S

(额定)向负载送多少有功要由负载的阻抗角决定。P=UIcos

=Scosjcosj

=1,P=S=75kWcosj

=0.7,P=0.7S=52.5kW一般用户：异步电机空载cosj

=0.2~0.3

满载

cosj

=0.7~0.85

日光灯

cosj

=0.45~0.6发电设备的容量不能充分利用。电压、电流到了额定值，但有功功率很小；功率因数低带来的问题：下页上页S75kVA负载返回当发电机的电压和输出的有功功率一定时，线路及发电机绕组的电流和损耗增大。下页上页返回Z1Z2+_+_+_例

图示输电线路，已知：线路阻抗Z1=6+j6，负载阻抗Z2的功率P=500kW，U2=5500V，cos=0.91，求线路消耗的功率。下页上页返回Z1Z2+_+_+_解设

提高电网的功率因数cos

，发电设备容量得到充分利用，电能得到大量节约。对国民经济的发展有着重要的意义。结论j1j2解决办法：（1）高压传输（2）改进自身设备（3）并联电容，提高功率因数。下页上页i+-uZ返回分析j1j2

并联电容后，原负载的电压和电流不变，吸收的有功功率和无功功率不变，即：负载的工作状态不变。但电网的功率因数提高了。特点：下页上页LRC+_返回提高电网的功率因数并联电容的确定：补偿容量全——不要求(电容设备投资增加,经济效果不明显)欠过——功率因数又由高变低(性质不同)下页上页j1j2返回并联电容也可以用功率三角形确定：j1j2PQCQLQ从功率角度看:并联电容后，电源向负载输送的有功UILcos

1=UIcos

2不变，但是电源向负载输送的无功UIsin

2<UILsin

1减少了，减少的这部分无功由电容“产生”来补偿，使感性负载吸收的无功不变，而功率因数得到改善。下页上页返回已知：f=50Hz,U=220V,P=10kW,cos

1=0.6，要使功率因数提高到0.9,求并联电容C，并联前后电路的总电流各为多大？例解未并电容时：并联电容后：下页上页LRC+_返回若要使功率因数从0.9再提高到0.95

,试问还应增加多少并联电容，此时电路的总电流是多大？解

cos

提高后，线路上总电流减少，但继续提高cos

所需电容很大，增加成本，总电流减小却不明显。因此一般将cos

提高到0.9即可。下页上页注意返回cos

与线路上总电流的关系提高cos

的方法电容大小对cos

的影响电路中串联或并联电容的区别cos

的提高与经济成本下页上页思考、讨论

返回功率因素的提高9.5复功率1.复功率负载+_定义：也可表示为：下页上页返回下页上页结论

是复数，而不是相量，它不对应任意正弦量；注意

把P、Q、S

联系在一起，它的实部是平均功率，虚部是无功功率，模是视在功率；

复功率满足守恒定理：在正弦稳态下，任一电路的所有支路吸收的复功率之和为零。即

返回求电路各支路的复功率。例5-1

解1下页上页返回+_100°A10Wj25W5W-j15W解2下页上页返回9.6最大功率传输Zi=Ri+jXi，ZL=RL+jXL负载有源网络等效电路下页上页ZLZi+-返回正弦电路中负载获得最大功率Pmax的条件若ZL=RL+jXL可任意改变

先设RL不变，XL改变显然，当Xi+XL=0，即XL=-Xi时，P获得最大值。再讨论

RL改变时，P的最大值下页上页讨论当RL=Ri

时，P获得最大值RL=RiXL=-XiZL=Zi*最佳匹配条件返回若ZL=RL+jXL只允许XL改变

获得最大功率的条件是：Xi+XL=0，即

XL=-Xi

最大功率为若ZL=RL为纯电阻负载获得的功率为：电路中的电流为：模匹配下页上页返回电路如图。求：1.RL=5

时其消耗的功率；2.RL=?能获得最大功率，并求最大功率；3.在RL两端并联一电容，问RL和C为多大时能与内阻抗最佳匹配，并求最大功率。例6-1

解下页上页返回+_100°

V50HRL5W

=105rad/s下页上页返回+_100°V50HRL5WC+_100°V50HRL5W求ZL=?时能获得最大功率，并求最大功率。例6-2

解上页Zi+-ZL返回490oAZL-j30W30W-j30W求ZL=?时能获得最大功率，并求最大功率。例6-3

上页返回ZiZL-++-ZL3W-j6W60oV解第10章含有耦合电感的电路首页本章重点互感10.1含有耦合电感电路的计算10.2耦合电感的功率10.3变压器原理10.4理想变压器10.5重点1.互感和互感电压2.有互感电路的计算3.变压器和理想变压器原理返回10.1互感

耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。下页上页返回下页上页变压器返回下页上页电力变压器返回下页上页三相电力变压器返回下页上页小变压器返回下页上页调压器整流器牵引电磁铁电流互感器返回1.互感线圈1中通入电流i1时，在线圈1中产生磁通，同时，有部分磁通穿过临近线圈2，这部分磁通称为互感磁通。两线圈间有磁的耦合。下页上页

21+–u11+–u21i1

11N1N2定义

：磁链，

=N返回空心线圈，

与i成正比。当只有一个线圈时：

当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与互磁链的代数和：

M值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与线圈中的电流无关，满足M12=M21

L

总为正值，M值有正有负。下页上页注意返回2.耦合系数

用耦合系数k表示两个线圈磁耦合的紧密程度。k=1称全耦合:漏磁

Fs1=Fs2=0F11=F21，F22=F12满足：

耦合系数k与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关。下页上页注意返回互感现象利用——变压器：信号、功率传递避免——干扰克服：合理布置线圈相互位置或增加屏蔽减少互感作用。下页上页返回下页上页电抗器磁场加铁芯时的磁场返回下页上页当i1为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电压。当i1、u11、u21方向与

符合右手螺旋时，根据电磁感应定律和楞次定律：自感电压互感电压3.耦合电感上的电压、电流关系下页上页

当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压。返回在正弦交流电路中，其相量形式的方程为：下页上页返回

两线圈的自磁链和互磁链相助，互感电压取正，否则取负。表明互感电压的正、负：（1）与电流的参考方向有关；（2）与线圈的相对位置和绕向有关。下页上页注意返回4.互感线圈的同名端对自感电压，当u,i

取关联参考方向，u、i与

符合右螺旋定则，其表达式为：

上式说明，对于自感电压由于电压电流为同一线圈上的，只要参考方向确定了，其数学描述便可容易地写出，可不用考虑线圈绕向。下页上页i1u11返回对互感电压，因产生该电压的电流在另一线圈上，因此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。这在电路分析中显得很不方便。为解决这个问题引入同名端的概念。下页上页

当两个电流分别从两个线圈的对应端子同时流入或流出，若所产生的磁通相互加强时，则这两个对应端子称为两互感线圈的同名端。同名端返回**

i1i2i3△△线圈的同名端必须两两确定。下页上页注意+–u11+–u21

11

0N1N2+–u31N3

s返回确定同名端的方法：(1)当两个线圈中电流同时由同名端流入(或流出)时，两个电流产生的磁场相互增强。

i11'22'**11'22'3'3**

例(2)当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将会引起另一线圈相应同名端的电位升高。下页上页返回+–V

同名端的实验测定：i11'22'**电压表正偏。如图电路，当闭合开关S

时，i增加，

当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线组，要确定其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。

下页上页RS+-i返回由同名端及u、i参考方向确定互感线圈的特性方程

有了同名端，表示两个线圈相互作用时，就不需考虑实际绕向，而只画出同名端及u、i参考方向即可。下页上页i1**u21+–Mi1**u21–+M返回例写出图示电路电压、电流关系式下页上页i1**L1L2+_u1+_u2i2Mi1**L1L2+_u1+_u2i2Mi1**L1L2+_u1+_u2i2Mi1**L1L2+_u1+_u2i2M返回例21010i1/At/s解下页上页MR1R2i1**L1L2+_u+_u2返回10.2含有耦合电感电路的计算1.耦合电感的串联顺接串联去耦等效电路下页上页iM**u2+–R1R2L1L2u1+–u+–iRLu+–返回反接串联下页上页iM**u2+–R1R2L1L2u1+–u+–iRLu+–注意返回顺接一次，反接一次，就可以测出互感：全耦合时当

L1=L2

时

,4M

顺接0

反接L=互感的测量方法：下页上页返回在正弦激励下：**

–下页上页j

L1j

L2j

M+–R1+–+–返回

**

相量图：(a)顺接(b)反接下页上页j

L1j

L2j

M+–R1+–+–返回

同名端的实验测定：思考题

两互感线圈装在黑盒子里，只引出四个端子，现在手头有一台交流信号源及一只万用表，试用试验的方法判别两互感线圈的同名端。下页上页黑盒子返回同侧并联i=i1+i2解得u,i

的关系：2.耦合电感的并联下页上页**Mi2i1L1L2ui+–返回如全耦合：L1L2=M2当

L1

L2

，Leq=0

(短路)当L1=L2=L

，Leq=L

(相当于导线加粗，电感不变)

等效电感：去耦等效电路下页上页Lequi+–返回

异侧并联i=i1+i2解得u,i

的关系：等效电感：下页上页**Mi2i1L1L2ui+–返回3.耦合电感的T型等效同名端为共端的T型去耦等效下页上页**j

L1123j

L2j

M312j(L1-M)j(L2-M)j

M返回等效电路中的自感有可能为负值；等效电路中3个电感的公共端在原电路中没有。i1i2iu23u13–+ML1-M+–L2-M231注意下页上页返回异名端为共端的T型去耦等效下页上页**j

L1123j

L2j

M12j(L1+M)j(L2+M)-j

M3返回下页上页**Mi2i1L1L2ui+–(L1－M)M(L2－M)i2i1ui+–**Mi2i1L1L2u1+–u2+–(L1－M)M(L2－M)**Mi2i1L1L2u1+–u2+–返回4.受控源等效电路下页上页**Mi2i1L1L2u1+–u2+–j

L1j

L2+––++–+–返回例Lab=5HLab=6H解下页上页M=3H6H2H0.5H4Hab9H7H-3H2H0.5HabM=4H6H2H3H5HabM=1H4H3H2H1Hab3H返回5.有互感电路的计算在正弦稳态情况下，有互感电路的计算仍应用前面介绍的相量分析方法。注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包含互感电压。一般采用支路法和回路法计算。下页上页例1列写电路的回路电流方程。MuS+C－L1L2R1R2**+－ki1i1返回213解下页上页MuS+C－L1L2R1R2**+－ki1i1返回例2求图示电路的开路电压。解1下页上页M12+_+_**

M23M31L1L2L3R1返回作出去耦等效电路，(一对一对消):解2下页上页M12**

M23M31L1L2L3**

M23M31L1–M12L2–M12L3+M12

M31L1–M12+M23L2–M12–M23L3+M12–M23L1–M12+M23–M13L2–M12–M23+M13L3+M12–M23–M13返回下页上页L1–M12+M23–M13L2–M12–M23+M13L3+M12–M23–M13+_+_R1返回例3要使i=0，问电源的角频率为多少？解下页上页ZRC－L1L2MiuS+L1L2C

R

+–

MZ**L1－M

L2－MMC

R

+–

Z返回例4图示互感电路已处于稳态，t=0时开关打开，求t>0+时开路电压u2(t)。下页上页**0.2H0.4HM=0.1H+–10

40Vu2+－10

5

10

解副边开路，对原边回路无影响，开路电压u2(t)中只有互感电压。先应用三要素法求电流i(t).i返回下页上页**0.2H0.4HM=0.1H10

u2+－10

返回10.3耦合电感的功率

当耦合电感中的施感电流变化时，将出现变化的磁场，从而产生电场（互感电压），耦合电感通过变化的电磁场进行电磁能的转换和传输，电磁能从耦合电感一边传输到另一边。下页上页**j

L1j

L2j

M+–R1R2例求图示电路的复功率返回下页上页**j

L1j

L2j

M+–R1R2返回下页上页线圈1中互感电压耦合的复功率线圈2中互感电压耦合的复功率返回下页上页结论耦合功率中的有功功率相互异号，表明有功功率从一个端口进入，必从另一端口输出，这是互感M非耗能特性的体现。返回耦合功率中的无功功率同号，表明两个互感电压耦合功率中的无功功率对两个耦合线圈的影响、性质是相同的，即，当M起同向耦合作用时，它的储能特性与电感相同，将使耦合电感中的磁能增加；当M起反向耦合作用时，它的储能特性与电容相同，将使耦合电感的储能减少。10.4变压器原理

变压器由两个具有互感的线圈构成，一个线圈接向电源，另一线圈接向负载，变压器是利用互感来实现从一个电路向另一个电路传输能量或信号的器件。当变压器线圈的芯子为非铁磁材料时，称空心变压器。下页上页返回一次绕组二次绕组下页上页返回铁芯变压器线性变压器紧耦合松耦合下页上页返回1.变压器电路（工作在线性段）一次回路或原边二次回路或副边下页上页**j

L1j

L2j

M+–R1R2Z=R+jX返回2.分析方法方程法分析令

Z11=R1+jL1，Z22=(R2+R)+j(L2+X)回路方程：下页上页**j

L1j

L2j

M+–R1R2Z=R+jX返回等效电路法分析下页上页+–Z11+–Z22一次等效电路二次等效电路返回根据以上表示式得等效电路。引入阻抗。引入电阻。恒为正,表示副边回路吸收的功率是靠原边供给的。引入电抗。负号反映了引入电抗与二次回路电抗的性质相反。下页上页+–Z11一次等效电路注意返回引入阻抗反映了二次回路对一次回路的影响。一、二次回路虽然没有电的联接，但互感的作用使二次回路产生电流，这个电流又影响一次回路电流和电压。能量分析电源发出有功

P=I12(R1+Rl)I12R1消耗在原边；I12Rl

消耗在副边证明下页上页返回原边对副边的引入阻抗。

利用戴维宁定理可以求得变压器二次等效电路。副边开路时，原边电流在副边产生的互感电压。二次等效电路下页上页+–Z22注意去耦等效法分析

对含互感的电路进行去耦等效，再进行分析。返回已知

US=20V,原边引入阻抗

Zl=10–j10.求:

ZX并求负载获得的有功功率.负载获得功率：实际是最佳匹配：例1解下页上页**j10

j10

j2+–10

ZX10+j10

Zl+–返回L1=3.6H,L2=0.06H,M=0.465H,R1=20W,

R2=0.08W,RL=42W,w=314rad/s,应用一次等效电路例2解1下页上页**j

L1j

L2j

M+–R1R2RL+–Z11返回下页上页+–Z11返回应用二次等效电路解2下页上页+–Z22返回例3全耦合电路如图，求初级端ab的等效阻抗。解1解2画出去耦等效电路下页上页**L1aM+–bL2L1－M

L2－M+–

Mab返回例4L1=L2=0.1mH,M=0.02mH,R1=10W,C1=C2=0.01

F

问：R2=？能吸收最大功率,求最大功率。解1w=106rad/s,下页上页j

L1j

L2j

MR1R2**+–1/j

C21/j

C1返回应用一次等效电路当R2=40

时吸收最大功率下页上页10

+–返回解2应用二次等效电路当时吸收最大功率下页上页R2+–返回解例5**

问Z为何值时其上获得最大功率，求出最大功率。判定互感线圈的同名端下页上页＋－uS(t)Z100

CL1L2Mj

L1R

+–

MZ**j

L21/j

C

返回作去耦等效电路下页上页+–

Zj100

－j20

j20

100

j(L-20)j

L1R

+–

MZ**j

L21/j

C

+–

Zj100

100

j(

L-20)返回下页上页＋－uoc+–

j100

100

j(

L-20)j100

100

j(

L-20)Zeq返回10.5理想变压器1.理想变压器的三个理想化条件

理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互感元件的理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感。全耦合无损耗线圈导线无电阻，做芯子的铁磁材料的磁导率无限大。参数无限大下页上页返回

以上三个条件在工程实际中不可能满足，但在一些实际工程概算中，在误差允许的范围内，把实际变压器当理想变压器对待，可使计算过程简化。下页上页注意2.理想变压器的主要性能

i11'22'N1N2变压关系返回若下页上页理想变压器模型**n:1+_u1+_u2注意**n:1+_u1+_u2返回**+_u1+_u2i1L1L2i2M理想变压器模型**n:1+_u1+_u2i1i2变流关系考虑理想化条件：0下页上页返回若i1、i2一个从同名端流入，一个从同名端流出，则有：下页上页注意**n:1+_u1+_u2i1i2变阻抗关系注意

理想变压器的阻抗变换只改变阻抗的大小，不改变阻抗的性质。**n:1+_+_Zn2Z+–返回理想变压器的特性方程为代数关系，因此它是无记忆的多端元件。理想变压器既不储能，也不耗能，在电路中只起传递信号和能量的作用。功率性质下页上页**n:1+_u1+_u2i1i2表明返回理想变压器是否为动态元件？理想变压器的关系式是否适合于直流？问题下页上页返回**n:1+_u1+_u2i1i2例1已知电源内阻RS=1k

，负载电阻RL=10

。为使RL获得最大功率，求理想变压器的变比n。当

n2RL=RS时匹配，即10n2=1000

n2=100，n=10.下页上页RLuSRS**n:1+_n2RL+–uSRS解应用变阻抗性质返回例2方法1：列方程解得下页上页+–1:1050

1**+_解返回方法2：阻抗变换方法3：戴维宁等效下页上页+–1n2RL+–+–1:101**+_返回求Req：Req=1021=100戴维宁等效电路：下页上页Req1:101**+–10050+–返回例3已知图示电路的等效阻抗Zab=0.25

，求理想变压器的变比n。解应用阻抗变换外加电源得：下页上页n=0.5

n=0.25Zabn:11.510－+**1.5－++–返回例5求电阻R吸收的功率解应用回路法解得123上页**+–+–1:10+–11R=11返回实际变压器的电路模型实际变压器是有损耗，有漏磁，k

1，且L1，M，L2

。除了用具有互感的电路来分析计算以外，还常用含有理想变压器的电路模型来表示。1.理想变压器(全耦合，无损，m=

线性变压器)下页上页理想变压器模型**n:1+_u1+_u2i1i22.全耦合变压器(k=1，无损，m

，线性)由于全耦合，所以满足：全耦合变压器的等值电路图L1：激磁电感空载激磁电流又因下页上页**+_+_j

L1j

L2j

Mj

L1理想变压器**n:1+_+_3.无损非全耦合变压器(忽略损耗，k1，m

线性)

21i1i2++––u1u2

12

1s

2sN1N2

线圈中的磁通看成是漏磁通加全耦合磁通，即：全耦合磁通在线性情况下，有：下页上页由此得无损非全耦合变压器的电路模型：L1S,L2S：漏电感4.有损耗的非全耦合变压器(k1，m

，线性)

考虑了导线和铁芯损耗全耦合变压器下页上页j

L1S+–+–j

L1**n:1+_+_j

L2SRmR1R2L1S

L1**n:1+_+_L2S以上是在线性情况下讨论实际变压器。实际上铁心变压器由于铁磁材料

B–H特性的非线性,初级和次级都是非线性元件，原本不能用线性电路的方法来分析计算，但漏磁通是通过空气闭合的，认为漏感LS1，LS2

基本上是线性的，激磁电感L1虽是非线性的，但其值很大，并联在电路上只取很小的电流影响很小，电机学中常用这种等值电路。下页上页注意例图示为全耦合变压器，求初级电流和输出电压。解做全耦合变压器等效电路下页上页j2k=1j88**+_+_j28**+_+_n:1j22+_+_第11章电路的频率响应网络函数11.1RLC串联电路的谐振11.2RLC串联电路的频率响应11.3RLC并联谐振电路11.4波特图11.5滤波器简介11.6本章重点首页重点1.网络函数2.串、并联谐振的概念；返回11.1网络函数当电路中激励源的频率变化时，电路中的感抗、容抗将跟随频率变化，从而导致电路的工作状态（电压、电流）亦跟随频率变化。因此，分析研究电路和系统的频率特性，是正确选用和设计网络的需要，是无线电和电子技术应用中的重要课题。下页上页频率特性

电路和系统的工作状态跟随频率而变化的现象，称为电路和系统的频率特性，又称频率响应。1.网络函数H（jω）的定义返回

在线性正弦稳态网络中，当只有一个独立激励源作用时，网络中某一处的响应相量（电压或电流）与网络输入相量之比，称为该响应的网络函数。2.网络函数H(jω)的分类驱动点函数线性网络下页上页返回策动点阻抗策动点导纳激励是电流源，响应是电压激励是电压源，响应是电流线性网络转移函数(传递函数)线性网络下页上页返回转移导纳转移阻抗

转移电压比

转移电流比激励是电压源激励是电流源线性网络下页上页返回注意

H(j

)与网络的结构、参数值有关，与输入、输出变量的类型以及端口对的相互位置有关，与输入、输出幅值无关。因此网络函数是网络性质的一种体现。网络函数可以用相量法分析求解获得。下页上页返回例求图示电路的网络函数和2

jω+_+_jω2

解列网孔方程解电流转移导纳转移电压比

下页上页返回H(j

)是一个复数，它的频率特性分为两个部分：模与频率的关系

幅频特性幅角与频率的关系

相频特性下页上页返回3.网络频率特性0

c低通0

c高通0

c1带通

c20

c1带阻

c2下页上页返回设：例求RC一阶电路的频率响应下页上页返回低通下页上页返回幅频特性截至频率o相频特性o下页上页返回截至频率的物理意义

用分贝表示网络的幅频特性3分贝频率

下页上页返回注意

在电子电路中约定，当输出电压下降到它的最大值的3dB以下时，认为该频率成分对输出的贡献很小。

半功率频率点当高通下页上页返回下页上页返回高通幅频特性o相频特性o以网络函数中jω的最高次方的次数定义网络函数的阶数。注意由网络函数能求得网络在任意正弦输入时的端口正弦响应，即有下页上页返回11.2RLC串联电路的谐振谐振是正弦电路在特定条件下产生的一种特殊物理现象。谐振现象在无线电和电工技术中得到广泛应用，研究电路中的谐振现象有重要实际意义。

含R、L、C的一端口电路，在特定