《1.2排列》导学案1

1、1.2排列导学案1学习目标1理解排列、排列数的概念，掌握排列数公式的推导，从中体会化归”的数学思想.2能用 树型图”写出一个排列中所有的排列；能用排列数公式计算重点排列、排列数的概念难点排列问题的判断、排列数公式的推导及应用教学过程5月1日，小王、小刘、小赵等6名同学与李老师一起外出郊游 在游兴正浓之际，小王提议大家一起合影，把美好的山水风景与老师、同学的身影一起发给班里的每一位同学大家齐声叫好，并一致提议李老师排中间小王说：我与老师排在一起 ”小刘说：我不与小王排在一起”而小赵说：我要与小刘排在一起”其他三位同学说：我们随便 ”于是，大家排了队，合 了影，高兴极了 在回学校的路上，李老师提了

2、一个问题：我们7个人排队，刚才大家提出了各自的要求，那么，符合你们这些要求的排法共有多少种呢？”你能帮他们计算一下吗？问题1：排列的概念从n个 不同 元素中，任取m(mq)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 说明：(1)排列的定义包括两个方面：取出元素，按一定的顺序排列(2)两个排列相同的条件：元素完全相同，元素的排列顺序也相同问题2：排列数的定义从n个不同元素中，任取m(mq)个元素的 所有排列的个数叫作从n个元素中取出m个元素的 排列数 ，用符号 表示第1位 第2位ffnfl-1问题3：排列数公式及其推导由的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n个元素

3、ai, a?,，a.中任取2个元素去填空, 一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数由分步计数原理完成上述填空共有n(n-1)种填法，所以=n(n-1).由此，求可以按依次填 3个空位来考虑，= n(n-1)(n-2)，求以按依次填m个空位来 考虑=n (n-1)( n-2) n -m+1)，得排列数公式如下：=n ( n-1) (n-2) n-m+ 1) (m, n N+, mq).第1位第2位第3位第阳位ttt1nn-l 沖-2问题4:阶乘的概念n个不同元素全部取出的一个排列，叫作n个不同元素的一个全排

4、列 ，这时=n (n-1) - (n-2) - (n-3) 21 .把正整数1到n的连乘积，叫作n的阶乘 ，表示 n!，即=n!，规定：0! = 1.排列的历史1772年以来，范德蒙德、欧拉、皮科克、古德文、埃汀肖森、鲍茨、内托对排列进行了 深入的研究，并且引入了特殊的符号来表示从n个元素中取出r个元素的排列，有的排列符号一直沿用至今.学习交流1.89 X90X91 X92X-X100可表示为().A.B.C.D.【解析】由题意知 n =100，二100-m+1=89, . m=12.【答案】C2. 甲、乙、丙、丁四人轮流读同一本书，则甲首先读的安排方法种数为().A.24 B.12C.6 D

5、.3【解析】甲在首位，相当于乙、丙、丁全排，即 3! =3X2X1=6.【答案】C3. 若 = 17X16X15X5X4,贝U n=, m=【解析】由题易知n =17，又T 4=17-m+1, . m=14.【答案】17144. 从2, 3, 5, 7, 11这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？【解析】因为从2, 3, 5, 7, 11这五个数字中，任取2个数字组成分数，分数的值各不 相同，所以不同值的分数的个数等于从这五个数字中任取2个数字的排列数=5X4=20.5. 无限制条件的排列问题有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数（1）选其中 5人排

6、成一排；（2）排成前后两排，前排 3人，后排 4人 .【方法指导】 无限制条件的排列问题， 直接利用排列数公式即可， 但要看清是全排列还 是选排列问题 .【解析】（1）从7个人中选5个人来排列，有=7X6X5X3=2520种.（2）分两步完成，先选3人排在前排，有种方法；余下 4人排在后排，有种方法，故共有 = 5040种.事实上，本小题即为 7人排成一排的全排列 =5040种，属于无任何限制条件的排列问 题.【小结】 对于无限制条件的排列问题， 常用直接法， 即把符合条件的排列数直接列式计 算.6. 有限制条件的排列问题有 4名男生、 5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？

7、（1）甲不在中间也不在两端；（2）甲、乙两人必须排在两端；（ 3）男女相间 .【方法指导】 这是一个排列问题， 一般情况下， 我们会从受到限制的特殊元素开始考虑， 有时也从特殊的位置讨论起 .对于相邻问题，常用 “捆绑法 ”；对于不相邻问题，常用 “插空法 ” （特殊元素后考虑 ）；对于 “在”与“不在 ”的问题，常常使用 “直接法 ”或“排除法 ”特（殊元素先考 虑）.【解析】 （1）（法一 ）（元素分析法 ）先排甲有 6种，其余有种，故共有6 =241920种排法.（法二 ）（位置分析法 ）中间和两端有种排法，包括甲在内的其余6人有种排法，故共有 =336X720=241920种排法.（法

8、三 ）（等机会法 ） 9个人的全排列数有种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是 X=241920（种）.（法四 ）（间接法 ）-3 =6=241920 种.（2）先排甲、乙，再排其余 7人，共有 =10080种排法 .（3）（插空法 ）先排 4名男生有种方法，再将 5名女生插空，有种方法，故共有=2880种排法 .【小结】本题集排列多种类型于一题，充分体现了元素分析法(优先考虑特殊元素)、位置分析法(优先考虑特殊位置)、直接法、间接法(排除法卜等机会法、插空法等常见的解题 思路7利用排列数公式进行计算、化简或解方程解方程:3=2+6.【方法指导】解方程时注意

9、 x的取值范围.【解析】由排列数公式得：3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1),/x弟,3(x- 1)(x-2)= 2(x+ 1)+ 6(x-1)，即 3x2-17x+10=0,解得x=5或x=,.原方程的解为x=5或x=；问题上述解法正确吗？结论不正确，应用=n(n-1)(n-2) -(n-m+ 1)=时，要注意隐含条件 m, n N+且mn,于 是正确解法如下：由排列数公式得:3x(x-1)(x-2)= 2(x+ 1)x+ 6x(x-1),/x弟,.3(x- 1)(x-2)= 2(x+ 1)+ 6(x-1)，即 3x2-17x+10=0,解得x=5或x= , /x渕，且x

10、 N+，.原方程的解为x=5.【小结】(1)解含排列数的方程和不等式时要注意排列数中，m, n N+且m这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围公式=n(n-1)(n-2)(n-m+1)常用来求值，特别是 m, n均为已知时，公式=常用来证明 或化简例题应用6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是【解析】前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共 =720种【答案】720应用二把1, 2, 3, 4, 5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排 列成一个数列.(1) 43251是这个数列的第几项？(2) 这个

11、数列的第97项是多少？【解析】(1)不大于43251的五位数有-(+)=88个，即为此数列的第88项(2)此数列共有120项，而以5开头的五位数恰好有=24个，所以以5开头的五位数中最小的一个就是该数列的第 97项，即51234.应用三解方程：3=4.【解析】 x=6或x=13(舍去).即原方程的解为x=6.课堂练习1. 四支足球队进行主客场制的足球比赛，比赛的总场次为().A.6B.12C.16D.24【解析】相当于从4支球队中选出2支球队的排列，共有=12场比赛.【答案】B2. 在数字1，2，3与符号+ : “”五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是().A.6 B.1

12、2 C.18 D.24【解析】先排列1, 2, 3，有=6种排法，再将+ : “”两个符号插入，有=2种方法，共有 12种方法，故选B.【答案】B3. 有8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，排法共有种.【解析】把甲、乙、丙先排好，有种排法，把这三个人捆绑”在一起看成是一个，与其余5个人相当于6个人排成一排，有种排法，所以一共有=1440种排法.【答案】14404. 有5个人并排站成一排，如果甲必须在乙的右边，则不同的排法有多少种？【解析】总的排法数为=120种，.甲在乙的右边的排法数为=60种.5. (2013年山东卷)用0, 1,，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()

13、.A.243B.252C.261D.279【解析】不重复的三位数有:+=648个.则有重复数字的三位数有：900-648=252个，故选B.【答案】B课后练习1.a N,且 a20，则(27-a)(28-a)(4-a)等于().A.B.C. D.【解析】原式=(34-a)(33-a)(28-a)(27-a)= (34-a)(33-a)(8-a)(34-a)-8+ 1【答案】 D2在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有().A.93 种B.92 种 C.96 种D.95 种【解析】当A出现在第一步

14、时，再排 A，B，C以外的3个程序，有种，A与A，B，C以 外的三个程序生成4个可以排列程序B、C的空档，此时共有种排法；当A出现在最后一步时， 排法与A出现在第一步时相同，共有 2=96种编排方法，故选C.【答案】 C3.电视台连续播放 6个广告，其中含 4个不同的商业广告和 2个不同的公益广告，要求首 尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式 (结果用数值表示 ).【解析】分两步 :首尾必须播放公益广告的有种；中间4个为不同的商业广告，有种，即共有 =48种.【答案】 484.3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为 几种？【解析】由题意知有 5个座位都

15、是空的，我们把 3个人看成是坐在座位上的人，往 5个空 座的空档插，即往 5个空座位之间的 4个空位插入 3个人，共有 =24种.5. 从4名男生和 3名女生中选出 3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有 1名女生，则选派方案共有 ().A.108种 B.186种 C.216种 D.270种【解析】从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有-=186种，故选B.【答案】 B6. 高三 (1)班学生要安排毕业晚会的 4个音乐节目， 2个舞蹈节目和 1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是 ().A.1800B.3600C.4320D.5040【解析】

16、不同排法的种数为 =3600，故选B.【答案】 B7.2010年上海世博会某国展出 5件艺术作品，其中不同书法作品 2件， 不同绘画作品 2件， 标志性建筑设计 1 件，在展台上将这 5件作品排成一排， 要求 2件书法作品必须相邻， 2件绘画 作品不能相邻，则该国展出这 5件作品不同的方案有种.(用数字作答 )【解析】将书法作品捆绑有种捆绑方法，再与标志性建筑设计排列有种排法，最后将2件绘画作品插入其中的三个空中有种插入方法，由分步乘法计数原理可得共有=24 种不同的展出方案 .【答案】 248. 用 1，2，3，4，5，6组成六位数 (没有重复数字 )，要求任何相邻两个数字的奇偶性不 同，且 1和 2相邻，求这样的六位数的种数 .【解析】依题意先排列除1和2,剩余4个元素有2=8种方案，再向这排好的4个元素中选 1空位插入1和2捆绑的整体，有种插法，所以不同的安排方案共有2 =40种.9. 用数字 0， 1， 2， 3， 4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1， 2相邻的偶数有个(用数字作答 ).【解析】可以分情况讨论 :若末位数字为 0，则1， 2为一组，且可以交换位置，3， 4各为1个