2018年度高考数学(新课标)题型归纳汇总情况叠加、叠乘、迭代递推、代数转化[来源：学优高考网466432]

1、实用标准文案叠加、叠乘、迭代递推、代数转化已知数列的递推关系式求数列的通项公式的方法大约分为两类：一类是根据前几项的特点归纳猜想出a n 的表达式，然后用数学归纳法证明；另一类是将已知递推关系，用代数法、迭代法、换元法，或是转化为基本数列（等差或等比）的方法求通项第一类方法要求学生有一定的观察能力以及足够的结构经验，才能顺利完成，对学生要求高第二类方法有一定的规律性，只需遵循其特有规律方可顺利求解在教学中，我针对一些数列特有的规律总结了一些求递推数列的通项公式的解题方法一、叠加相消类型一：形如 a n 1 a n + f (n)， 其中 f (n)为关于 n 的多项式或指数形式（na ）或可裂

2、项成差的分式形式 可移项后叠加相消例 1：已知数列 a n ,a1 0,nN ， a n 1a n （ 2n 1），求通项公式 a n 解： a n 1 =a n （ 2n1） a n 1 =a n （ 2n 1） a 2 a1=1 、a 3 a 2 =3 、 a n a n 1 =2n 3 a n = a 1 (a 2 a 1 ) (a 3 a 2 ) (a n a n 1 )=01 3 5 (2n 3)1= 2 1 (2n3)( n 1)=( n1)2n N练习 1： .已知数列 a n ,a1 =1, nN， a n1 =a n 3 n ， 求通项公式 a n 2n(n1) .已知数列

3、a n 满足 a 1 3， anan1， n N，求 a n 二、叠乘相约an 1f ( n)( mnb) pan1an(mnc) pan类型二：形如.其中 f (n) =c= km,k Z）或=kn（ p0， m 0,ban1（ k0）或 ann( k 0, m 且 m 1)= km例 2：已知数列a n , a1 =1， a n 0,( n1) a n 1 2n a n 2 a n 1 a n =0，求 a n 解： ( n1) a n1 2 n a n 2 a n 1 a n =0 (n 1) a n 1 na n (a n 1 a n )= 0 a n 0 a n 1 a n 0 (n

4、 1) a n 1 na n =0an 1n ann 1精彩文档实用标准文案anana n 1an 2a2a1n 1 n 2 n 3111an 1an 2an 3a1nn 1 n 22nn*), Sn 是 a n 的前 n 项和 ,a 2 =1,求 a n 练习 2：已知数列 a n 满足 Sn = 2 a n ( n N .已知数列 a n 满足 a n1 = 3 na n*)，且 a1 =1，求 a n ( n N三、逐层迭代递推类型三： 形如 a n1 = f (a n )，其中 f (a n )是关于 a n 的函数 .需逐层迭代、 细心寻找其中规律例 3：已知数列 a n ， a1

5、=1, n N， a n1 = 2a n 3 n ,求通项公式 a n 解： a n 1 = 2 a n 3 na n =2 a n1 3 n-1 =2(2 a n2 3 n-2) 3 n-1 = 22(2 a n 3 3 n-3) 23 n-2 3 n-1=2-n2(2 a 1 3 ) 2 n-332 2 n-4 33 2 n-534 223 n-3 23 n-2 3 n-1=2 n-12 n-23 2 n-3 32 2 n-4 33 223 n-323 n-2 3 n-1n 1n2133n2 n13222练习 3: .若数列 a n 中， a 1 =3，且 a n 1 =a n （ n N

6、），求通项 a n . .已知数列 an的前 n 项和nn=2an+1 n， nN ,求通项 anS满足S四、运用代数方法变形，转化为基本数列求解类型四：形如 an an 1 =panqan 1 ，（ pq 0 ）且 an0 的数列， 可通过倒数变形为基本数列问题111当 p = q 时，则有： an1anp 转化为等差数列；1q1当 p q 时，则有： an1panp 同类型五转化为等比数列2an例 4：若数列 a n 中， a 1 =1， a n 1 = an2n N ，求通项 a n an12an解： an2又a110,an0，精彩文档实用标准文案11111111 an 12 an an

7、 1an2 a11数列 a n 是首项为1，公差为2 的等差数列11n 12 an =1 2 a n = n 1n N2 x3练习 4：已知 f (n) =3x ，数列 a n 满足 a 1 =1， a n = 2 f (a n 1 )，求 a n 类型五：形如a n 1 pa n + q ,pq，0 p、 q 为常数当 p 1 时，为等差数列；当 p 1时，可在两边同时加上同一个数x，即 a n 1 + x = pa n + q + xqxq xqa n1 + x = p(a n +p)， 令 x =p x = p 1时，有 a n 1 + x = p(a n + x )，q从而转化为等比数

8、列a n +p1 求解1例 5：已知数列 a n 中， a 1 =1， a n =2 a n 1 + 1， n= 1、2、 3、 ，求通项 a n 11解： a n =2 a n 1 + 1a n 2 = 2 (a n1 2)1又 a 1 2 = -10 数列 a n 2首项为 -1，公比为2 的等比数列(1 ) n 11 n a n 2 = -12即 a n = 2 2n N练习 5： . 已知 a 1 =1， a n = 2 a n1 + 3(n = 2、 3、 4 ) ，求数列 a n 的通项12an . 已知数列 a n 满足 a 1 =2 ， a n 1 = an 1 ，求 a n

9、类型六：形如 a n1 pa n + f (n)， p0且 p 为常数， f (n)为关于 n 的函数当 p 1 时，则a n1 a n + f (n)即类型一当 p 1时， f (n)为关于 n 的多项式或指数形式（a n ）或指数和多项式的混合形式精彩文档实用标准文案若 f (n)为关于 n 的多项式（ f (n) = kn + b 或 kn2+ bn + c， k、b、 c 为常数）， 可用待定系数法转化为等比数列2求 a n 例 6：已知数列 a n 满足 a1 =1， a n 1 = 2an n， n N解：令 a n 1 + xa(n+1)22+ bn + c)+ b(n+1) +

10、 c = 2(a n + an即a n 1 =2a n +(2aax)n2-2ax bx)n +2cax bx cx+ (2b比较系数得：a1x22aax1b2axa1x2b2axbx02b2axbx2caxbxcx0c2xc3令 x = 1，得：22 a 1 +1+2 1+3 = 7 a n 1 + (n+1)+2(n+1) + 3 = 2(a n + n+2n + 3)21 = 2b nb 1 = 7 数列 b n 为首项为 7，公比为2 德等比数列令 b n = a n + n+2n + 3 则 b nn12+2n + 3 = 7n 1n 12 b n = 7 2即 a n + n 2

11、a n = 7 2 ( n+2n + 3 ) n N若 f (n)为关于 n 的指数形式（a n ）当 p 不等于底数a 时，可转化为等比数列；当 p 等于底数a 时，可转化为等差数列例 7：（同例3）若 a 1 =1， a n = 2 a n 1 + 3n 1， (n = 2、 3、 4 ) ，求数列 a n 的通项 a n 解 : a n = 2 an 1 + 3n 1nn 1n 1 令 a n + x 3= 2(a n 1 +x 3 ) 得 a n = 2 a n 1 x3nn 3nn13=-2令 -x 3x = -1 an= 2(an 1 3) 又 a1= 3数列 an3n 是首项为

12、-2,公比为2 的等比数列 annn 1nn3 =-2 2即 a n = 3 -2 n N例 8：数列 a n 中,a1 =5 且 a n =3a n1 + 3n-1 (n = 2、 3、 4 ) 试求通项 a n 解：a n =3a n 1na n13(an 11 )n+3 -1223an1an11an122123n3n 13n是公差为 1的等差数列精彩文档实用标准文案an1a115112223n= 3+( n 1 ) =3+( n 1 ) = n + 2a n = (n1 )3n122n N若 f (n) 为关于 n 的多项式和指数形式（ a n ）的混合式，则先转换多项式形式在转换指数形

13、式例如上面的例 8练习 6: .已知数列 a n 中 a 1 = 1,a n 1 = 3 a n + n , nN ; 求a n 的通项n 1且 n 2)设 a 0 为常数，且 a n = 3 2 a n 1 (n N1证明：对任意n ，1 a n = 5nn 1 nn n3 + (-1)2 +(-1) 2 a 0 类型七：形如 a n2 = p a n 1 + q a n ( pq2，0 p、 q 为常数且 p + 4q 0 )， 可用待定系数法转化为等比数列例 9: 已知数列 an1= 1, a2= 2 且an 2an 12an,n N;求 an的通项中 a2解 :令 a n2 +x a

14、n 1 = (1+x) a n 1 + 2 a na n 2 +x an1 = (1+x)( an1 +1 x a n )22令 x = 1 xx = 1 或 -2x + x 2 = 0当 x = 1 时,a n2 + a n 1 =2(a n 1 + a n )从而 a 2 + a1 = 1 + 2 = 3数列 a n 1 + a n 是首项为 3 且公比为 2 的等比数列 .a n 1 + a n = 3 2n 1当 x = - 2 时 , a n 2 - 2a n 1 = - (a n 1 -2a n ) ,而 a 2 - 2a1 = 0a n 1 - 2a n = 0由、得 :n 1,

15、nNa n = 25an 25 an 1 2 an练习 7：已知 : a 1 = 2, a 2 = 3 ,33,(n = 1、2、3、 求),数列 a n 的通项已知数列： 1、 1、 2、 3、 5、 8、 13、 ，根据规律求出该数列的通项五、数列的简单应用 .例 10:设棋子在正四面体ABCD 的表面从一个顶点移向另外三个顶点时等可能的.现抛掷骰子 ,根据其点数决定棋子是否移动,若投出的点数是奇数, 则棋子不动；若投出的点数是偶数,棋子移动到另外一个顶点.若棋子初始D精彩文档CAB实用标准文案位置在顶点A，则 :投了三次骰子,棋子恰巧在顶点B 的概率是多少?投了四次骰子,棋子都不在顶点B

16、 的概率是多少?投了四次骰子,棋子才到达顶点B 的概率是多少？分析：考虑最后一次投骰子分为两种情况最后一次棋子动；最后一次棋子不动1解：事件投一次骰子棋子不动的概率为2 ；事件投一次骰子棋子动且到达顶点B 的概率为11123= 6 投了三次骰子 ,棋子恰巧在顶点B 分为两种情况 .最后一次棋子不动，即前一次棋子恰在顶点B； .最后一次棋子动，且棋子移动到B 点设投了 i 次骰子，棋子恰好在顶点B 的概率为 p i，则棋子不在顶点 B 的概率为 (1- p i )所以，11投了 i+1 次骰子，棋子恰好在顶点B 的概率： pi1i2i6i = 1、 2、 3、 4、 = p + (1- p) p

17、111112 p13i1= 6+ 3 p p 1 =2 3=6 p 2 = 93= 54i投了四次骰子 ,棋子都不在顶点B，说明前几次棋子都不在B 点，应分为两种情况最后一次棋子不动；最后一次棋子动，且不到B 点设投了 i 次骰子，棋子都不在顶点B 的概率为 pi,则投了 i+1 次骰子，棋子都不在顶点B 的概1115率为：pi 1=pi2pi23)i = 1、 2、 3、 4、 即：pi 1=6pi+ (111155又 p1 = 2 + 2 (1 3 ) = 6 p4 = ( 6 ) 4投了四次骰子 ,棋子才到达顶点B；说明前三次棋子都不在B 点，最后一次棋子动且到达顶点 B设其概率为P 则

18、：1115125P =23 p3=6631296( )=答：（略）例 11：用砖砌墙，第一层（底层）用去了全部砖块的一半多一块；第二层用去了剩下的一半多一块， ，依次类推，每层都用去了上层剩下的一半多一块 .如果第九层恰好砖块用完， 那么一共用了多少块砖？分析：本题围绕两个量即每层的砖块数a i 和剩下的砖块数b i ，关键是找出a i 和 b i 的关系式，通过方程 (组 )求解精彩文档实用标准文案解：设第 i 层所用的砖块数为a i ，剩下的砖块数为b i (i = 1、2、3、4、 则) b 9 = 0，且设 b 0为全部的砖块数，依题意，得111a1 = 2 b 0 + 1， a 2=

19、 2 b 1 + 1， ia= 2 b i1+1又 b i 1 = a i + b i11联立得b i 1 -b i= 2 b i1 + 1 即 b i = 2 b i 1 - 111 b i + 2 = 2 (b i1+2)99 b 9 +2 = ( 2 )(b 0 + 2 ) b 0 +2 = 2 2 b 0 = 1022练习 8：十级台阶，可以一步上一级，也可以一步上两级；问上完十级台阶有多少种不同走法？ . 三角形内有 n 个点，由这 n 个点和三角形的三个顶点，这n + 3个点可以组成多少个不重叠 (任意两个三角形无重叠部分)的三角形？甲、乙、丙、丁四人传球，球从一人手中传向另外三个人是等可能的.若开始时球在甲的手中若传了 n 次球，球在甲手中的概率为a n ；球在乙手中的概率为b n .(n = 1、2 、3、4、 ).问传了五次球，球恰巧传到甲手中的概率a 5 和乙手中的概率b 5 分别是多少？若传了 n 次球，试比较球在甲手中的概率a n 与球在乙手