年高考数学理试题分类总汇编：立体几何

1、实用文案2016 年高考数学理试题分类汇编立体几何一、选择题1、（ 2016 年北京高考）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A.1111B.C.D.632【答案】 A2、（ 2016 年山东高考）有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该几何体的体积为（A） 1+2 （B） 1+2 （C） 1+2 （D） 1+2 3333366【答案】 C标准实用文案3、（ 2016 年全国 I 高考）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径. 若28该几何体的体积是3，则它的表面积是（ A） 17（ B） 18（ C）20（ D） 28【答案】 A4、

2、（2016 年全国 I高考）平面 过正方体 ABCD-A1 B1C1D1 的顶点 A， / 平面 CB1D1， I 平面 ABCD=m， I 平面 ABB1 A 1=n，则 m， n 所成角的正弦值为（ A）3（B）2（C）31223（ D）3【答案】 A5、（ 2016 年全国 II高考）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ A） 20 （ B） 24 （ C） 28 （ D）32【答案】 C6、（ 2016 年全国 III高考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为标准实用文案（A）18 36 5（B） 54 1

3、8 5（ C）90（D）81【答案】 B7、（2016年全国 III高考）在封闭的直三棱柱ABC A1B1C1 内有一个体积为V 的球，若 ABBC ，AB6，BC8， AA13，则 V的最大值是（ A） 4（B） 9（ C） 6（D） 3223【答案】 B二、填空题1、（ 2016 年上海高考）如图，在正四棱柱ABCDA1 B1C1 D1 中，底面 ABCD 的边长为 3， BD1 与底面所成角的大小为 arctan 2 ，则该正四棱柱的高等于_3【答案】 2 22、（ 2016年四川高考）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是_ 标准实用文

4、案【答案】333、（ 2016 年天津高考）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为 _m3.【答案】 24、（ 2016 年全国 II 高考）, 是两个平面， m, n 是两条直线，有下列四个命题：（ 1）如果 mn,m, n / /，那么.（ 2）如果 m, n / /，那么 m n .（ 3）如果/ / , m，那么 m / /.（ 4）如果 m / / n, / /，那么 m 与所成的角和 n 与所成的角相等 .其中正确的命题有 .( 填写所有正确命题的编号）【答案】5、（ 2016 年浙江高考）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），

5、则该几何体的表面积是cm2，体积是cm3.标准实用文案【答案】 72326、（ 2016 年浙江高考）如图，在ABC中， AB=BC=2， ABC=120° . 若平面 ABC外的点 P和线段 AC上的点 D，满足 PD=DA， PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是.【答案】12三、解答题1、（ 2016 年北京高考）如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD ， PAPD ， PAPD ，ABAD ，AB1， AD2， ACCD5.（ 1）求证： PD平面 PAB ；（ 2）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值；3）在棱PA上是否存在点M，使得BM

6、/平面PCDAM的值；若不存在，说明理由.（？若存在，求AP【解】面 PAD面 ABCDAD面 PAD面 ABCD ABAD，AB面 ABCD AB 面 PAD PD 面 PAD标准实用文案 ABPD又 PDPA PD面 PABz取 AD 中点为 O ，连结 CO ， POP CDAC5 CO AD PA PDPOAD以 O 为原点，如图建系易知 P(0，0，1) ， B(11，0) ， D (0， 1，0) ， C(2，0，0) ，DAOyBC则 PB(11， 1) ，PD (0， 1， 1) ，PC(2，0， 1) ，CD(2， 1，0)x设 n 为面 PDC 的法向量，令 n(x0，y0

7、 ,1)nPD01， 1,1，则 PB 与面 PCD 夹角有nPCn02n PB1113sincos n, PB2n PB131134假设存在 M 点使得 BM 面 PCD设 AM， M0, y ',z'AP由（ 2）知 A 0,1,0， P 0,0,1， AP0,1,1 ，B1,1,0 ， AM 0, y ' 1,z'有 AMAPM0,1, BM1, , BM 面 PCD ， n 为 PCD 的法向量 BMn 0即1021=4综上，存在M 点，即当 AM1 时， M 点即为所求 .AP42、（ 2016 年山东高考）在如图所示的圆台中，是下底面圆O的直径，EF

8、是上底面圆O'的直径，FB是圆AC台的一条母线.（ I ）已知 G, H分别为 EC， FB的中点，求证：GH平面 ABC；（ II ）已知 EF=FB= 1 AC= 2 3 ， AB=BC. 求二面角 FBCA 的余弦值 .2标准实用文案【解】 ( ) 连结 FC ，取 FC 的中点 M ，连结 GM, HM ，因为 GM/EF ， EF 在上底面内， GM 不在上底面内，所以 GM/ 上底面，所以 GM/ 平面 ABC ；又因为 MH/BC ， BC平面 ABC ，EFMH平面 ABC ，GH所以 MH/ 平面 ABC ；CBA所以平面 GHM/平面 ABC ，由 GH平面 GHM

9、 ，所以 GH/ 平面 ABC z() 连结 OB，ABBCOAOB，EOF以为 O 原点，分别以 OA,OB,OO 为 x, y,z轴，建立空间直角坐标系CBOAyEFFB1 AC23,ABBC ，x2OOBF 2( BOFO)23，于是有 A(23,0,0) ， C(-23,0,0) ， B(0,2 3,0)， F(0,3,3) ，可得平面 FBC 中的向量 BF(0,- 3,3) ， CB(2 3,23,0) ,于是得平面 FBC 的一个法向量为n1( 3, 3,1)，又平面 ABC 的一个法向量为n2(0,0,1) ，设二面角 F-BC -A 为，则 cosn1n217 n1n277二

10、面角 F - BC - A 的余弦值为7 7标准实用文案3、（2016 年上海高考）将边长为1 的正方形 AAOO11（及其内部）绕的OO1 旋转一周形成圆柱，如图， AC长为 2， A1B1 长为，其中 B1 与 C 在平面 AAOO11的同侧。33A1B1AC（ 1）求三棱锥 CO1 A1B1 的体积；（ 2）求异面直线 BC1与 AA1 所成的角的大小。【解析】试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高h 1，底面半径 r 1 确定111计算 S1 11后即得 .3（ 2）设过点1 的母线与下底面交于点，根据1 /1，知 C1或其补角为直线1C 与1 所成的角确定C3， C1得出C 14试题解

11、析：（1）由题意可知，圆柱的高h 1，底面半径 r 1 由11 的长为，可知1 1133S 11sin31121 11111 1，4VC1 1 11S 111h3 312（ 2）设过点1 的母线与下底面交于点，则1 /1 ，所以C 1或其补角为直线1C 与1 所成的角标准实用文案由C长为 2 ，可知C2，33又1 11，所以C，33从而C为等边三角形，得C1因为1平面C ，所以1C在 C 1中，因为1C2， C1， 11，所以 C 1，4从而直线1C 与1 所成的角的大小为44、（ 2016年四川高考）如图，在四棱锥P ABCD 中， AD / /BC ， ADCPAB 90 ， BC CD1

12、AD ，2E为棱 AD的中点，异面直线PA与 CD所成的角为 90 .（ I ）在平面 PAB内找一点 M，使得直线CM / / 平面 PBE，并说明理由；（ II ）若二面角 P CD A 的大小为 45 ，求直线 PA与平面 PCE所成角的正弦值 .【解】（ I ）延长 AB ，交直线 CD 于点 M ， E为 AD 中点， AEED =1AD ，2 BCCD =1AD ，2 EDBC ，AD/BC即 ED/ /BC，四边形 BCDE 为平行四边形，BE/CD， AB CD M， M CD， CM / /BE， BE 面 PBE，标准实用文案 CM /面PBE， M AB， AB 面 PA

13、B， M面 PAB故在面 PAB 上可找到一点M 使得 CM / / 面 PBE .（II ）过 A作AFEC交EC于点F，连结 PF，过 A作 AGPF交PF于点 G， PAB90 ， PA与 CD 所成角为 90 ， PA AB， PA CD ， ABCD=M ， PA ABCD ，EC 面ABCD， PA EC，ECAF且AFAPA， CE 面 PAF， AG面 PAF， AG CE，AGPF且AGAFA， AG 面PFC， APF 为所求 PA 与面 PCE 所成的角， PA 面 ABCD ， ADC =90 即 ADDC . PDA 为二面角 PCD A 所成的平面角 ,由题意可得

14、PDA =45，而 PAD =90, PA AD, BC CD , 四边形 BCDE 是平行四边形， ADM =90 ，四边形 BCDE 是正方形， BEC45 ， AEF = BEC45 ， AFE90 ，2AE ， AF=22 tan APF = AF =AD2 ，4APAP4 sin APF = 1 . 35、（ 2016 年天津高考）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形 OBEF为矩形，平面OBEF平面 ABCD，点 G为 AB的中点， AB=BE=2.（ I ）求证： EG平面 ADF；（ II ）求二面角 O- EF- C的正弦值；（ III）设 H为线段 AF上的点，且AH=

15、2 HF，求直线 BH和平面 CEF所成角的正弦值.3标准实用文案【解析】（）证明：找到AD中点 I ，连结 FI ，矩形 OBEF , EF OB G 、 I 是中点， GI 是 ABD 的中位线 GIBD 且1GIBD2 O 是正方形 ABCD 中心 OB1 BD2 EF GI 且 EF =GI四边形 EFIG 是平行四边形 EG FI FI 面 ADF EG面 ADF（） OEFC 正弦值解：如图所示建立空间直角坐标系OxyzzEFHABGOIxCDyB 0， 2，0 ，C2，0，0 ， E 0， 2，2 ， F 0，0，2设面 CEF 的法向量 n1x，y ，zn1 EFx， ，2 y

16、 0y z 02 0n1 CFx， ， ，2x 2z 0y z2 0 2标准实用文案x 2得： y 0z 1 n12 ，0 ，1 OC 面OEF ，面 OEF 的法向量 n2n1 n2cosn1 ，n2n1 n21，0，02 63 1 32sinn1 ，n216333（） AH2 HF322， ，22，4AHAF2 0 250555设 H x，y ，z AHx2 ，y，z2 2 ，0，45532x5得：y 04z5BH3 2 ，2 ，455BHn164cosBH ，n2557BHn12221356（、 2016 年全国 I 高考）如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中， 面 AB

17、EF为正方形，AF=2FD， AFD90 ，且二面角 D- AF- E 与二面角 C- BE- F 都是 60 （ I ）证明：平面 ABEF 平面 EFDC；（ II ）求二面角 E- BC- A 的余弦值标准实用文案【解析】 ABEF 为正方形 AF EF AFD 90 AF DFDFEF=F AF 面 EFDC AF 面 ABEF平面 ABEF平面 EFDC 由知DFECEF60 AB EFAB平面 EFDCEF平面 EFDC AB 平面 ABCDAB平面 ABCD面 ABCD面 EFDCCD ABCD , CD EF四边形 EFDC 为等腰梯形以 E 为原点，如图建立坐标系，设FDaE

18、 0，0 ，0B 0，2a，0Ca ，0 ， 3 aA 2a ，2a ，022EB 0 ，2a ，0 ， BCa ， 2a ， 3 a ， AB2 a ，0，022设面 BEC 法向量为 mx ，y ，z .标准实用文案2 ay10m EB0 ，即 ax13m BC02ay1a z1 022x13 ，y1 0 ，z11m3，0， 1设面 ABC 法向量为 nx2 ，y2 ，z2nBC =0ax22ay23az20. 即 22nAB 02ax20x20 ，y23 ，z24n0， 3，4设二面角 EBCA 的大小为 .cosm n42 19m n313 1619二面角 EBCA 的余弦值为2191

19、97、（ 2016 年全国 II高考）如图，菱形ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ， AB5, AC6 ，点 E, F 分别在 AD ,CD 上， AECF5，EF 交BD于点 H将DEF 沿 EF 折到D 'EF 位置， OD10 4（）证明： D H平面 ABCD ；（）求二面角 BD AC 的正弦值【解析】证明：AECF5， AE CF，4ADCD EFAC标准实用文案四边形 ABCD 为菱形，ACBD ，EFBD，EFDH ，EFDH AC 6， AO 3；又 AB5， AOOB， OB4， OH AE OD 1，AO DHD H 3，222 ODOHD'H ， D'H OH 又OHI EFH， D'H 面 ABCD建立如图坐标系Hxyz B 5，0，0 ， C 1，3，0 ， D ' 0，0，3 ， A 1， 3，0 ，uuruuuruuur0，6 ，0 ，AB，AD'1，3，3 ， AC4 30ur设面 ABD ' 法向量 n1x ，y ，z，n1A