【KS5U解析】安徽省合肥市庐阳区第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题 Word版含解析

1、合肥一中20192020学年第一学期高二年级段二考试数学（理）试卷一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1.直线的倾斜角为( )a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】求出斜率，根据斜率与倾斜角关系，即可求解.【详解】化为，直线的斜率为，倾斜角为.故选:d.【点睛】本题考查直线方程一般式化为斜截式，求直线的斜率、倾斜角，属于基础题.2.给出下列命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；存在每个面都是直角三角形的四面体；若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是( )a. b.

2、 c. d. 【答案】c【解析】【分析】根据圆柱母线定义，错误；可以举例说明满足条件的三棱锥存在，正确；根据线线垂直关系，可证三侧面两两垂直，正确；根据棱台的定义，判断错误.【详解】圆柱的母线与上下底面垂直，而圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定垂直底面，错误；如图正方体中，三棱锥，因为平面，所以，因为平面，所以，四个面都是直角三角形，正确；三棱锥中，平面，平面，平面，平面，平面平面，平面平面，同理平面平面，所以三个侧面两两互相垂直，正确；根据棱台是由棱锥被平行底面的平面所截，截面和底面相似，而侧棱不一定相等，错误.故选:c.【点睛】本题考查几何体的结构特征，考查线线、面面垂直

3、的判定，注意空间垂直的相互转化，属于中档题.3.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形abcd（如图所示），若，则这个平面图形的面积为（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】在直观图中，abc=45，ab=ad=1，dcbcad=1，bc=1+，原来的平面图形上底长为1，下底为1+，高为2，平面图形的面积为2=2+故选：b4.已知直线平面，直线平面，有下列四个结论，其中正确结论是：( )；.a. 与b. 与c. 与d. 与【答案】b【解析】【分析】由面面平行的性质和线面垂直的定义，可判断的真假；由线面垂直的性质、面面垂直的性质及空间关系，可判断的真假；由线面垂直的判定定理，及面

4、面垂直的判定定理，可判断的真假；根据线面垂直、线线垂直的定义及几何特征，可判断的真假.【详解】过直线做一平面，平面，正确；直线平面，若，则与可能平行，异面也可能相交，错误；直线平面，若，则平面，平面，正确；直线平面，若，则或，则与平行或相交，错误.故选:b.【点睛】本题以空间线面关系的判定为载体，考查了空间线面垂直，线面平行，面面垂直及面面平行的判定及性质，考查空间想象能力，属于中档题.5.在空间直角坐标系中,已知.若分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）a. b. 且c. 且d. 且【答案】d【解析】试题分析：结合其空间立体图形易知，所以且，故选d考点：空间直角坐标系及点的坐标

5、的确定，正投影图形的概念，三角形面积公式6.已知直线和互相平行，则( )a. b. c. ，d. ，【答案】b【解析】【分析】由或重合直线方程的系数关系，求出，再代入直线方程验证，排除重合，即可求解.【详解】若或重合，即，解得或，当时，重合，不合题意，舍去；当，此时.故选:b.【点睛】本题考查直线的位置关系，要明确直线一般式方程与位置关系的充要条件，属于中档题.7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥pabc，过点p作pd底面abc，垂足d在ac的延长线上，且bdad由题中数据及锥体体积公式即可得出

6、【详解】由三视图可知：该几何体为三棱锥（如图），过点作底面，垂足在的延长线上，且，该几何体的体积.故选a.【点睛】本题考查了三棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8.已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为( )a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根据已知条件将直三棱柱补成长方体，作出异面直线所成的角，通过解三角形，即可求解.【详解】如图，将三棱柱补成以为邻边的长方体，连，在长方体中，所以四边形是平行四边形，所以（或补角）为异面直线与所成角，所以，取中点连，则，.故选:a.【点睛】本题考查异面直线所成的角，将几何体补成特殊的图形是解题的关键，用几何

7、法求空间角，要先作再证后计算，属于中档题.9.已知圆，直线l：，若圆上恰有4个点到直线l的距离都等于1，则b的取值范围为 a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】圆上恰有4个点到直线l的距离都等于1，所以圆心到直线l：的距离小于1，利用点到直线距离求出b的取值范围.【详解】因为圆上恰有4个点到直线l的距离都等于1，所以圆心到直线l：的距离小于1，因此有，故本题选d.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了数形结合思想.10.设，若直线与圆相切，则的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】试题分析：因为直线与圆相切,所以，即，所以，所以的取值范

8、围是考点：圆的简单性质；点到直线的距离公式；基本不等式点评：做本题的关键是灵活应用基本不等式，注意基本不等式应用的前提条件：一正二定三相等11.在平面直角坐标系中，若圆与直线交于，两点，且，求的值为( )a. ，b. ，c. d. 【答案】c【解析】【分析】将圆方程与直线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，设，由根与系数关系，得出关系，转化为坐标关系，即可求解.详解】由，消去得，设，此时.故选:c.【点睛】本题考查直线与圆的相交问题，应用根与系数关系设而不求，方程思想是解题的关键，考查垂直关系的运用，属于中档题.12.如图，在三棱锥中，两两互相垂直，点，分别在侧面、棱上运动，为线段中点，当

9、，运动时，点的轨迹把三棱锥分成上、下两部分的体积之比等于( )a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】，两两互相垂直，可证平面平面，若重合，,若不重合，则，点的轨迹以为球心，半径为的球面被三棱锥三个侧面所截的球面的，分别求出三棱锥体积、球的体积，即可求解.详解】，两两互相垂直，所以平面，平面，若重合，,点轨迹是以为圆心半径为在平面上的圆弧，若不重合，则，当在或上移动时，的轨迹是以为圆心半径为1分别在平面上或平面上的圆弧，当在平面内移动时，点的轨迹是夹在上面三个圆弧之间的球面上的点，该部分为球面的，球面的上部分体积为，所以上下两部分体积比为.故选:a.【点睛】本题考查棱锥的体积以及球的

10、体积，其中判断出点轨迹是在以为球心1为半径的球面上是解题的关键，属于较难题.二、选择题（共4小题，每题5分，共20分）13.过点的直线与轴、轴分别交于、两点，若恰为线段的中点，则直线的方程为_.【答案】【解析】【分析】根据条件以及中点坐标公式可得，即可求解.【详解】过点的直线与轴、轴分别交于、两点，恰为线段的中点，则，所以方程为，即.故答案为: .【点睛】本题考查求直线方程，属于基础题.14.在梯形中，.将梯形绕所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体的体积为_.【答案】【解析】【分析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可【详解】由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半

11、径为1，高为2的圆柱，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，几何体的体积为：故答案为：【点睛】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力画出几何体的直观图是解题的关键15.在三棱锥中，平面，且三棱锥的最长的棱长为，则此三棱锥的外接球体积为_.【答案】【解析】【分析】根据题意可得，平面，所以，得出为三棱锥的最长边，根据直角三角形的性质，边的中点到三棱锥的各顶点距离都相等，所以为球心，球直径即为.【详解】平面，平面，,平面，所以三棱锥中最长边为，设中点为，在中，所以三棱锥的外接球的球心为，半径为.故答案为:.【点睛】本题考查几何体的“切”“接”球问题，确定球心是解题的关键，考查空间垂直的应

12、用，属于中档题.16.已知直线交圆于，两点，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】转化为，表示，两点到直线的距离和，设中点为，则到直线的距离和为点到直线距离和的2倍，只需求出点到直线距离范围，根据已知条件求出点的轨迹，数形结合，即可求解.【详解】设中点为，圆，圆心，化为，过定点，所以由，所以点的轨迹为以为直径的圆在圆内的圆弧，其方程为，联立，解得，所以的轨迹为，圆心到直线的距离为，过与直线垂直的直线方程为，与圆的交点为，在点轨迹上，不在点轨迹上，所以到直线距离的最大值为，点到直线的距离为，设点到直线的距离为，.故答案为:.【点睛】本题考查直线与圆的关系，考查相交弦的中点轨迹，要注意轨迹的范

13、围，考查圆弧上点到直线的距离，解题的关键要利用点到直线的距离的几何意义，属于较难题.三、解答题（共6小题，共70分）17.已知圆的圆心在轴上，且经过点.（1）求圆的标准方程；（2）过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据题意，设的中点为，求出的坐标，求出直线的斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案，设圆的标准方程为，由圆心的位置分析可得的值，进而计算可得的值，据此分析可得答案；（2）设为的中点，结合直线与圆的位置关系，分直线的斜率是否存在两种情况讨论，综合即可得答案.【详解】解：（1）设的中点为，则，由圆的性质得，所以，得，所以线段的垂直平分线

14、方程是，设圆的标准方程为，其中，半径为，由圆的性质，圆心在直线上，化简得，所以圆心，所以圆的标准方程为；（2）由（1）设为中点，则，得，圆心到直线的距离，当直线的斜率不存在时，的方程，此时，符合题意；当直线的斜率存在时，设的方程，即，由题意得，解得；故直线的方程为，即；综上直线的方程为或.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆方程的综合应用，属于基础题.18.如图所示，四棱锥中，底面为正方形，平面，分别为、的中点（1）求证：/平面；（2）求三棱锥的体积【答案】(1)见解析；(2) .【解析】【详解】(1) 取的中点,连接,由于,所以,即四点共面.根据三角形的中位线得,所以平面.(2)

15、由于平面,所以,而,所以平面,故.【点睛】本小题主要考查空间直线与平面平行的证明,考查空间几何体体积的求法,考查了平面延伸的方法.由于平面范围较小,故需要将平面扩展开来,扩展的方法就是构造线线平行来扩展,即利用来扩展这个平面,再结合三角形的中位线即可证得线面平行.19.已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的角平分线所在直线方程为（i）求顶点的坐标；（ii）求直线的方程【答案】（1）.（2）.【解析】分析：（i）设顶点的坐标为；由顶点在直线上，所以 在直线上， 列方程组求解即可；（ii）设顶点关于直线的对称点为，根据中点在对称轴上,以及直线垂直斜率之积为，列方程组求得的值，利用两点式可得结果.

16、详解：（i）设顶点的坐标为；因顶点在直线上，所以 由题意知的坐标为，因为中点在直线上，所以，即； 联立方程组，解得顶点的坐标为 （ii）设顶点关于直线的对称点为，由于线段的中点在在直线上，得方程，即 由直线与直线垂直，得方程，即； 联立方程组，得 显然在直线上，且顶点的坐标为，所以直线的方程为，整理得.点睛：本题主要考查直线的方程以及解析几何中的轴对称问题，属于中档题. 解析几何中点对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，关于直线的对称点，利用，且 点 在对称轴上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式

17、求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解.20.如图1，矩形中，、分别为、边上的点，且，将沿折起至位置（如图2所示）连结、，其中.(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】【分析】（1）由已知条件求出，在中，用勾股定理的逆定理可证，即可证明结论；（2）过作交于，结合（1）可证，可得为二面角平面角，解直角，即可求解.【详解】(1)连结，由翻折不变性可知：，在中：，在图1中利用勾股定理得：，在中：，又，平面，平面，平面；(2)解：由(1)知平面，过作交于，则面.，为所求二面角的平面角.又，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面

18、垂直的证明，注意条件中隐含垂直关系的挖掘，考查求空间角，要体现“作”“证”“算”三步骤，属于中档题.21.如图，三棱锥中，平面，点，分别为，的中点.(1)求证：平面；(2)是线段上的点，且平面.确定点的位置；求直线与平面所成角正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)为靠近的的一个三等分点；.【解析】【分析】（1）由已知条件可证，即可证明结论；（2）连结，交于，则是的重心，根据线面平行的性质定理，可证，结合重心的性质，即可确定点位置；作于，有，从而有平面，得到是直线与平面所成的角，解直角，即可得出结论.【详解】(1)，为中点，平面，平面，平面.(2)连结，交于，则是的重心，且，平面，平面，平面平面，即为靠近的的一个三等分点.作于，则，平面，是直线与平面所成的角，且，直线与平面所成角的正弦值是.【点睛】本题考查线面垂直的证明，以及线面平行性质定理的应用，考查空间角，要注意角“作”“证”不要遗漏，属于中档题.22.已知圆，直线的方程为，点是直线上一动点，过点作圆的切线、，切点为、.(1)当的横坐标为时，求的大小；(2)求四边形面积的最小值；(3)求证：经过、三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.【答案】(1)；(2)；(