平面三次B_zier曲线间的一种延拓方法

1、第34卷第6期 2011年6月合肥工业大学学报(自然科学版JO U RN AL O F H EFEI U N IV ERSIT Y OF T ECH N OL O GY收稿日期:2010 06 01基金项目:合肥工业大学大学生创新实验计划资助项目(2009CXSY183作者简介:曹德才(1989-,男,安徽六安人,合肥工业大学硕士生;郭清伟(1968-,男,安徽濉溪人,合肥工业大学副教授,硕士生导师.平面三次B zier 曲线间的一种延拓方法曹德才1, 周 全2, 郭清伟1(1.合肥工业大学数学学院,安徽合肥 230009;2.合肥工业大学计算机与信息学院,安徽合肥 230009摘 要:文章在

2、保持G 1连续的条件下,将一条已知的平面三次B zier 曲线延拓到另一条与其不相邻接的三次B zier 曲线,其中的过渡曲线也为三次B zier 曲线,而且中间的过渡曲线形状可以由用户加以调整,进而对近似于曲线弧长、曲线能量、曲率变化率的几类目标函数分别极小化,以生成各种光顺的曲线;利用所给方法做了一些2条不相连接的平面三次B zier 曲线延拓的实例,并与已有结果进行比较,结果表明所提出的方法优于已有的方法。关键词:B zier 曲线;G 1连续;控制顶点;过渡中图分类号:T P391 72 文献标识码:A 文章编号:1003 5060(201106 0957 04An extension

3、 method for plane cubic B zier curvesCAO De cai 1, ZH OU Quan 2, GUO Q ing w ei 1(1.S chool of M athem atics ,H efei Un iversity of T echnology,H efei 230009,China; 2.S chool of Compu ter an d In formation,H efei Uni versity of Techn ology,H efei 230009,C hinaAbstract:This paper pr esents a method t

4、o extend a given plane cubic B zier curve to ano ther nonadja cent cubic B zier cur ve under G 1continuous conditio ns.T he transition curves are also cubic B zier curves.T he shape of the transitio n curves can be adjusted by the user and v ar io us fairing curves are constructed by minimizing the

5、objectiv e functions of appr ox im ate ar c leng th,energ y and cur vature variation o f the curves r espectively.So me ex amples of the extension of two nonadjacent plane cubic B zier curv es are g iven and the obtained results are co mpared w ith the know n ones.It is pro ved that the presented me

6、tho d is better than the know n ones.Key words:B zier curv e;G 1co ntinuity;co ntrol vertex ;transition0 引 言B zier 曲线/曲面、B spline 曲线/曲面、NURBS 曲线/曲面在曲线/曲面造型中被广为应用,其中B zier 曲线/曲面和B spline 曲线/曲面是CGAD 中最基本和最重要的造型工具,有着广泛的应用。而在实际工程中,三次B zier 曲线/曲面和B spline 曲线/曲面应用最为广泛。在CAD 系统中,经常会遇到如下问题:将2条不相连接的平面B zier 曲

7、线拼接起来,其中间过渡曲线也是B zier 曲线,并且在连接点处要达到某种程度的光滑度。文献1提出了对于B spline 曲线的一种延拓方法,其所延拓的曲线同原曲线在拼接点处达到了曲线的最大连续性,即对于三次B spline 曲线,在拼接点处可以达到C 2连续;文献2则采用了G 2连续为约束条件对三次B zier 曲线进行延拓;文献3利用几何方法给出了平面三次B zier 曲线的一种过渡方法,所构造的过渡曲线与原曲线在拼接点处达到G 1或G 2连续;文献4定义了带2个参数的多项式曲线,分析了其几何意义并给出了曲线的几何作图法;文献5提出了一种带1个形状参数的二次B zier曲线的扩展;文献6则

8、将其推广成n次B zier曲线的扩展。本文利用文献7中的带2个形状参数的三次B zier曲线的扩展曲线作为中间媒介,在保持G1连续的条件下,将2条不相邻接的平面三次B zier曲线拼接起来。根据2条平面三次B zier曲线的相对位置的不同,其媒介曲线可以是1条,也可以为2条。同时,本文给出了媒介曲线的具体生成方法,并与文献3中的方法进行比较。1 过渡曲线的构造假设有2条平面三次B zier曲线P(u和R(v,其控制顶点为P i和R i(i=0,1,2,3,如图1所示。令B i,2=2it i(1-t2-i,0 t 1(i=0,1,2为二次Bernstein多项式8。现引入带有形状参数 、 的调

9、配函数7b i(t(i=0,1,2如下:b0(t=B0,2(t(1- t=- t3+(2 +1t3-( +2t+1,b1(t=B1,2(t1+ (1-t2+u t2=( - t3+( -2 -2t2+( +2t,b2(t=B2,2(t1- (1-t= t3+(1- t2,其中,-2 , 1,则称曲线r(t= P3b0+Qb1+ R3b2是控制顶点为P3、Q、R3的带有形状参数 、 的三次B zier曲线的扩展。图1 2条不相邻接的平面三次B zier曲线1 1 使用1段曲线进行拼接如图1所示,此时P2P3与R2R3不平行,显然延长P2P3与R2R3必交于一点Q,以P3、Q、R3为控制顶点构造带

10、有形状参数 、 的三次B zier 曲线的扩展曲线r(t=P3b0+Qb1+R3b2,由文献7可知,r(t与P(u和R(v相连,并且在拼接点处显然为G1连续。为了确定形状参数 、 的值,引入曲线弧长、曲线能量9、曲线变化率的近似表达式为:E1= 10 r (t 2d t(1E2= 10 r (t 2d t(2E3= 10 r (t 2d t(3 通过极小化目标函数(1(3式确定自由变量 、 的值,由 E i/ =0, E i/ =0(i=1,2,3分别得到:(4P23-4P3Q+16Q2+10P3R3-20QR3+10R23 +(4Q2-8P3Q-10QR3 =20P3Q+20QR3-10P3

11、R3-5P23-20Q2,(4Q2-8P3Q-10QR3 +16Q2 =10P3Q-20Q2(42(P3-Q2 +(P3-Q(Q-R3 +(P3-Q2-(P3-Q(Q-R3=0,(P3-Q(Q-R3 +2(Q-R32 +(Q-R32-(P3-Q(Q-R3=0(5(P3-Q2 +(P3-Q(Q-R3 =0,(P3-Q(Q-R3 +(Q-R32 =0(6由(4式系数矩阵的行列式值为:D1=4P23-4P3Q+16Q2+10P3R3-20QR3+10R234Q2-8P3Q-10QR3 4Q2-8P3Q-10QR316Q2= 64P23Q2-(P3Q2+100Q2R23-(QR32+60Q2(2Q-R

12、32>0,可得: =D2/D1, =D3/D1(7其中:D2=20P3Q+20QR3-10P3R3-5P23-20Q24Q2-8P3Q-10QR3 10P3Q-20Q216Q2,D3=4P23-4P3Q+16Q2+10P3R3-20QR3+10R2320P3Q+20QR3-10P3R3-5P23-20Q2 4Q2-8P3Q-10QR310P3Q-20Q2。因为(5式、(6式系数矩阵显然是满秩的,直接得:958 合肥工业大学学报(自然科学版第34卷=2(P 3-Q2(Q -R 32-3(Q -R 32(P 3- Q(Q -R 3+(P 3-Q(Q - R 3 24(P 3-Q2(Q -R

13、32-(P 3-Q(Q -R 32,=2(P 3-Q2(Q -R 32-3(P 3-Q2(P 3-Q(Q -R 3+(P 3-Q(Q -R 324(P 3-Q2(Q -R 32-(P 3-Q(Q -R 32(8=0, =0(9根据以上结果,易画出满足曲线能量、曲线变化率最小的三次B zier 曲线的扩展,如图2所示。图2 本文方法所得过渡曲线如果用文献3所给的方法,对应同样情况的过渡曲线如图3所示。图3 对应图2的文献3中方法所得过渡曲线显然,本文所提供的计算方法要比文献3中的方法简单一些。1 2 使用2段B z ier 曲线进行拼接如图4所示,此时P 2P 3与R 2R 3平行,分别延长P

14、2P 3和R 2R 3至Q 1和Q 2,连接Q 1和Q 2,在Q 1Q 2上任意取一点Q 。则由P 3、Q 1、Q 为控制顶点的带有形状参数的三次B zier 曲线的扩展曲线和由Q 、Q 2、R 3为控制顶点的带有形状参数的三次B zier 曲线的扩展曲线将曲线P (u和R(v拼接起来,且在连接点处P 3、Q 、R 3为G 1连续。其形状参数的确定方法与1 1中相仿,结果如图5所示。在此种情形下,不能用文献3中计算方法来生成拼接曲线,而用本文所提供的方法较简单。图4 不相邻接的平面三次B zier 曲线959第6期曹德才,等:平面三次B zier 曲线间的一种延拓方法图5 本文方法所得的2条过

15、渡曲线2 结束语在保持G1连续的条件下,将2条不相邻接的三次B zier曲线连接起来,其中间媒介也为B zier曲线。根据2条三次B zier曲线的相对位置,其媒介B zier曲线可以是1条,也可以为2条。同时,本文给出拼接B zier曲线的具体生成方法,并与文献3中的方法作了比较。本文直接用文献7中的曲线作为过渡曲线的方法比文献3用几何方法生成过渡曲线的方法要简单,且可以处理文献3不能处理的情况。但本文没有给出平行情况时,应如何取线段延长的长度和Q,才能使过渡曲线令人满意。参 考 文 献1 H u Shim in,Tai C L,Zh ang S on ghai.An exten sion

16、algorithm for B splin e by cur ve unclam pingJ.Computer Ai ded Design,2002,34(5:415-419.2 周元峰,张彩明.G2连续约束下三次B zier曲线的延拓J.计算机辅助设计与图形学学报,2005,17(3:425-430.3 王维国,刘利刚,王国瑾.三次B zier曲线间的几何延拓算法J.计算机辅助设计与图形学学报,2006,18(12:1911-1917.4 严兰兰,梁炯丰,黄 涛.带形状参数的B zier曲线J.合肥工业大学学报:自然科学版,2009,32(11:1783-1788.5 韩旭里,刘圣军.二次B

17、 zier曲线的扩展J.中南工业大学学报:自然科学版,2003,34(2:214-217.6 刘 植.B zier曲线的扩展J.合肥工业大学学报:自然科学版,2004,27(8:976-979.7 邬弘毅,夏成林.带多个形状参数的B zier曲线与曲面的扩展J.计算机辅助设计与图形学学报,2006,18(12:2607-2612.8 王仁宏,李崇君,朱春钢.计算几何教程M.北京:科学出版社,2008:106-118.9 Zhan g Caiming,Zhang Pifu,Chen g Fuh ua.Fairing s plinecu rves and surfaces by min imizi

18、ng energyJ.Compu ter Aided Des ign,2001,33(13:913-923.(责任编辑 张秋娟(上接第847页法,增加6个方向模板,提高了边缘定位精度,并且对于边缘检测后的钢管表面裂纹进行阈值分割和形态学膨胀,提取裂纹边缘并且进行连接。实验表明,该算法能够有效地对钢管表面裂纹进行提取,对于实际工程中的裂纹检测与量化具有重要意义。参 考 文 献1 于 彬.基于数字图像处理的陶瓷瓶裂纹检测研究D.武汉:武汉理工大学,2007.2 胡浪涛,何辅云,沈兆鑫.油气管道高速漏磁检测系统中数据压缩研究J.合肥工业大学学报,2009,32(3:320-323.3 Li J,Tang X K.Comparing study of some edge detection algorithm sJ.Information T ech nology,2007,38(9: 106-108.4 Jagadish H P,S hamb havi D S.A novel digital algorithm forS obel edge detectionJ.C om munications in Computer an d Informat