离散傅里叶变换DFT试题

1、离散傅里叶变换（DFT）填空題N-（1> 某序列的DFT表达式为X仗）=丫）wy.由此可以看出该序列时域的长«-<）度为变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是IW： N:MN-1（2某序列DFT的表达式是Xa）= X*（/OlVf 由此可看出.该序列的时域长度10，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是（3）如果希望某信号序列的离散谱是实偶的.那么该时域序列应满足条件解：纯实数.偶对称8（?2 7 1）线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为/二尹耐，则系统 刃（S）的极点为:系统的稳定性为-系统OM立冲激响应/?（舁）的初值为:终值解.Z=-,Z2=-2：不稳

2、定:加0）4：不存在（5）采样频率为巧Hz的数字系统中.系统函数表达式中代表的物理意义是其中时域数字 序列xn的序号n代表的样值实际位a是: x（n）的N点dftX （約中序号£代表的样值实际位a又是解：延时一个采样周期T = 1/F . hT = n/F .=普< 6)已知 xn = 123,2上 k = 04,2,3,4j/td = 1,0,1,-1,0;/: = 0.1234 则 <4川和/«的5点循环卷积为-解：川:®/?伙=x幻® 0幻+ "伙一2-迓£一3=X幻 + 对伙一 2)5 - >4伙 一 3)5

3、 = 0丄 332; £ = 0丄234(7)已知 W? = 3,2,0,2; = 023,"川=4,-2丄一l;k = 0,123则x(«>fOAn的4点循环卷积为O引0灿 3 h2 hl)0"4-11-2""3" 6 川 1/itO力3 h2竝1-24-1124川2灿1川0川3址21-24-10-3灿 3 A(2灿 1灿 0.见3L-11-24 _2_ 7 <8>从满足采样定理的样值信号中可以不失真地恢复出原模拟信号。采用的方法，从时域角度看是):从频域角度看是(解：采样值对相应的内插函数的加权求和加低

4、通，频域截断3.2选择題1着一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特条件，理想条件下将抽样信号 通过即可完全不失真恢复原信号A 理想低通滤波器B理想商通滤波器C理想带通滤波器D理想带®滤波器 解：A 2下列对离散傅里叶变换(DFT)的性质论述中错误的是( 是一种线性变换 具有隐含周期性 可以看作是序列2变换在取位圆上的抽样D利川DFT可以对连续信号频谱进行«确分析 解：D则 X(O)为()。3序列xn=R5(n),其8点DFT记为X(k)匕。？4.已知 x(n)=6(n) N 点的 DFTWn)=X(k),则 X(5)=(A. NB. 1C. 0D-N5已知 xgn其 N

5、点的 DFir x(n) =X(kb则 X0)=解：A6. 一有限长序列x(n)的DFT为X*),则x(n)可表达为: J N-晁X3叱严rNA.BJ N-I hEx(/c)呼 V N 4.UCI N-苻工x®吠rI A*-I0.石工 x(wrN jb-u7.离敬序列x(n)满足x(n)=x(N-nJ：则其频域序列x(k)冇:A. xk|=-xk)B. x(k)=x*(k)C. xk)=x*(-k)D X(k)=X(N-k)解：D8已知N点有限长序列XM=OFT xnj, OWm衣M则N点DFTH；評心门=( A. X© + /)押心伙)B. X(k- /)N 心(k)C计

6、D.wf"9有限长序列 x(n) =+ 50?) 0 < " < N 1 则 X (N - n)=AS5) +计)C7p()f(") 解：CB兀pS) + %(N-N)D7p()7°P(N7)10已知x(m是实序列.如)的4点DFir为X(R)=切;；!则川4永)为(A. 1，小-1- )18. 1. P -1- 71C.八1小10- -1.卜 r J解：Bii-X(k) = X(k + jXi(k)e<k<N- 则iDFT(XR(k)是x(”)的(A.共轨对称分gB.共轨反对称分SC偶对称分SD奇对称分fi解：A12. DFT的

7、物理意义是:个的离散序列X (n)的离散付氏变换X (k)为X (n)的付氏变换XyS)在区间02叮上的A.收敛：等间隔采样BN点有限长：N点等间隔采样CN点有限长S取值C无限长：N点等间隔采样解：B13.用DFT对一个32点的离散信号进行谱分析，其谱分辨率决定于谱采样的点数N.即A. N越大 8. N越小 C N=32D N=64解：A的结果不等于14.对 X, (/?)(0Wr)WNl) fllA(«) (OWrtWNjJ)进行 8 点的圆周卷积，其中线性卷积。A.N严B N =5 NC N严.“2=4D, Nr N声解：D15.对5点有限长序列13052进行向左2点圆周移位后斜

8、到序列（A. 13052B. 52 130C. 05213D. 00130解：C16.对5点有限长序列13052进行向右1点圆周移位后斜到序列（A. 13052B. 21305C. 3052103 0 5 20解：B17序列兀00长度为艸频率采样点数N<M时由频率采样X（k）恢复原序列X（“）时会产生（）现A-频谱泄露8 时域混叠C.频谱混叠C谱间干扰18如何将无限长序列和有限长序列进行线性卷积（）.A.直接使用线性卷积计算B使用FFT计算C.使川循环卷积直接il算D采川分段卷积可采用重叠相加法19以下现欽中（）不属于截断效应.B.谱间T扰C.时域混叠A.频谱液露0.吉布斯（Gibbs）

9、效应20若序列的长度为M要能够由频域抽样信号X*）恢复原序列.而不发生时域混叠现则频域抽样点数N需满足的条件是>M<M<2M>2M21个理想采样系统，采样频率.=10 采样后经低通GU ）还原,G(JQ) = %H"”：设输入信号：x(t) = cos6m.则它的输出信号Wt)为：()B y(r) = cos4m D无法确定。10|O| > 5穴A. y(t) =cos6/ff :c. y(f) = cos6;zr + cos4加；c . b现有两输入信号：X(0 = cos2；ff r(f) = cos7;rr则它们相0|£2| > 4

10、"22个理想采样系统采样频率详8 采样后经低通G（j ）还原, Gg）|0|<4=应的输出信号丫讹）和丫2（小A. yi（t）和y2（t）都有失真:8y,（t）有失真.丫2（t）无失真;C. yi（t）和y2（t）都无失真:D. yft）无失真.y2（t）有失真。23在对连续信号均匀采样时，若采样角频率为fs.信号最高截止频率为fc则折叠频率为（解：D24在对连续信号均匀采样时，要从离散采样值不失真恢复原信号，则采样周期L与信号报岛截止频率人应满足关系（>Vfh<Vfh<V(2fh)25设某连续信号的最高频率为5kHz采样后为r不失真的恢复该连续信号，雯求采样

11、频率至少为HZc (26如果使用5kH2的采样频率对某连续信号进行无失真的数字信号处理，则信号的最扁'频率为Hz.（27婆从抽样信号不失真恢复原连续信号.应满足下列条件的哪几条（I ）原信号为带限（II）抽样频率大于两倍信号谱的最高频率（1【1）抽样信号通过理想低通滤波器A【、HB.IK IIICl . IllD【、II > nt解：D问答题（1）解释DFT中频谱混迭和频谱泄漏产生的原W，如何克服或减圳答：如果采样频率过低再DFT计算中再频域出现混迭线性.形成频谱失真：需提商采样频率來克服 或减弱这种失真。泄漏是由于加有限窗引起，克服方法是尽S用旁小生槪窄的窗函数。（2）在A/D

12、变换之前和D/A变换之后都姜让信号通过一个低通滤波器.它们分别起什么作用答：在A/D变化之前让信号通过一个低通滤波器是为r隔制信号的报高频率，使其满足出采样频率 一宦时，采样频率应大于等于信号Ji商频率2倍的条件。此滤波器亦称位只抗折叠"滤波器.在D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器.是为了滤除高频延拓谱.以便把抽样保持的阶梯形 输出波平滑化故称之为“平滑“滤波器。（3）用DFT对连续信号进行谱分析的误差问题有哪些答：混叠失真：截斷效应（频谱泄漏入栅栏效应（4）画岀模拟信号数字化处理框图并简要说明杷图中毎一部分的功能作川。答：框图如下所示第1部分：滤除模拟信号高频部分：第2部分

13、：模拟信号经抽样变为离散信号：第3部分：按照侦制 契求对数字信号处理加工：第4部分.数字信号变为模拟信号；第5部分：濾除高频部分平滑模拟信号（5）“一个信号不可能既是时间有限信号.又是频带有限信号”是信号分析中的常识之一-试论述之。答：由傅里叶变换的尺度变换特性可知信号在时域和频域中尺度的变化成反比关系即在时域中带宽越宽，在频域中带宽越窄反之.在时 域中带宽越窄.在频域中带宽越宽0所以不可能出现在时域和频域都为无限宽或者有限宽的信号。（6）试述用DFTil算离散线性卷积的方法答“1 算长度为M.N两序列的线性卷积，可将两序列补零至长度为M+Nb而后求补零后两序列的DFir.并求共乘枳，最后求乘

14、积后序列的lOFT,可得原两序列的线性卷积。(7) 已知X(k)、Y(k)是两个N点实序列x(nh y(n)的OFTtfl.今需要从X(k)、Y(k)求x(n)、y(n)的值，为了提為 运算效率.试用一个N点IFFT运算一次完成。解：依据题意x(/7)oX伙),y(/?)oy伙)取序列Z伙)=X伙)+ 伙)对Z伙)作N点IFFT可斜序列Z(n).又根据DR性质IDFTX(k) + jYk) = lDFTXk) + jlDFTY 伙)= x(") + yn)由嫌题可知.xn),yn)都是实序列。再根据zn)=xti) + jyn).可得x(/i) = Re2(/i)y(“)= Im z

15、(R)(8) 设H是线性相位FIR系统已知H中的3个零点分别为1，1+j-该系统阶数至少为多少解：由线性相位系统零点的特性可知，Z = 1的零点可號独出现.Z=08的零点需成对出现.即K也是其零点之一，z = l + 7的零点需4个1组，其它三个= 1-7 , "字，"字，所以系统至少为？阶。计算1 讣算下列序列的N点OFT：(1>A(/l)= J(«)(2)xn) = <5(/i 一 如),0 <n<N(4)jv(n) = cos(,0 < /? < N0<” < NO <m< N N 丿(5>/

16、(“) = “(”)-"(" 一如),0 < “0 < N(6)A(rt) = 4 + cos'( ,H = 0,L., N NAM解：(1) X(k)=YdG)W； = 5(0) = L0<k<N-lN-<2）X 伙）=5（" -砧）X R,（小 wf = WF ,Q<k<N-<3）Q<k<N-（4）X（£）= £cos（"?n）wy =丄£（/亍*"«=0 N2 fiM）/ 、J _J _ gT"（如0_/吊） + _/磅（

17、i）.严讪_.上也（如E）,Y+ e N/卄）_严（5）T学 j Wsin（伙 + m）7r）r罟 EnWsin（k-?）;z7N）sin（伙+ "i）;r/N）1 sin（伙一1）兀）2N, k ="诫 k = -in 20,其它Nl心 Il_Wg x（Q=2：uS）-M“-）Wy =工吟= Nfj=0«=01 一欧口厂心o-l"2,"血-"2 Wn"Wnyy N-k；2""77ZT72Wn Wnj2打仇厂1）/（2旳sin（w加/N）sin（创 N）（6）g +才2/r ；n C N.4加Jne N

18、+2+e2丄討+丄片s2 449 1 TT7-2A- 1 "严 N3+評川对照DFT逆变换公式I N-1心)=舟工x?吹"N 2御到X伙）=<?N,2-N. £ = 2 或 k = N-2 40,其它k=02令x（"）和X2朋）表示一个序列及其傅立叶变换利用X（e卅）表示下而各序列的傅立叶变换。 00 = -v（2/0gOO=解：(1) G(e抑)=2>(")水阿=f x(2n)水阿=£兀仗)厂*'fj=-ocf|=-OCA=-oc=側）+ （-1作（幻严*-x 21$止 1寰专&缺2十丄赵)(严)厂扌Jt

19、=-oc2 2-®1 用 1 二 -必= -X9 -) + -x(ke-2 2 A：=-x1 1= -X(e) + -X e2 21 r-If1仃=-X2 2)+X(Y 2)0C505CG(") = £加必加=£g(2少"nv = £兀(少心,=X23对有限长序列X（/I）= 1A1JA1的Z变换x（z）在询立圆上进行5等份取样，御到取样值x（k）即 X 伙)=X(z)-Mb= 0,2,3,4 求X（k）的逆傅里叶变换%,（«）。解:5X(z)=工兀5)君” =1 +君2 +广 +君5/|=0X 伙)= X(z)= + W+

20、W+W =2 + 1样 +”5)=口(加n-O兀i(畀)=2,044.04.设 “) = 3 炭")+ 2J(«-2)+4J(«-3)(1) 求 X(“)的 4 点 DFT. 若y(“)是兀与力(”)=5(")+55("-1)+炭“一3)的4点循环卷积，求y(n)及其4点df 解： X 伙)=fWr = 3 + 2耐* + 4VV/*”0 H(k) = ±/?(")H7* =1 + 5U7+4H广/I-0Y&)=X(灯H(灯=(3 + 2比严+4叱严)(1 + 5昭+4昭*)=3 + 2眄* +4昭* +15耐+10

21、1化r + 20昭* + 12比厂+8昭* + 16必<孑 =3 + 2比"+ 4 昭女 +15 昭 +10 昭* +20 + 12昭* + 8W7 + 16咒"=23 + 23W + 18眄* + 26 吟由上式御到>(/!)= 23J(zi)+23J(« 一 1)+18J(« - 2)+265® - 3)5已知4«) = “(")+ 3和-1)+ 3 死?- 2)+ 2-3)/?(") = "(“)+一 1)+2)+5(n - 3)求x(")与(")的5点循环卷枳&qu

22、ot;(") 解：取Z变换可得X(Jt)=£ xn 府=1 + 3 呛 + 3呛* + 2 卜Fn()/伙)=工心府 i + M +呼+»%"nU由卷积定理可知y(“) = x(”)(")< "" >U伙)=X(Jc)H(k)Vk) = Hk)Xk)= 1 + 3W +3%" +2 昭* +W +3%" +3%弘+ 巴2* + 3昭* + 3%" + 2昭* + %" + 3昭* + 3%弘 + 2%"=1 + 41 愕 + 7“" + 9卜%"

23、; + 8卜咛* + 5%'* +=6 + 6耐+ 7卜冬+ 9%" + 8时由上式得到呛）=6咖+6珈一1）+7"（-2）+95（«-3）+8 和-4）6已知序列x(/i) = 2J(/i)+ J(/2-1)+ J(/-3)的 5 点 DFir 为 X(k)求 Yk)= X"*)的 dft 逆变 换y(d解2对x(n)进行傅里叶变换御X =± .v(/i )淹戚=2 + 耐 + iFJfUJ仞小）= 4 + 2 叫 +2旳* +2 必 +%" +1 他"+2%* + 呛*=4 + 5耐 + 1他"+ 4W

24、' + 2昭*由上式进行逆变换得呛）=4咖+53（«-1）+炎1-2）+4恥一 3）+25（«-4）7.已知一个有隔长序列x（n ） = 3u）+ 2J（zi-5）(1)(2)(3)求它的10点离散傅里叶变换x（k）.已知序列M?）的10点离散傅里叶变换为Yk） = W/X（R）求序列yn）。 已知序列加S）的10点离散傅里叶变换为Mk）= X（k）Y（k）.求序列mn）.解：（1）对x（"）取傅里叶变换得iV-l9x(k) =心)Wh =弘)+2恥-5)网£n-UJl-f)= 1 + 21席=1 + 20 而=1 + 2(-1) = 01&qu

25、ot;9(2)由yk) = Wx(k)可以知道.y(")是曲?)向右循环移位2的结果即>'(«) =- 2)|0 =次"-2)+ 2J(/i-7)(3)由M(R)= Xk)Yk)可以知道"?S)是兀(口)与)心)的10点循环卷积。 一种方法是托计算xS)与)心!)的线性卷积X(/(/?) = %(/?)* y(")=工 x(/)y ("-/)=0QlQ0,0Q4,0,0Qa4然后由下式得到10点循环卷积X/»(«)= D(h_10!)&oS)=OQ500QQ4QO./=-x.= 5J(/i-2

26、)+4J(h-7)另一种方法是先计算y(")的10点离散傅里叶变换iV-l9丫伙)=工血"呼=工0("-2)+2恥-7)网喘+2唏nUfM)再计算乘积M 伙)=X&W&) = (i + 2 唏牝亍-2W約=%/ +2%； +2W；* +4W胪=5 叱亍 +4W盘由上式得到»?(/!)= 5J(/i-2)+4J(/2-7)8若长为N的有限长序列X (n)是矩形序列x(n)=.(1) 求X 5)的2变换并曲出其极零点的分布图。(2) 求频谱xG")并aiii出幅度X(e川的函数曲线。(3)求x(rO的DFir的闭式表示，并与b加)对

27、照。解:»N71 _ y-A* X(Z吃尺=£zN =-7T =八1i-z"严(z-l)z_e八 Kl 丿nG*） n（.-vv）n三严（z -1）极点：Zo=0 （Nl阶h零点:图（a）是极零点分布图（A）3fx（e）=X（z）lZ-f1-严1y" -片e -N N 仃 "仃艸 e - -e -f .b-AVsinpMV2丿 NTe - w I sin 2）sin（N 迈丿sin（?）N-1 CO2图（b）所示的是频谱幅度AMn-0I W|VX/e）|的函数曲纟匕_呼 _ 1-.- =x（丹1-掙> ffdi=kN£=00,

28、k = 2N-可见，X （k）等于x（eM旌N个间隔频率点普k（k=o丄N-l）上的取样值9已知序列x（«） = 4J（/i）-3J（«-1） + 2J（«-2）+ J（h-3）和它的6点离散傅里叶变换X（灯（1）若有限长序列y（"）的6点离散傅里叶变换为丫0） =（灯求y（”） °（2）若有限长序列U（"）的6点离散傅里叶变换为X&）实部.即U伙）= ReX（k）,求U（"）（3）若有限长序列vS）的3点离散傅里叶变换W（灯=X（2灯k =（0,1,2）. 求vO解：(1)由y(k) = W*X(k)知 y(n)是

29、兀)向右循环移位4的结果，即y(n)= x(” -4几=4J(n - 4)+ 3 J(n - 5)+ 2J(«) +-1)5(2) X(k)=4(5(町+3(5(” 一 1)+250?-2)+5("-3)W/"Jl-O=4 + 3验 +2%2* +曲X伙) = 4 + 3»Vr +2W7" + VVReX&) = *x伙)+X3= l4 + 3 叱 +2肪 +恣 +4 + 3 咱 +2 吃 2* +吃3' = 护+ 3叱+2吒* +吒* +3吒* +2W；"* +府=丄b + 3嗽+ 2VV；-* + 2叱严+ 2比r

30、 + 3叱弘2L66666 J由上式御到u(/?) = 4<5(") + -1) + J(/i - 2)+ J(/i-3)+- 4)+ J(/? -5)2 x(2k)=f=1>(训孑+i>(“w严"UN0NUn3=丈血府+W产丈心+ 3府nUJji-0=£面)+ 3)罗,k = 0,1,2心)由于所以即u伙）=£ Ed%尬=X（2k） = f bS）+ 3）wr，鸟=0,1,2心）«-（v（/i） = x（M）+ 心 _ 3）, = 0,1,2v（O）= a（O）+ .v（3）=510,v（"） = 5J（/2）+

31、3J（/i 一 1） + 2J（/i 一 2）或设x（"）是长为N的序列.X（Z）M它的Z转换。用x（"）构成下列3个长为2N的序列X ），0<n<N-0,N<n<2N-X, （«）='V=x（l）+x（4）= 3 v（2）= x（2）+%（5）= 2X2（R）= H"）x（n N ）咛为偶数20,«为奇数用X（Z）的取样表示每个序列的2N点DFT.解：（1）因为所以N-NT5Xi（k）= YXiSWz： =H"W2'SJ =刀X SW/J2A'Tfi=0«=0H=0NTfj=

32、0=£©）（养尸«=0Xi（k） = X（异糸即X（k）等于在爪位圆上等间隔的2N点上对X（z）的取样值。N-2N-X2（k）=工好网：=工帥）7（“-"）网：nd«-）,v-l*=£ x（n WF - Z- N WJA'TItfi=0fi=0W为x（n）的2变换是X（z）AHx（n-N）的Z变换是zXC） 所以,_ 八. .竺女fi=0=2>SX/莎T尸=x（/莎）«=0NiJ：2x I2龙,2用(士心-nW, =2 莎 yNX(庐) = (-1/x(c )/1=0最后得到2丸0,X2(k) = 1 + (-

33、 1/1x(/*) = - 2X(6*£为偶数 k为奇数(3)因2N-N-IAM/ X3(z)= 2>(小讥 2>(2力9 = 2>(甘欣(円”()r-Ur-O所以2 NTj 2疋 ¥j2 用*X,(k)=Jx,nyv=X,(e ) = X(e ), k=0h2N-l «=o这恿味着X3伙)是由两个X(灯衔接起來得到的.11、设/!(")是一个e = 8并关于卄= 3.5对称的序列。(")是/«(")的4点循环移位序列，即/J, (/! )=/?,(/!-4) y?X«)(1) 求/q (")的DFir与g(”)的DFT Z间的关系。(2) 由hn)和/?2(町?构成一个FRI数字滤波器.试问它们是线性相关数字滤波器吗为什么如果是.时 建是多少(3) 如果人G)对应于一个截止频率为只/2的低