数列递推关系与单调性

1、精心整理数列与函数的关系：类比函数（单调性与周期性） 求数列的通项公式：法一：直接求 an;法二：先求Sn，再求an，要注意n的变1.已知 Sn =2an +1 求 an 2.已知 Sn = 2an +1 求 an 3.已知ai =1,Sn =2an半+2，求a.注意序号的变化.非线性的Q1.已知 an>0， 2Sn=an+an-2 ；求 an2.已知 an>0 , 4Sn=a2+2an，求 a.13.已知 an >0， 2S1 =an +，求 an' an总结：（1） 4_ S,n =1Sn-Snj, nX2这主要是解题的步骤；（2）决策好先求an还是Sn；(3)

2、Sh = f(an)与 Sn=f(anHi)的区别递推关系: an+ =an 中 f(n)Exe1.已知 ai =1, an+ =an，求 a.2.已知 ai=1, an+ =a2n，求 a.3.已知 a1 =1, an4 =an求an4.已知 a1 =1, an = an1+n(n +1),求an(2)an+ =an f (n)Exe1.已知 a1=1, an 十n=ann+1an2.已知 a1 =1, an+ =a 3.已知 a1, an+ = nan，求 a.(3) an =Aan+B ( A1)BBWay1：an*"(an-)an4h _ an 十 B.n十.n n 十Way

3、2.A A AanExe.1 已知 6 =1 , an十=2an +1，求2.已知 ai =1,an+ =3an +1，求 an3.已知 aj =1,an+ 5an + 2，求 an+ f(n) (A Hi)分为两类：1. f (n)=pn +q 2. f(n) =1. an+ = Aan + pn +qWay1八1):护=务+"pWay2= ( 2)： ： a -x( n )1 yAanx. yExel.已知 aj =1,an爷=2an + n，求 an2.已知 a1,a = 3an +2n+1，求 an2.Exe1.已知 a = 1,an 4 = 2an +3“，求 an2.已知

4、 a1 =1,an+ =3an +2n，求 a.3.已知 a1 = h an + = 2 an + 2，求 an4.已知 a1 = 1,an出=2an +3 中2，求 an5.已知 ai =1,an出=2an + 3n +n +1，求 a.(5) an十 f (n)an + p(n)怜:f(叫世Exe1.已知 aj =1,3 = an nr，求 an2.已知卄僞十二話务+ n，求 an£6)ant =Aan十+ Ban ；Wayl.:化三项为两项处理Way2.:公式法处理；这个递推关系的二阶特征根方程为X2 = Ax + B(1)当方程有两个不同根x1,x2,设务=冰12 +tx2，

5、其中t与兀是由首项确定的(2)当方程有两个相同实数根时x1=X2,设an =(Zn+t)Xin，其中t与几是由首项确定的(3)当方和无解时，它将和 周期有关系an=rn(Asinn0 + Bcosn日)way3可以构建方程七;:二Exe1.已知 aa1，an42 =7an12an，求 a.2.已知 ar = a2 =1 ,an42 =5an十-6an，求 an3.已知 aj =a2 =1 ,an42 =4an十-4an，求 an4.已知 a =a =1，aan +ban+ =anH2 +an，求 anWay1找an41 = f(an)对应的背景函数y = f(x)利用函数的不动点f(x) =

6、xWay2：利用特征根方程:ax +bX =ex +d(1)若有两个不相等的根X1,X2，则旦匚'为等比数列; an -X2(2)若方和有两个相等的实数解：则1一为等差数列; an -X1(3)若方程没有实数解，则数列an为周期数列;Exe1.已知 a1=1, an+=a，求 aan -42.已知a1=1,an 一4、亠a*a，求an3.已知a1=1,土，求an4.已知a1=1,an十=，求 anan 3这里要注意，分式结构的变化很多，它可以:an+ an +Aan+ +Ban +C =0就是分式结构的转换,可以是：an卅an +AaM + Ban=0考查没有常数项，同除以 令十色这样

7、就比上面 的模型快(8) an* = AanWay:主要是降幕，取对数;Exe1.已知 a1=1，an+=a2 +2an，求 an12.已知印=1，an十=2a：E，求a.已知a1 =1， an+ =2a2 -1，求 a.(2)已知f1(x)=x，f (f (IllUx川 I) = fn(x)， fn41(x) = fn( f(X)，求 f.(X)n个f已知a1 二1，an+ + an = 2n，求 an(4)(_1)n +1印"，a2，an"an+3anSin2YF(T)n，求 an数列的单调性二函数的单调性(2)a*为单调递增 U an >anU an卡an >0an为单调递减二 an+<anU an卡an <0 an为常数列二an出=an U an十一 an = 0(4)an为摆动数列策略：(1)作差与作商，(2)构建函数Exe1.数列an满足an= n2+)，且为递增的，求a的取值范围;2.数列an满足an=3n-A0，且为递增的，求A的取值范围;3.数列an满足an =3n-)(-2)n，且为递增的，