上海市杨浦区2020届高三数学上学期期中质量调研试题(含解析)

1、上海市杨浦区2020届高三数学上学期期中质量调研试题(含解析)一、填空题1 .函数/(乃=反1的定义域是.【答案】卜2【解析】试题分析：要使/(刈=反，有意义，则2 + xNO,即xN-2,即该函数的定义域为 -2,+w)；故填-2»+oo)考点，函数的定义域.2 .方程取2x+3) = 21gx的解为.【答案】【解析】【分析】解对数方程，首先要注意对数的真数要大于0,再解方程即可得解.【详解】解:解方程WQx+3) = 21gx,可得g(2x + 3)=gd, 3x > 22x+3>0, x>o<x>0x =-域x = 3所以2x+3 = f,解得，即

2、五=3,故答案为:。.【点睛】本题考查了解对数方程，重点考查了对数函数的定义域，属基础题.3 .如图，在正方体/'四一44G4中，直线与G与平面阳4。所成的角等于_.AB【答案】6【解析】【详解】正方体/3844G4中，连接4G交44于点耽连接mb,由题可得：4Gj.44 4。期,所以直线4G，平面8及2,所以直线EG与平面为40。所成的角等于ZMRCX设正方体Z8CD _ 44G4的边长为a,_ 42a所以加r, 85=也sin ZA£BC = A所以BC 2ZMBC.=-所以6【点隋】本题主要考查了线面角知识，关键是作出姥面角对应的平面角，然后再说明该角就 是对应的坡面角

3、，根据图形解三角形即可。4 .己知角a的终边经过点N-L2）（始边为"轴正半轴），则而加=4【答案】一M【解析】【分析】sma = - 00sa =卫由三角函数的定义可得；5 ,§由正弦的二倍角公式可得：sin2a = 2sinacosa,再代入运算即可.【详解】解：因为角a的终边经过点PGL2),2-16sm a = .= = oosa = /= 由三角函数的定义可得J(t)2s 5 ,"(-iy+2254故答案为，.【点睛】本题考查了三角函数的定义及正弦的二倍角公式，属基础题./x_lyo5在 x的展开式中，常数项等于.(结果用数值表示)【答案】-252【解析

4、】【分析】先求出二项式/x_lyoX的展开式的通项公式为乙=XI=(-l/Qx1X再令10一万=0,求解代入运算即可.(x i)10【详解】解：由二项式X 的展开式的通项公式为y y=(f5令1°_力=°,解得,=5,10x9x8x7x65x4x3x2xl= -252(X)10(-D5cA即在 X的展开式中，常数项等于故答案为：一252.【点隋】本题考查了二项式定理及展开式的通项公式，重点考查了运算能力，属基础题.6 .若且2x+y = l,则号的最大值为,1【答案】8【解析】【详解】根据题意，由于且2+丁=1,那么可知1 = 2#注2耐,1:.xy£ 8,1因此

5、答案为8.考点，均值不等式的运用点评，主要是考查了一正二定三相等的均值不等式的求解最值的运用，属于基础题。7 .己知嘉函数P = /Q）的图象经过点/42）,则它的反函数jTYx）为.【答案】/-1W = x2,（x>0）【解析】【分析】1由函数尸二幻为累函数，设了="二将己知条件代入可得y=x2,（'之°）, 再用y表示工，从而求得函数的反函数.1【详解】解：因为函数尸二/（外为诲函数，设尸二文“，则2 = 4",则-5,1即黑函数解析式为"炉，（”。），1即x=y即函数夕=/的反函数为|（幻=/,。之0）,故答案为：rv）=x（xo）【

6、点暗】本题考查了零函数及反函数的求法，属基础题.8 .从1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9中任取5个不同的数，中位数为4的取法有种.（用数值表示）【答案】30【解析】【分析】由题意可知，任取5个不同的数，中位数为4,则等价于应在1, 2, 3中取2个数，在5,6, 7, 3, 9中取2个数，再结合组合知识求解即可.【详解】解：从1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9中任取5个不同的数，中位数为4,则应在1, 2, 3中取2个数，在5, 6, 7, 8, 9中取2个数，即不同的取法有=3x10 = 30故答案为，30.【点暗】本题考查了排列、组合的有关知识，重点考查了

7、中位数的概念，属基础题.6乃9 .己知圆锥的侧面展开图是一个扇形，若此扇形的圆心角为5、面积为15乃，则该圆锥的 体积为.【答案】12元【解析】【分析】先由扇形的圆心角为5、面积为15乃，求出圆锥的母线长及底面圆半径，再利用勾股定理 求出圆锥的高，再利用圆锥的体积公式求解即可.S =15 = lx xl?2【详解】解】由扇形的面积公式2 有： 2 5,解得R = 5 ,“ 6万 ,/ = x5 = 6乃由弧长公式有/ = .,即 5,即该圆锥的母爱长为5,底面圆周长为6万，即底面圆半径为3,由勾股定理可得圆锥的高为疹牙=4,V = -x-x32 x4 = 12%由圆锥的体积公式可得3,故答案为

8、：1拉.【点暗】本题考查了扇形的面积公式、弧长公式及圆锥的体积公式，重点考查了运算能力， 属基础题.sinZ _ y/3cosB10 .在A/fNC中，内角/、6、C的对边分别为、b、匕,若b = 2, a h ,则MBC的面积的最大值等于.【答案】招【解析】【分析】B =-由正弦定理可得3,由余弦定理及重要不等式可得"<4,再结合三角形面积公式即可sin J y/ScosB得解.sin J y/3 cosB【详解】解：因为ab ，由正弦定理可得sin/- sinB ，所以6 =5,又"则,所以-3,由余弦定理可得 配mY+c'_ZkcosB可得，4 = a2

9、+c2-ac ,即4 = a2 + c2-ac>2y/aV-ac = acf 当且仅当a = c=2时取等号，Sfutur = otrsinBSar < - x4 x = y/3即改“4,又皿2 ，所以皿22,即MBC的面积的最大值等于g , 故答案为旧.【点隋】本题考查了正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，重点考查了重要不等式，属中 档题.11 .在高中阶段，我们学习过函数的概念、性质和图像，以下两个结论是正确的：偶函数 /（X）在区间加3<b）上的取值范围与在区间上的取值范围是相同的；周 期函数"X）在一个周期内的取值范围也就是/（*）在定义域上的值域，由此可求

10、函数 ga）= 2|sinx|+19|8sx| 的值域为【答案】荻【解析】【分析】A（x） = 2smx + 19cosx,xe 0,先阅读题意，再将问题转化为求函数L 2的值域，再利用辅助角公式求函数的值域即可得解.【详解】解；因为g(x)= 2|sinx|+19|8"|的周期为不，且为偶函数，则由题意可得,或x) = 21 sin x | +191 cos x | 的值域即为滨A(x) = 2sin x + 19cosx,x 6 0,L 2的值域,-19-A(x) = 2 sin x + 19ccsx = >/365 sin(x + (sin <p = >cos

11、/ =)又J365<365 ,c兀xe 0,又因为2，所以一 65sin = x/365 -12- = 19则当领x + )= l时，函数版x)取最大值J365,又J365>65sin(+?) = J365cosg =，365= 22J365则函数网x)最小值为2,即函数网X)的值域为石行,即函数Mx) = 2|sinx|+19|cosx|的值域为ZJ福故答案为厮1【点睛】本题考查了函数性质的应用，考查了三角函数值域的求法，属中档题. f(201912 .定义在实数集r上的偶函数/满足/(”+1)=1+业"力一/3,则22 +应答案2【解析】【分析】先由已知可得，&quo

12、t;(x + D -2/(” + 1) = -/2(x)» 2/(x)-l 再构造 g(x) = /2(x)-2/(x)然后可得函数g(x)的周期性和奇偶性，而利用函数g(“)的性质得,201920191/ ()-2f()=222,再求解即可.【详解】解：因为八五+D=1 + "/3(x) w/(x+i)-i = /(x)-/2(x) 即 0rs+1)-1)2=2/(公-/2(幻 即/2(“1)_2/(* + 1) = -/2(外-2力-1 令g(x) = /(x)-2/00,则m又+ 1) = -5001,可得函数g(»的周期为2,2019、 su 1、, 1、

13、所以或 ) = 42 x 505 -5)=线一弓)又为“X）偶函数，贝评出二/（幻一2/00为偶函数,又因为岭=一鼠一，所以以一4,g(2019220192)-27(20191-2-)=-2“2019、2 + >/2/()=解得 2 ，2,又x+D = i+亚同三西 )1201920192 + 故答案为：2 .【点暗】本题考查了函数的奇偶性及周期性，重点考登了函数性质的应用，属难度较大的题 型.二、选择题13.己知xwR,则“而x = l” 是 “85”0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件【答案】A【解析】【分析】由sinx,cosx的平方关系：

14、sin2x+cos2x=运算即可得解.详解解：由 sin，x+cos2x =1,当 “sinx=l” 时 可得 “cosx = 0"，当 "cosx = 0 力 时可得“sinx = ±l”，即“sinx=l”是“8sx =。”的充分不必要条件, 故选A.【点睹】本题考查了sinx,cosx的平方关系，重点考查了充分必要条件的判定，属基础题.14.某班有20名女生和19名男生，从中选出5人组成一个垃圾分类宣传小组，要求女生和男生均不少于2人的选法共有()c.【答案】D【解析】【分析】从中选出5人组成一个垃圾分类宣传小组，要求女生和男生均不少于2人，分选出的5人为2

15、女3男，和3女2男两种情况讨论即可.【详解】解：从中选出5人组成一个垃圾分类宣传小组，要求女生和男生均不少于2人,当选出的5人为2女3男时，共有不问选法为二种，当选出的5人为3女2男时，共有不同选法为1°：种，即从中选出5人组成一个垃圾分类宣传小组，要求女生和男生均不少于2人的选法共有种,故选：1【点隋】本题考查了排列组合中的分类原理，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础15 .已知二面角。一1一户是直二面角，雨为直姨，为平面，则下列命题中真命题为( )A.若mua,则用上B.若则m 2C.若州 a,则州上2D.若7a,则【答案】D【解析】【分析】由二面角。一1一#是直二面角，则

16、再结合空间中的线面关系，线线关系，线面垂 直、平行的性质定理，判定定理判断即可得解.【详解】解：对于选项A,若mua,则m与尸相交或或m ,，即A错误；对于选项B,若m'a,则m /或mu",即b错误；对于选项C,若m a,则刑与）相交或mu2或m 2，即C错误；时于选项D,若7。，则,工尸，即D正确，故选：【点睛】本题考查了空间线线、线面、面面关系，重点考查了空间想象能力，属基础题.16 .记有限集合M中元素的个数为且1°卜°,对于非空有限集合4、B,下列结论：若叫则公巴若1我司=|41可，则/=?若风二°,则 /、6中至少有个是空集；若/ne

17、=0,贝ij|YU8HH+|同；其中正确结论的个数 为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】先阅读题意，取特例"=1 , " = 2,可得错误，由集合中元素的互异性可得正 确.【详解】解：对于，取"=0 I#,满足用，但不满足念巴即错误；对于，因为由集合中元素的互异性可得4=6,即正确；对于，取"=1 ,* = 2,满足引=。，但不满足人3中至少有个是空集，即 错误；对于，zne=0,则集合中无公共元素，贝8Hzi+|3|,即正确；综上可得正确，故选：3.【点睛】本题考查了对新定义的理解及集合元素的互异性，重点考查了集合交集、并集

18、的运 算，属中档题.三、解答题17 .在正三棱柱/与C44G中，段尸分别为棱44, 4G的中点，去掉三棱锥4一/耐得到一个多面体玛G在，已知"=6,晤=4求多面体加c一折片的体秘(2)求异面直线声与木。所成角的大小.3r arccas 【答案】(1) 3地,(2)1。【解析】【分析】(1)由匕司-"第1=匕皿-的一匕-3,再结合棱锥与棱柱的体积公式求解;(2)由平行线的传递性可得4m (或其补角)为异面直线4笈与8c所成角，然后在 根斯中求解即可.【详解】解：(1)由图可知% "心二嚏 q 一匕3=x62x4-x x32x4 = 33x/3故多面体疑C 一及匕用的

19、体积为336.(2)因为 U 1, H , 所以比1则N4W (或其补角)为异面直线丝与刀C所成角，在AX即中，AE = AF = 732 +42 = 5 ef = 3,EFcosZAEF = - = 则AE 1。,3ZAEF = arccos即1。，3 aruus 故异面直线ZE与BC所成角的大小为1°.【点暗】本题考查了棱锥与棱柱的体积公式及异面直统所成角的求法，重点考查了异面直战 所成角的作法，属中档题.18.上海市生活垃圾管理条例于2019年7月1日正式实施，某小区全面实施垃圾分类处 理，已知该小区每月垃圾分类处理量不超过300吨，每月垃圾分类处理成本y(元)与每月 分类处理

20、量x (吨)之间的函数关系式可近似表示为 =炉-2则+40000,而分类处理一 吨垃圾小区也可以获得300元的收益.(1)该小区每月分类处理多少吨垃圾，才能使得每吨垃圾分类处理的平均成本最低；(2)要保证该小区每月的垃圾分类处理不亏损，每月的垃圾分类处理重应控制在什么范围？【答案】200吨；口以3001.【解析】【分析】(1)先列出每吨垃圾分类处理的平均成本关于分类处理量上的函数关系，再结合重要不等式 求最值即可，再运算取等的条件；(2)先列出每月获利S元与分类处理量的函数关系，再求解SN0即可得解.【详解】解：(1)由题意可知，每吨垃圾分类处理的平均成本为月处理成本除以月处理量，V 4000

21、0 - zF4000040000 _4nA40000x H2 2. jx 400x =又 X ' X,当且仅当 X ,即x=200时取等号，故工=200时，才能使得每吨垃圾分类处理的平均成本最角(2)设该小区每月获利为$元，则该小区每月获利为月分类处理垃圾的利润减去月处理成 本，S = 3Q0x-y = 300x-(x2 -200x +40000) = -x2 + 500x-400009令一d+500x 4(KKX)N0,解得 1000%三400,又0VX4300,即 1004x4300,故要保证该小区每月的垃圾分类处理不亏损，每月的垃圾分类处理量应控制在110°，则.【点睛

22、】本题考查了重要不等式的应用及二次不等式的解法，重点考查了阅读理解能力，属 中档题,19.己知a是实常数，函数/00 = 3狭1-幻一版1 +噂.(1)若。="求证：函数P = /(x)是减函数；(2)讨论函数"D的奇偶性，并说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)当1,偶函数；当。=1,奇函数，当。/士1,非奇 非偶函数.【解析】【分析】(1)利用定义法，设一1<%<<1,证明玉)一/口2)>°,即可得函数为减函数；(2)分别讨论a的值，观察力=一/(一幻或f(x)= T)是否恒成立./(x) = lg(l-x)-g(l + x) =

23、lg|【详解】解:(1)当。=1 时，1+x,设2 Vl则/一八少3潦T言=3版犒,又 Q_/Xi+/)_(1一/'1+/)=2(巧一玉)>0(l-x1Xl + x2)>1即(1一工以1 +为),gp/(,)-/(x2)>0gp/(xJ)>/(x2)故当时。=1,函数P = /Q)是减函数；(2)由(1)可得，函数> =/(幻的定义域为(一U),因为 /(x) = alg(l - x)- fe(l + x)所以 /(-x) = alg(l +x)-Jg(l-x)贝无)二叩虱1一G+lg(l + x)lgO + G+lgO x) = (a - Dlg(i -

24、 ),显然当。=1时，/(x)+T)= °,即/(x)= -/(t),即函数为奇函数，/(x)-/(-x) = (fl+l)lg(l-x)-g(l + x)=(fl + l)lg|则1 + x,显然当"一1时，xA/(t)= °,即/(x)= /(-x),即函数为偶函数，当awl且”1时，/(X)*-/(-x)a/(x)*/(-X)即函数尸/(X)为非奇非偶函数.故当。=1时，即函数为奇函数，当a = T时，函数为偶函数，当且1，一1时，函数> = /(%)为非奇非偶函数.【点暗】本题考查了利用定义法判断函数的增减性及判断函数的奇偶性，属中档题.20.如图是

25、函数/a)=&sii(m+0)(N>O,仍>0。4*#)一个周期内的图象，将f(x)图71象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移5个单位长 度，得到函数g(x)的图象.（1）求函数/（X）和gG）的解析式；<2）若/（/）=或5）,求8"。3）的所有可能的值；（3）求函数k（x） = /（x） +华（%） （a为正常数）在区间（°9冷内的所有零点之和.1【答案】 /w = 2co«2x, g（x） = 2sin% （2）2 或 h （3）当。=1 时，266。当°va<l时，36U,当。>

26、;1 时，171 万.【解析】【分析】兀（1）由三角函数图象求得/ = 2, 0=2,2,再由三角函数图象的平移可得gG）；由/（%）=用而），解得sm5 = T或8m与=2,再求解3（"°一 丁）即可：. a£cP + 8a+Vo2 +8smx = 与1的大小关系，再解三角方程，结合（3）先解得4,再讨论 4正弦函数图象的对称性求各零点之和即可.2x工工【详解】解：（1）由图可知/ = 2,彳- 即=不，即则/(x)=2sin(2x + ¥)(0V/q；r) y/(0) = 2sin = 2 又% 所以 9,/(x)=2sin(2x + ：)= 2co

27、s2x将> =的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得函数解析式为p = 2cos(2x ； x) = 2cos x71，再把所得图象向右平移万个单位长度，得到函数g（»的图xj？(x) = 2cos(x-) =2sinx象，则2,即/(x)=2oos2x, g(x) = 2sinx.(2)当虱).gp2cos2x0 = 2sinx0 解得 2shi= 即 sin/=-11yMX。=7 an xo2,即=2Jbr- xQ = 2Jbr + xQ = 2/br + , 2或弋 6或6 (keZ)当“如子时,z 乃、 ,d Sr、5r181n(工。-)=sin(2fc

28、r) = -sin=- 所以 3662,xQ = 2br + 当勺 6时,x0=2而+?当6时,sin(x0 -) = sin(2±N + ) = sin =322S：故山*）皿“3的所有可能的值为2或L则在他1则的根之和为a+ x/a2 + 8 >当 4,即。>1时,. a+x/a2 +8sinx =方程4 无解,(3)令产W = x) + "虱x)=0 即 cos2x +，sinx =。，gp 2sin2x-oFsmx-l = 0 wa 土旧+ 8a-+S / 、解得即文一 <,又因为L1,又a>0,所以 4 E（2一+8Q +8smx = .s

29、mx =当4 时，由函数的对称轴方程可得4 在（2无-1）/2，（i/49*wZ）有两个解，且两解之和（如-1）万+汨=4七汽, r(3乃+35n)x9 3万 + 7万 +1 br+35% = = 17br当 4,即a=l时,(2 + 8c 1 不smx = x =次乃+ 一方程4 的解为214无4 9辰Z）,则在（0J的根之和为万 + 5方+ M + + 37万 _ （万+37万）xlO _95%2+T 2+"' + 24 一万,_ a+J，+8 .°口卜 。+8当4,即。"1时，方程51nx-4在如比+时（°«无“9,MeZ）有两个

30、解，且两解之和圻十（比十1）届=4%+/，f一十5、十9二十一十37乃=（"+37万）*10 = 19（br则在（0,19）的根之和为2,综上可得当。1时，函数尸G）在区间（°J9万）内的所有零点之和为175.当。=1时，函数尸（功在区间（°9开）内的所有零点之和为17br + 95% = 266乃. 当。1时，函数尸（力在区间（°，19#）内的所有零点之和为i7br+19（hr = 36br.【点隋】本题考查了利用三角函数图象求解析式、三角函数图象的平移及解三角方程，重点 考查了三角函数图象的性质，属难度较大的题型.21.对于定义在0上的函数，= x）,如果存在两条平行直统4二，=辰+"与4二P二辰+ 4 俗咽），使得时于任意'WO,都有恒成立，那么称函数尸/（外 是带状函数，若4, 4之间的最小距离存在，则称为带宽.（1）判断函数/（Gusmx + c0sx是不是带状函数？如果是，指出带宽（不用证明）；如 果不是，说明理由；（2）求证，函数双幻=&'-1 （XN1）是带状函数；（3）求证，函数以"）=川”一%121兀一/1 （玉）为带