【高考数学培优专题】第27讲三角函数与解三角形

1、【高考数学培优专题】第二十七讲三角函数与解三角形A组题一、选择题1. （2017年山东卷理）在SBC中，角A , B , C的对边分别为，"匕.若乂BC为锐角三角形，且满足,则下列等式成立的是（sinB(l +2osC ) =2 sin A cos C + cos A sin CA.a = 26 B.b = 2a c , A = 2B d , B=2A【答案】A【解析】sin(A + C) + 2sin 8cosc = 2sin Acos C +cos Asin C所以 2sin 5cosC = sin AcosC => 2sin B = sin A => 2/? = 6

2、T» 选 A.2.12016辽宁大连双基测试】AABC中，A8 = 2,AC = 3,N8 = 60°,则cosC=()A.T#n x/6u.33ADa c23/3【解析】由正弦定理得一一=即: = 一一，解得sinC = y；.因为ABvAC所以NCvNB,所以 sinC sinB sinC sin 603cosC = >/l sin2 C =故选 D. 33 .在4%中，内角A,8.C所对的边分别是也c .若02=（一）2+6, C = £, 3则ABC的而积是（ ）A. 3B.C.D.乙乙【解析】由。2=（。一/7）2+6得。2+。2一d=2加一6 .

3、由余弦定理及C = £得。2+从一。2=岫 .所以由 3得27-6 =。，即。/? = 6 .所以 S* =14sin工=二？，故选 C. 2324 .设/XABC的内角4,8, C所对边的长分别为4c,若+ c = 2t1,3sinA = 5sin8,则角 C=（） A. B. -C. D.3346【解析】因为3sinA = 5sin8,所以由正弦定理可得头” = 5.因为+c = 2a,所以。二卫.令a = 5, = 3,c = 7 ,则由余弦定理得cosC = 1,所以。=名,故选A235. (2016 唐山一模)在直角梯形 ABC。中，AB/CD. ZABC = 90

4、6;, AB = 2BC = 2CD, KO cos ZDAC =()10R 3MD.10CT 普【解析】由已知条件可得图形，如图，设 8 = 4,在中，CD2 = AD2 + AC2 - 2 AD xACx cos ADAC ,，a2 = (y/2a)2 +(>/5r/)2 - 2 x -Jia x 45a x cos ADAC，cos ZD AC = ,故选 84 A.一54 B.-515C.1715D.176 .在A4BC中，三内角A,8,C的对边分别为。力,c ,而积为S ,若5 + /=3 + °尸，则cosA等于（）-sinA-1 = cos A ,联立 4【解析】

5、-S +a2=(b+c)2>a2=b2+c2-2bc(- sin A -1),由余弦定理可得 4sin2 A + cos2 A = 1,可得cosA =" 177 .己知锐角A是AABC的一个内角，。力,c是三角形中各角的对应边，若sin2A cos2A = 1,则下列各式正确的 2是（ ）D. b+c>2aJ A =-,由余弦定理得， 3A. b + c = 2aB. b+c<2aC. b+c<2a【解析】由 shrA-cos2 A = 1 得 cos 2A = -1 V 0<A<-2223 r 1a2 =b2 +c2 -bc = (b + c)

6、2 - 3bc>(b+c)2 -(b+c)2 = (b+c)2 /. 2a>b+c ,故选C 44二、填空题8 .在A48C中，内角A,8,C所对的边分别为a,b,c ,已知MB。的面积为3厉，% c = 2,cos4 =-,，则 4a的值为.【解析】因为Ov Av乃，所以 sin A = J1-cos? A =,又 8c =，Z?csin A =斗±/兀=3JU ,则428be = 24> 又b c = 2,得人= 6,c = 4,故=/r+c2 2Z?ccosA = 64, a = 8.9 .如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶

7、O在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达8处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°,则此山 的高度8=m.【解析】依题意，ZBAC = 30 ZABC = 05在AA8C中，可得NACB = 45°,因为AB = 600，由正弦定理可得 _竺二=，即 8C = 300"，在 RtABCD 中，因为 NCBD = 30°, BC = 300底，sin 45sin 30所以tan30° = £2 = 生产，所以。=100倔.BC 30072三、解答题210 . (2017年全国1卷理)48C的内角4, 8

8、, C的对边分别为0, b, c,已知QA8c的面积为一3sin A(1)求 sin8sinC;(2)若 6cos8cosc=1,0=3，求A48c 的周长2【答案】(1) sin B sin C =3(2) AA8C的周长为3+取.【解析】(1)由题设得LacsinBu一，即,csin8 =一, 23 sin 423 sin Aisi n 人由正弦定理得一sin C sin B =.2 3sin A2故 sinBsinC =,3(2)由题设及(1)得cosBcosC-sinBsinC = -> 即cos(8 + C)= 22所以3 +。=2，故4 = N.3 31 2由题设得,Asin

9、4 =一，即Z?c = 8.2 3sin A由余弦定理得+。2儿=9,即3 +。尸一3儿=9,得人+。= 屈.故人48。的周长为3 +屈.1L在AA3C中，。力,c分别是角A,8,C的对边，且满足 f =上出 c cosC（1）求角C的大小： (2)设函数 f(x) = 2sin acosxcosC +2sin2 xsinC- ,求函数/(x)在区间0,§ 上的值域.【解析】(1)在 AABC 中，:如 = C°S > /. (2a b)cos C = ccos B , c cosC： 2sin AcosC = sin BcosC+cosBsinC ： 2sin Ac

10、os C = sin(B + C) = sin A .NA是A48C的内角，sinAH0, .2cosC = l, A ZC =-. 3(2)由(1)可知NC = £, A f (x) = sin2x- -(1 -2sin2 x) = sin2x-cos2x =sin(2x-) 322223由 xeO,工.一-.一且sin(2x £)Kl, . 函数/(x)的值域为正,1.233323212.已知。也c分别是AA5C的角A,民C所对的边，且c = 2,C = -. 3(1)若 A43C的面积等于 JJ,求/：(2)若sinC + sin(8 - 4) = 2sin2A,求

11、A 的值.【解析】(1) " = 24 =/由余弦定理得4 = 1+从一2出?85巳=/+"， 33f 2f2 U A/13。的面积和等于有,.一。/?5山。=>/?,.出? = 4,联立< "+"=>a = b = 2.2ab = 4(2)-.-sinC + sin(B-A) = 2sin 2Asin(B + A) + sin(B - A) = 4sin A sin B cos A = 2 sin A cos A,当 cos A = 0 时，A = ；2"2» 2»c /T当cosAwO时，sinB =

12、2sinA t由正弦定理得。= 2a,联立, "+"，解得。=-b = 2a3 ,Z? = , ：.b2=a2+c2 即 8 =2，又.，= £, .4 =三，综上所述，A = 2或三3'23626B组题一、选择题1 .如果把锐三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为，()A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D. 0由增加的长度决定【解析】设增加同样的长度为x 0,原来三边长为力,c ,不妨设人c, 4 +c由锐三角形，a2+b2c2.新的三角形的三边长为4+X,Z?+X,C+X ,有。+ xK/? + x«c + x

13、 ,又 (a + x)2 +(h + x)2 -(c + x)2 =(a2 +b2 -c2) + 2x(a + b-c) + x2>0 故得到新三角形为锐角三角形，故选C.2 .【2016高考新课标3】在4BC中，B=-, 8c边上的高等于,则cos A =()43A零B.巫10r M10【解析】设8c边上的高线为A。，则8C = 3A。，所以4C = Jc£)2+OC2 =®D，A8 = "4O.由余弦定理,知cos A =AB2+AC2-BC2 2AD2 +5AD2 -9AD22xy/2ADxAD3 .在不等边三角形ABC中，角A,8,C所对的边分别为a

14、,4c,其中。为最大边，如果 sin2(B + C)<sin2 B + sin2 C,则角 A 的取值范围为()【解析】由题意得siYAvsiifB + siifc,再由正弦定理得/ v+c2,即cosA>0YOvAv4，0<A<£ .又。为最大边，三.因此得角月的取值范围是(巳，三).故选D 233 24 .在zlABC中，角 A,B,C 所对的边分别为,己知cosC + (cos A- JJsin A)cosB = 0 , a + c = » 则Z?的取值范围为()A. -<b<B. -<b<C. -<b<D.

15、 <b<2422【解析】由已知得-cos(A+B) + cosAcosBJJsinAcos8 = 0 ,解得B =-.由余弦定理，有从=a2+c2_ccos8.又4+c = l, cosB = l,故=3(a l)2+L 又Ovavl,于是有，尸 <1,即有 2244故选 82二、填空题tanC5 .已知a,b,c分别为MBC的三个内角A,8,C的对边，且一一"=»，- =3,则 =.inn AtanC【解析】由二一 =3知，AC为锐角，作80LAC交AC于。，设BD = h, AD = x,则C0 = 3x,则-02 = 28即(/+9/)一(/?2+/

16、)=8、2=8%，x = l,则。=4.6 .在/XABC 中，bcosC+ccosB = acosC+ccosA = 2 ,且 acosC +JJasinC = Z? + c ,则 AABC 的面积为【解析】:cosC+rcos8 = cosC+ccosA :. sin BcosC + sin CcosB=sin A cos C + sinC cos A,即 sin(B + C) = sin( A + C)， sin A = sin B,所以A = 3 acosC+ccosA =+=b = 2 ,所以。=2.由 acosC + GasinC = + c得4sin(C + £) =

17、2 + c,当C = £ 时，r = 2符合题意.所以S = L/?sinC = Lx2x2xsin£ =.632237 .12016高考江苏卷】在锐角三角形ABC中，若sinA = 2sin3sinC,贝hanAtanBtanC的最小值是【解析】sin A = sin(B + C) = 2sin Bsin C => tantanC = 2tanBtanC,因此tan A tan B tan C = tan A + tan B + tan C = tan A + 2 tan 3 tan C> 2>/24anAtanBtanC => tan A tan

18、 B tan C > 8 ,故所求的最小值为 8.三、解答题38. (2017 年北京卷理)在 AA8c 中，4 =60% c= 7 a.(I )求sinC的值：(II )若a=7,求48C的面积.【答案】/ 1 6 3y/3(I ) sin C = 14(II ) A8C 的面积 S = 6jJ.【解析】I)在ABC中，因为NA = 60°, c =7所以由正弦定理得sinC = £"d = ?xf = &l. a 7 2143(II )因为a = 7,所以c =x7 = 3.7由余弦定理=？ +/ -2Z?ccosA 得7? = lr + 32

19、-2/?x3xl ,2解得 =8或。=-5 (舍).所以ABC 的面积S =1Asin4 = lx8x3x = 6>/L 2229.12016高考山东理数】在AA8C中，角C的对边分别为也c,已知2(tan A + tan8)=上空+处 cos B cos A(I )证明：a+h = 2c, (II)求cosC的最小值.r 八 , ms d sin A sin B sin A sinB【解析】(I)由题意知2 + =+,V cos A cos B ) cos A cos B cos A cos B化简得 2(sin AcosB + sin3cosA) = sinA + sin8,即 2s

20、in(A + 8) = sin4+sinB.因为 A + 3 + C = /r,所以 sin(A + 3) = sin(;r-C) = sinC.从而sin A+sin 3=2 sin C.由正弦定理得a+/? = 2c.（口）由（I）知c = 9,2所以cosC =a2 +b2 -c2 2b381 - 21 - 4 I 7 4 一 +2 "当且仅当。=。时，等号成立.故cosC的最小值为 210 .已知在AA8C中，角力,8,C所对的边长分别为a,且满足h = acosC+csinA .(1)求A 的大小： (2)若cosB =-,BC =5.BD=-BA,求CO 的长. 57【解

21、析】（1）在三角形ABC中，由正弦定理得sinB =sinA cosC+sinC sinA ,因为sin8 =sin万一(A +C) =sin(A + C)所以sin(A + C)= sin AcosC + sinCsin A即 sinAcosC +sinC cos A =sinA cosC +sinC sinA整理得 sin Ceos A = sin Csin A,由 sinCwO,可得 cos A = sin A所以 a = /4.，=, 解得 A C = 4a/2 ,i V25 T(2)在三角形 ABC中，sin g = 71 -cos2 B =,由" => 5 sin

22、B sin A又因为 cosC =-cos(A +B) = - cos A cos B + sinA sin B =10所以A8?,cosC =32 + 25-2x4>/2 x5x = 49 t10A8 = 7,于是由8。=，BA 可得30=1, 7CD2 =BD2+BC2-2BD BC cosB =l + 25-2xlx5x = 20 ,所以。=2里.1011 .设MBC的内角A, B,。的对边分别为a, b, c, a = tanA,且8为钝角.(1)证明：B-A = -： 2(2)求sinA + sinC的取值范闱.【解析】(1)由a=tanA及正弦定理，得，ld = =1,.si

23、n8 = cosA ,即si8 = sin(三+ A) cos A b sinB2又8为钝角，因此£ + A£(£,m，故8 = + A,即8-4 =三2222C =4一(A + B) = /r (2A H) > 0A e (0,)(2)由(1)知，2 ，得 4 ,于是sin A + sin C = sin A + sin(- - 2A) = sin A + cos 2A =-2 sin2 A + sin A +1A e (0,)2，由 4得sin A esin/I + sinCe2 8c组题一、选择题12 如图，在A48C中，sin乙”"=正,A

24、8 = 2,点。在线段AC上，且A。= 2OC.BO = *e，则cosC的 233值为（卜B. -C. -D.一9293CJ ）1 A 4。9b- =cr +4-因为 cos ZADB = cos /CDB 所以所以3尸一。2=6【解析】由条件得cosN4BC = J, sin/ABC = U2.在A48c中，设8C = a,AC = 3。，则由余弦定理得 333 16 4/7 + -4"MT=3联立解得。=3/ = 1,所以AC = 3,8C = 3.在AA8C中，cosC = Z,故选C 913 .已知MBC的内角A,8,C对的边分别为a/,c, sin A +点sin8 =

25、2sinC, b = 3,当内角C最大时， 的面积等于（）9 + 3的6 + 3点3也«_立36-3&A.B.C. D.4444【解析】根据正弦定理及sinA + &sinB = 2sinC得 + J% = 2c,。= 上史，22 八 cC + 65/26/ + 18a +9- 、6 后_ Br_cosC = - + - -> V ">当且仅当"=二，即。=«时，等号成立，此时6a8 4"448 4。.r V6 + yf21 底 a >/6 + >/2 9 + 3JJ 、土 4sinC = Smbc =

26、2sinC = x Vox3x=-.故选 A.14 在锐角AA8C中，角A8,C的对边分别为出4c,若2 + " = 6cosC,则四£ +纪上的值是（） a btan A tan B34A. 2B. -C. 4D.-23【解析】取a= = l,则cosC = L 由余弦定理得c = 2,在如图所示的等腰三角形A8C中, 33可得 tan A = tan 8 = >/?,又 sinC = , tan C = 2-72 ,，m ° +° = 4.3tan A tan Brl a7. b u £3+ b / （I + b c nrl ->

27、;. >3 ）另解：由一+ = 6cosC得，=6,即/厂+/7-=L,a bablab2tanC tanC sin2 C2c2 AA+ =-一；一7 = 4.故选 C.tan A tan 8cosCsin Asin B （/+ b 一（T15 在AABC中，角A,8c所对的边分别为仇。满足，b2+c2-a2 =bc,ABBC>0, a = ,则。+c的取 2值范围是（） 2 L L i【解析】由 +/=c 得：cos A = 7 +(- = » 则 A=£,2bc 23由41辰？>0可知：8为钝角，2R =一=1sin A则 = sin c = sin

28、C,Z? + c = sin B + sinC = sin B + sin(17tT一 B) =sinB + cos22B =V3sin(B + )， 6十4 n 2加 2万 c4 5%1.（n/1 3 1 ,3 一 3由于一<8< ，<B + <，所以一<sin 8 + <，-<b + c<-, 故选 B.2336626） 2 22二、填空题5 .如图，某人在垂直于水平地面A8C的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为A8,某目标点产 沿堵面的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目标点产，需计算由点A观察点尸的仰角8的大小.若 AB =

29、 156,AC = 25my /BCM = 30°,则 tan 8 的最大值.PP1【解析】由勾股定理可得，BC = 20,过P作尸尸交8c于0'，连结AP,则tan<9 = ，设8P = x, AP'/7则。'=20-X，由 ZBCM = 30° 得，PP' = CP'Um300 = =(20 x)，在 直角 AABP'中，Lr Ir7 0Ot)的(20-x)人 (20-a)AP' = yl52+x2 =V225 + x2 , 故 tan0 =.;, 令 y= 'yj225 + x2 3 y/225 +

30、 x2yJ225 + x2一也25 + 丁一(20一x).；.二'-(225 + x2)-(20-a)-!-2x，=2 ,225+ 厂 I 匚 -20x-25今、225 + /(225 + x2)a/225 + x2(225 +Y)J225 + J '”得，x = -,代入tan6 = ,2° - A得,匕取二正.产-)=巫，故tan。的最大值为更 43 ,225+ 3 V225 + X2996 . AA8C的内角A,8c的对边分别为涉,。，已知ac = 一,则8 =【解析】由余弦定理得/+Z?2=c22cos4 ,将已知代入，化简可得后c="，再由正弦定理

31、，可得V3sinB-sinC =sin-,再结合条件及8的范围求得3的值.由余弦定理得/ 一 = 6c2 2bc cos A >将已知条件代入上式讹=尸一2,化简可得C = J5bc-c2,.®-c = cj再由正弦定理，可得3sin8 sinC = sin£ 6/. sin C = sin(- -B) = -cosB + 正sin B：.正6222sin8cos8 = L江八万5汗<B < 6667.已知AA8C满足A = , (AB + AC) BC = O ,点用在AABC外，且M8 = 2MC = 2,则M4的取值范围是 3【解析】由AABC满足4

32、 =2，(AB + AC) BC = O ,可得A4BC为等边三角形.又点"在AA3C外，且 3用8 = 2加。=2,设等边小48。边长为。，如图1,若M与A在8c同侧，设N8MC = /7, NBCM =a，在MCM, a 2中， =sin p sin a sin(tz + /7),则 sin a = 一 ,由 sin a = 2sin(a+/?) = 2sin a cos p+2cos a sin p, aa -3得 sin a(l - 2cos /7) = 2cos a sin p ，联 立可得 l-2cos/7 = a - cos a ,又 cos a =la=6-4cos/

33、3- + 2cosp J3a "Sn a' = 5-4cosp ,|MA| =a +-2acos(a=5 - 4 cos 夕 +1 - a cos a 一 事a sin a=5 - 2cos夕一2/sin夕=5 4cos(/-)el,7),则阿 e1,4)；sin p sin a sin(cr+ /7)如图2,若用与A在8c异侧，设N8WC = /7, /BCM =cx,在ABCN中，则可得 1 一 2cos p = a - cos a ,又 cos 2 =-,A MA = a2 +l-2f/cos(a + ) =5 + 4sin(/7-) e (3,9,则 2a36|M4|

34、e(J5,3.综上，M4|的最小值为1,最大值为3,故答案为：1,3.三、解答题8.【2016年高考四川理数】在H国中，角月,与。所对的边分别是a”,。,且二2 + 丫效=叱. a b c(I)证明：sin Asin B = sin C ：(II)若/+r sin A J =，求tan8.5【解析】(1)据正弦定理，可设/ = =4(>0),则a = ksinA/ = Zsin8,c =ksinC sin A sin B sinCir cos A cos 8 sinC - cos Acos 8cosC一寸故+=，有+=，变形得a b c k sin A k sin B k sin Csi

35、n AsinB = sin A cos B + cos A sin B = sin( A + B) = sin C（2）由已知，+。2一2=9灰，根据余弦定理，有COSA =152bc 5所以 sin A = >/1 -cos- A =-由(i)sinAsinB = sinAcosB + cosAsin3所以一sin8 = =cos8 + -sin8 ,故tan8 = 4.9.在 A48c 中，若 AC=2jJ,且 A8,cosC + 8Ccos4 = ACsinB(1)求角3的大小：(2)求A48C的而积S.【解析】(1)由题可知：在AA8C中，|彳4 = 2有，AB cosC +BC cos A = AC sin B ,因为/=砺+前, 所以 AB - cos C +