【新人教A版数学】必修二第六章6.4.1~6.4.2

1、【新人教版】数学必修二第六单元6.4平面向量的应用6.4.1 平面几何中的向量方法6.4.2 向量在物理中的应用举例【学习目标】1.能用向量方法解决简单的几何问题.2.能用向量方法解 决简单的力学问题和其他实际问题3培养学生运算能力，分析和解决 实际问题的能力.知识梳理梳理教材夯实氐础 知识点一向量方法解决平面几何问题的步骤用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素， 将平面几何问题转化为回量问题.(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.(3)把运算结果“皿”成几何关系.知识点二向量方法解决物理问题的步骤用向量

2、方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题.(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型.(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.思考 物理问题中有哪些量是向量？它们与向量的哪些运算相关？ 答案物理中的向量：物理中有许多量，比如力、速度、加速度、 位移都具有大小和方向，因而它们都是向量.力、速度、加速度、位 移的合成就是向量的加法，因而它们也符合向量加法的三角形法则和 平行四边形法则；力、速度、加速度、位移的分解也就是向量的分解, 运动的叠加也用到了向量的加法.动量 W是数乘向量.力所做的

3、功 就是作用力F与物体在力F的作用下所产生的位移s的数量积.思考辨析 判断正误-1 .若ABC为直角三角形，则有加反:=0.( X )2 .若向量则 A8CD( X )3 .功是力产与位移s的数量积.(J )4 .力的合成与分解体现了向量的加减法运算.(V )题型探究探究重点素养提升N一、利用向量证明平面几何问题例1如图所示，在正方形A5CO中，E,尸分别是A6,的中点,求证：AFLDE.证明方法一设AB=b, 则以1=族1, a-b=0.又屋=次+恁=AF=AB+B，F=b+(, 所以协.5=|5+彳.= !laP+OP=O.故"历，gp AFLDE.方法二如图所示，建立平面直角坐

4、标系，设正方形的边长为2,则A(0,0), D(0,2), E(1,O), F(2,l),则油=(2,1), 5=(1, -2).因为4.漩=(2,1)(1, -2)=2 2=0,所以笛7 J_屋，即AFLLOE.反思感悟用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤(1)利用线性运算证明的四个步骤选取基底.用基底表示相关向量.利用向量的线性运算或数量积 找出相应关系.把几何问题向量化.(2)利用坐标运算证明的四个步骤建立适当的平面直角坐标系.把相关向量坐标化.用向量的坐标 运算找出相应关系.把几何问题向量化.跟踪训练1已知O, A, 8是平面上不共线的三点，直线A5上有一点、C,满足2疣+四=0

5、,(1)用历L防表示次7；若点。是05的中点，证明四边形OC4O是梯形.(1)解 因为 流+仍=0,所以2(此一/) + (仍一定)=0,2求一2/ +防一花=0,所以近=2历1 一防.(2)证明 如图，DA=Db+A = - + OA=(2OA-O，B).R故两=：面.即。4OC,且D4WOC,故四边形。CA。为梯形. 乙二、利用向量解决平面几何求值问题例2如图，己知外=2姆，lql=3, p, q的夹角为:,若A& = 5p + 2g, At=p 3q,。为8c的中点，则加1=.答案y解析由题意知2A力=助+公，因为A& = 5p + 2g, At=p3qy所以 2Ab=A

6、B+AC=()pq,所以 2lAT)l = l6pql=436X(2吸产 12X2应X3cos+32= 15,所以防 1=9反思感悟(1)用向量法求长度的策略根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式1|2 = 2求 解.建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若q=(x, y),则kzl = /+y2(2)用向量法解决平面几何问题的两种思想几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题 中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解. 坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中 的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.跟踪训练2在ABC中

7、，己知4(4)，5(7,5),。(一4,7),则边 上的中线的长是()A.2 巾C.3/5答案B解析 TBC的中点为4|, 6), AT)=I |,.1m=乎.三、向量在物理中的应用例3 一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成30。角，则水流速度为 km/h.答案5小解析如图所示，船速1=5 km/h,水流速度为吟，实际航行方向V与水流方向也成30。角,/.lv2l =焉L /(km/h).反思感悟用向量解决物理问题的一般步骤(1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题.(2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型.(3)参数的获得，即求出数学模型的有

8、关解理论参数值.(4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象.跟踪训练3 物体在力为=(3, -4),户2 = (2, -5),尸3=(3,1)的共 同作用下从点4(1,1)移动到点8(0,5).在这个过程中三个力的合力所做 的功为.答案一40解析 VFi = (3, -4),解=(2, -5),尸3 = (34)， ，合力7=用+尸2+尸3=(8, -8).又油=(-1,4),AFA&=8X(-l)+(-8)X4=-40, 即三个力的合力做的功等于一40.随堂演练基础巩固学以致用1 .在ABC 中，若(2 + 的).(*-)=0,贝)A.是正三角形B.是直角三角形C.是

9、等腰三角形D.形状无法确定答案C解析(£% + 仍).(竟仍)=曳2-仍占0, EPICAI = ICI, ：.CA = CB, 则aABC是等腰三角形.2 .己知A, B, C, D四点的坐标分别为(1,0), (4,3), (2,4), (0,2),则 此四边形为()A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形答案A解析A&=(3,3), Cb=(-2, -2),3.*.A>=-1cb,，牯与共线.又lAAwiO, J该四边形为梯形.3 .当两人提起重量为IGI的旅行包时，两人用力方向的夹角为仇用力 大小都为炉I，若IPI = IGI,则6的值为()A.30。B.60

10、6; C.90° D.1200答案D解析 作以=为，防=乃，代=一G(图略)，则近=a+防，当炉11=1尸时,Q4C为正三角形，所以 NAOC=60。，从而 NA0B =120。.4 .在ABC中，。为三角形所在平面内一点，旦初=为+工，则/?/) A SA1-2 D1 - 6C解析 因为才所以点。在AB边的中位线上，从而有Smbd=abcB5 .如图，在平面直角坐标系中，正方形OA5C的对角线。8的两端点 分别为0（0,0）, 则助 危=答案1解析由已知得41,0）, C（0,l）, 所以AS=（o,i）,疣=（一1,1）.所以课堂小结1 .知识清单：（1）平面几何中的向量方法.（

11、2）向量在物理中的应用.2 .方法归纳：化归转化、数形结合.3 .常见误区：要注意选择恰当的基底.课时对点练注重双基强化落实2基础巩固1 .己知力F的大小IFI= 10,在F的作用下产生的位移s的大小收=14,b与s的夹角为60。，则尸做的功为（）A.7 B.10 C.14 D.70答案D解析 产做的功为 F s = IFIIsIcos 60。= 10 X 14 X ；=70.2 .已知点 4一2, 3), 6(19,4), C(-l, -6),则4?。是()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案C解析油=(19,4)一(一2, -3) = (2!,7),At=( 1

12、, 6)(2, 3)=(1, 3),油 At=2121=0, ：.A,LAt.贝 |JNA = 9O。，又 lA&IWlAtl,J ABC为直角三角形.3 .点。是ABC所在平面内的一点，满足醇.防=防.比=比.以， 则点。是ABC的()A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高所在直线的交点答案D解析. =曲反7,(5X8防=0,，防&=0, ：.OB±AC.同理OALBC, OC±AB,工。为三条高所在直线的交点.4 .在RtZXABC中，斜边长为2, O是平面ABC内一点，点P满足 办=历1+(4&+公

13、)，则曲等于()A.2 B.l C.1 D.4答案B解析称=®+g(筋,彷瀛+At),感+宿，乙乙：.AP为RtZkABC斜边BC的中线.1曲1=1.5 .在四边形ABCO中，若公=(1,2),肋=(-4,2),则该四边形的面积 为()A.木 B.2 4 C.5 D.10答案C解析 VAtBT)=O, ：.AC±BD.J四边形ABC。的面积S=JlAtl I 皿 I =4 义邛 X 2点=5. 乙乙6 .己知点A(l/)，M(x,y),且A与M不重合，若向量4拓与向量 = (1,2)垂直，则点M的坐标x, y之间的关系为.答案 x+2y3 = 0(x/l)解析 a =1,

14、y1>( 1,2)=x 1+2丁一2=x+2y3 = 0.又A与M不重合，所以x#l.7 .一条河宽为8 000 m, 一船从A出发垂直航行到达河正对岸的5处,船速为20 km/h,水速为12 km/h,则船到达B处所需时间为h.答案0.5解析 v实际=v w + v水=卜1 + 口2，水流方向lvil=20, 1也1= 12,iw=q“PT吟 I?=202-122= 16(knVh).8所需时间f=y=0.5(h).,该船到达5处所需的时间为0.5 h.8.己知在矩形ABC。中，AB=2f AO=1, E,b分别为BC, CQ的中点，贝ij(4&+彷即=. 9答案一3解析 如图

15、，以A为坐标原点O,以A5所在直线为x轴，以AO所 在直线为y轴建立平面直角坐标系，则 A(0, 0), 8(2,0), D(0,l),A C(2,l).VE,尸分别为BC, CO的中点，E(2,F(l,l),92-,恁+前=13, I),=A (+)-51) = 3 X (-2)+| X 9.已知A, B, C是直线/上不同的三个点，点O不在直线/上，求使 等式X2®+x防+比=0成立的实数X的取值.解:武：=元-丽,*8+不协 + 求一防 =0,即 o(j= -一(%1)0*8,VA, B, C三点共线，%2(% 1)= 1,即/+工=0,解得 x=0 或 x= -1.当 x=0

16、 时，jrdA+xB+Bt,沈=0, 此时& C两点重合，不合题意，舍去. 故 x= .10.帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动， 如果一帆船所受的风力方向为北偏东30。，速度为20 km/h,此时水的 流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方 向.解 建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东30°,速度为叫I =20 km/h,水流的方向为正东，速度为|也| =20 km/h,设帆船行驶 的速度为八则五=也十也.由题意,可得向量y】 = (20cos 60。，20sin 60°) = (10,10/5),向量 也

17、=(20,0),贝ij v = v + v2 = (10,10/3) + (20,0)= (30,1073),所以O=d302+(lSB)2 = 2S8(km/h).因为 tan 仪=外乎= 坐(a为y和吟的夹角，a为锐角)，所以a = 30。，所以帆船向北偏东 60。的方向行驶，速度为20V5 km/h.北综合运用11 .如图所示,在矩形ABCD中,48=4,点E为的中点，且既_LAt, 则I力句等于()5rA.B.2 小C.3D.22答案B解析 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AO所在直线为y轴, 建立如图所示的直角坐标系.设疝1=4(4>0),则 40,0), C(4, 4),

18、0(0, 4), E(2,0),所以班=(2,)，/=(4, a).因为既_L疵，所以瓦疣=0, 所以 2X4+(a>=0,即 t? = 8.所以 =25，所以读=(2, 2碑)，所以1固1=寸22+(2建)2=2小.12 .若点M是ABC所在平面内的一点，且满足3而一油一危=0, 则ASM与ABC的面积之比为()A.1 ： 2 B.1 ： 3 C.1 ： 4 D.2 : 5答案B解析如图，。为BC边的中点,则AT)=J港+抚).因为34初一防一40=0,所以34财=*力，所以筋/=|初,所以Sabm=IsABD = QSaaBC.13 .用两条成120。角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10N,则每根绳子的拉力大小为 N.答案10解析 设重力为G,每根绳的拉力分别为八，尸2,则由题意得为, 尸2与一G都成60。角，且叫1=眄1，Fi+F2+G=0./.IFiI=IF2I=IGI=10N,每根绳子的拉力都为10 N.14 .如图，BC, OE是半径为1的圆。的两条直径，帝=2防，则防.庵答案解析Fb=Fb+oby律=布十仇:,且历=一改, 所以应).龙=(防+勘).(历+困8 -9-拓广探究15 .在平面直角坐标系中，己知三点44,0), BQ2),