5-3-5分解质因数(二).教师版

1、5-3-4.分解质因数国隔1. 能够利用短除法分解2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为白x/V*xx的结构，而且表达形式唯一”一、质因数与分解质因数(1) .质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.(2) .互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.(3) .分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30 = 2x3x5其中2、3、5叫做30的质因数.又如12 = 2x2x3 = 2? x3 , 2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要

2、用到这个标准式.分 解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.(4) .分解质因数的方法：短除法2回例如：2怆，(1-是短除法的符号)所以12 = 2x2x3;3二、唯一分解定理任何一个大于1的自然数都可以写成质数的连乘积，即： =p? x x p； XX 其中为质数, 生<生 <<4为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为的质因子分解K.例如：三个连续自然数的乘积是210,求这三个数.分析：7210=2x3x5x7, 可知这三个数是5、6和7.三、部分特殊数的分解111 = 3x37: 1001=7x11x13: 11111=41x271 : 1

3、0(X)1=73x137: 1995 = 3x5x7x19: 1998 = 2x3x3x3x37:2007 = 3x3x223; 2008 = 2x2x2x251; 10101 = 3x7x13x37.削W蚱【例1】算式%+卷模块一、分数的拆分=1”中，不同的汉字表示不同的自然数，则“希+望+杯”=【考点】分数的拆分 【难度】1星 【题型】埴空【关键词】希望杯，五年级，初赛，第19题，6分【解析】三个分数中一定有大于三分之一的，那个数是二分之一，剩下的两个数必有一个大于四分之一，即【答案】【例2】【考点】【解析】【答案】【例3】【考点】 【解析】【答案】【例4】【考点】 【解析】【答案】【例5

4、】【考点】【解析】是三分之一，那么剩下的只能是六分之一,希+望+杯=2+3+6=11 113个质数的倒数之和是黑，则这3个侦数之和为多少. 1986分数的拆分【难度】3星【题型】解答设这3个质数从小到大为、/八c,它们的倒数分别为1、1. L,计算它们的和时需通分，且通 a b c分后的分母为“xxc,求和得到的分数为二，如果这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为a、 abcb、c或它们之间的积.现在和为竺外，分母1986 = 2x3x331,所以一定是 =2, b = 3, c = 331 , 1986检脸满足.所以这3个质数的和为2 + 3 + 331 = 336.2 + 3 + 331

5、=336 一个分数，分母是901,分子是一个质数.现在有下面两种方法：(1)分子和分母各加一个相同的 一位数；分子和分母各减一个相同的一位数.用其中一种方法组成一个新分数，新分数约分后是那么原来分数的分子是多少.13分数的拆分 【难度】3星【题型】解答因为新分数约分后分母是13,而原分母为901,由于901 + 13 = 694,所以分母是加上9或者减 去4.若是前者则原来分数分子为7x70-9 = 481 ,但481 = 13x37 ,不是质数；若是后者则原来分 数分子是69x7 + 4 = 487,而487是质数.所以原来分数分子为487.487 将1到9这9个数字在算式匕-片=3石的每一

6、个括号内各填入一个数字，使得算式成立，并 且要求所填每一个括号内数字均为质数？分数的拆分【难度】4星 【题型】填空本题中括号内所填的数字要求为个位质数，那么只能是2, 3, 5, 7,将原始代入字母分析有,即有仍-加=1,那么很容易发现只有3x5-2x7=lo符合原式的填法为 a c axe axe3 21=。7 5 353 21=7 5 35求满足条件L + L = L 的、力的值(。、力都是四位数). a h 1001分数的拆分 【难度】4星【题型】解答取1001的两个不同约数小y(x < y),得到：因为小y都是1001的约1 _ x+y _ xy _11looT = 1001(x

7、+y) = 1001(x+y)十 10011 +y) = 100%1 y) 1叫(1丫)玷6斤力10°11°01却乌火珞 加虫。加入 1001 (x+y)1001 Cr+y)效，所以、都是螫数. 所以只 令 =,b =就可以了. 而 、hx yxy都要大于1001,要保证4、都是四位数，所以a、b的比值都要小于10,即x、y的比值小于10.而 1001的两个互质且比值小于10的约数有以下几组：(1,7)、(7,11)、(7,13)、(11,13)、(11,91)、 (1377).所以我们依次取x、y为上面所列的数对中的数，代入a、b的表达式，得到本题的答案: a = 800

8、8,2574,2860,2184,9282,6930工=1144.16381540,1848J122J170= 8008.2574,2860.2184,9282.6930 答案力=1144.1638/540J 848J122J170*【巩固】若盛 其中、人都是四位数且那么满足上述条件的所有数对3是一【考点】分数的拆分【难度】4星 【题型】填空 【解析】2004的约数有：1,2004210023668,4,501,满足题意的分拆有:112112004 2004(1 + 2) 2004(1 + 2) - 6012 3006113112004 2004(1 + 3) 2004(1+3) - 8016

9、 2672123112004 2004(2 + 3) 2004(2 + 3) - 5010 334013411-+ 2004 2004(3 + 4) 2004(3 + 4) - 4676 3507【答案】=1+=+ 2004 2004(1 + 2) 2004(1 + 2) 6012 3006113112004 2004(1 + 3) 2004(1+3) - 8016 2672123112004 2004(2 + 3) 2004(2 + 3) -5010 334013411_+ 2004 2004(3 + 4) ' 2004(3 + 4) - 4676 3507【例6】 在下面的括号里填

10、上不同的自然数，使等式成立.1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) =-T=+=+=+F：10 20 20 0( )0 0( )0 ()()【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空【解析】单位分数的拆分，主要方法是从分母N的约数中任意找出两个数相和，有：1 " + _ 1 + 1, N N(m + n) N( + )N(m + n) A B '从分母的约数中任意找出两个，和(】)，有:1 _ m - n _ mn_ 1 1N N(m - n) N(m - n) N(m-n) A B(1) 本题10的约数有：1, 10, 2, 5.，演j g 广 1 + 21

11、211例如： 必 1 和2, 有： 一=+= + 一;10 10x(l + 2) 10x(l + 2) 10x(l + 2) 30 15从上面变化的过程可以看出，如果取出的两组不同的加和，它们的数值虽然不同，但是如果加和 的比值相同，那么最后得到的A和8也是相同的.本题中，从10的约数中任取两个数， 共有 C：+4 = 10种，但是其中比值不同的只有5组：(1, 1): (1, 2)： (1, 5): (1, 10)： (2, 5),所以本题 共可拆分成5组.具体的解如下：11111111111=+ = (-= + = + = + .10 20 20 11 110 12 60 14 35 15

12、 30(2) 10的约数有1、2、5、10,我们可选2和5:1 _5-2_5_2_ 1 _ 110-10x(5-2)-10x(5-2) 10x(5-2)-6 15另外的解让学生去尝试练习.【答案】(1)11111111111=H - 4 - + = 4 + 10 20 20 11 110 12 60 14 35 15 30(2)=101 _ 1 6-15【例7】 如果_=2-A, 8均为正整数，则4最大是多少？ 2009 A B【考点】分数的拆分【难度】4星【题型】填空【关键词】101中学，分班考试【解析】 从前面的例题我们知道，要将J_按照如下规则写成J_ J,的形式： NA B1m-nmn

13、11£ 如，日儿小=-, 其中加 和者，是 N 的约数©NN(m-n)N(m-n)N(m-n)AB如果要让4尽可能地大，实际上就是让上面的式子中的尽可能地小而相尽可能地大，因此应当 加取最大的约数，而应取最小的约数，因此? = 2009, /? = 1,所以5 = 2009 x 2008.【答案】5 = 2009 x 2008【巩固】【考点】11111111111F=-=Hk=-45 ()()()()()()()()()()分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空【解析】111111 1 145 (72) (120) (18) (30) (405) (135) (81)【答案

14、】111111 1 145 (72) (120) (18) (30) (405) (135) (81)【例8】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立. 1111111=+ + 1。()()()()()()【考点】分数的拆分【难度】4星 【题型】填空【解析】先选10的三个约数，比如5、2和1,表示成连减式5-2-1和连加式5 + 2 + 1.1 1 1 1 1 1 1则 =+ W-(4) (10) (20)-(80) (40) (16)如果选 10、5、2,那么有：= + + 10 3 6 15 17 34 85另外，对于这类题还有个方法，就是先将单位分数拆分，拆成两个单位分数的和或差，再

15、将其中的 一个单位分数拆成两个单位分数的和或差，这样就将原来的单位分数拆成了 3个单位分数的和或差了.比如,要得昨哈+方+汽,根据前面的拆分随意选取一组，比如-!-= 1 ： 110 12 60,再选择【答案】其中的一个分数进行拆分，比如_L=-L+_L,所以J_=，+，+_L 12 13 15610 13 60 1561111=+ +10 13 60 156【例9】 已知等式3；其中a, b是非零自然数，求a+b的最大值。15 a b【考点】分数的拆分【难度】5星 【题型】填空【关键词】华杯赛，决赛，第13题m + n mn【解析】易知，77 =令(m, n)为互质的一对数，现在要让分母为1

16、,只=-+15(， + /?) 1+ n) 15(m + n)需m, n是15的一对互质的约数即可o当(m, n)= (1, 1)时，-4= + ,此时，a+b=60：15 30 30当(m, n) (1, 3)时，1,此时，a+b=80：15 60 20当(m, n)= (1, 5)时，-4= + -,此时，a+b=108：15 90 18当(m, n)= (1, 15)时， =,此时，a+b=256：15 240 16当(m, n)= (3, 5)时， = +此时，a+b=64：所以，a+b 的最大值为 256。15 40 24【答案】256模块四、分解质因数的综合应用【例10】A, 3都

17、是整数，A大于4,且Ax8 = 2009,那么A-4的最大值为,最小值 为。【考点】【难度】【题型】填空【关键词】走美杯，3年级，初赛【解析】2009 = 2009x1 = 287 x 7 = 49 x 41最大值为2009-1 = 2008最小值为49-41=8【答案】最大为2008,最小为8【例11】写出所有数字和为“，数字乘积为20的四位偶数：.【考点】 【难度】 【题型】填空【关键词】走美杯，3年级，初赛【解析】本题属于数字拆分，目的就是讲11拆成四个数字和，20拆成4个数字的乘积，需要确定的是个位 数字为偶数。根据拆分的特点应该从20开始拆分。先将20分解质因数为：20 = 2x2x

18、5,所以各个 数位数字乘积为20的数字有：2、2、5、1: 4、5、1、1;数字和分别为10和11,符合条件的是4、 5、1、1这四个数字组成的四位偶数，所以答案为1154、1514. 5114这3个答案。【答案】1154、1514、5114【例121在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看成8,由此得乘积为1872.那 么原来的乘积是多少？【考点】分解质因数的综合应用【难度】3星 【题型】解答【解析】1872=2x2x2x2x3x3x13二口口x口口，其中某个口为 8, 脸证只有：1872=48x39, 1872=78x24 满 足.当为1872=48x39时，小马虎错

19、把5看成8,也就是错把45看成48,所以正确的乘积应该是 45x39=1755.当为1872=78x24时，小马虎错把5看成8,也就是错把75看成78,所以正确的乘积 应该是75x24=1800.所以原来的积为1755或1800.【答案】1755或1800【例13】两个学生抄写同一个乘法算式，两个乘数都是两位数，他们各抄错了一个数字，于是得到两个不 同的算式，但巧合的是，他们计算的结果都是936.如果正确的乘积不能被6整除，那么它等于多 少？【考点】分解质因数的综合应用【难度】4星【题型】解答【解析】注意936中有质因数13,故易见将其分解成两个两位数相乘的形式有13x72, 26x36, 3

20、9x24, 52x18, 78x12这5种可能，由于两人各抄错了一个数字，因此两人的算式中应有两个位置上的教 字相同,经枚举可知，他们所抄错的算式可能是(13x72, 18x52),(13x72, 12x78),(26x36, 24x39) 或(52x18, 12x78) ,对于第一种情况，两人抄错的是第一个乘数的个位数字和第二个乘数的十位数 字，正确的算式应是13x52或18x72,后者乘积是6的倍数，与题意不符，故原算式应为前者，正 确的乘法算式是13x52 = 676.对后三种情况作类似分析，可得出2x3 = 6种可能的原乘法算式，但它 们的结果都是6的倍数，不合题意.因此676即为所求

21、.【答案】676【例14】在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶)，或者是不超过10的自然数.甲、乙两名运 动员各射了 5箭，每人5箭得到的环数的积都是176%但是甲的总环数比乙少4环.求甲、乙的 总环数各是多少？【考点】分解质因数的综合应用【难度】4星【题型】解答【解析】应对应为5个小于10的自然数乘积.通常我们会考虑将1764的6个质因数组合为5个因数，从而 这5个因数一定都是大于1的，于是得到了如下几种分解情况1764=4x3x3x7x7 =2x6x3x7x7=2x2x9x7x7但是发现其中任何两组的和的差均不是4.原因是我们忽略了在题目叙述实 际环境中还会有1环存在，从而要

22、考虑含有因数1的另外2种情况1784=1x6x6x7x7=1x4x9x7x7.所 以总的情况对应的和依次为 4+3+3+7+7=24, 2+6+3+7+7=25, 2+2+9+7+7=27, 1+6+6+7+7=27, /+4+9+7+7=28.对应的和中只有24, 28相差4,所以甲的5箭环数为4、3、3、7、7,乙的5箭环 数为1、4、9、7、7.所以甲的总环数为24,乙的总环数为28。【答案】甲的总环数为24,乙的总环数为28【例15】某校师生为贫困地区捐款1995元.这个学校共有35名教师，14个教学班.各班学生人数相同且 多于30人不超过45人.如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均

23、每人捐款多少元？【考点】分解质因数的综合应用【难度】3星【题型】解答【解析】这个学校最少有35+14x30=455名师生，最多有35+14x45=665名师生，并且师生总人数能整除 1995. 1995=3x5x133,在455665之间的约数只有5x133=665,所以师生总数为665人，则平均每 人捐款1995:665=3元.【答案】3例16张老师带领同学们去种树，学生的人数恰好等分成三组.已知老师和学生共种树312棵，老师与学 生每人种的树一样多，并且不超过10棵.问：一共有多少学生？每人种了几棵树？【考点】分解质因数的综合应用【难度】3星 【题型】解答【解析】因为总棵数是每人种的株数和

24、人数乘积，而每个人种的棵数又不超过10所以通过枚举法来解(注意 人数是减去1后是3的倍数)：1x312, 312-1=311不是3的倍数；2x156, 156-1 = 155不是3的 倍数：3x104, 104 1 = 103不是 3 的倍数；4x78, 78-1 =77 不是 3 的倍数；6x52, 52-1 = 51 是 3的倍数；8x39, 39-1=38不是3的倍数；共有51个学生，每个人种了 6棵树.【答案】共有51个学生，每个人种了 6棵树【巩固】某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果老师与学生每人种树一样多， 共种了 1073棵，那么平均每人种了棵树？【考点】分解质因数的综合应用【难度】3星 【题型】解答【解析】因为总棵数是每人种的株数和人数的乘积，所以首先想到的是把1073数相乘，一个数为人数一个数 为每人种的椽数，1073 = 29x37,注意到人数是减去1是3倍数，所以人数是37均每人种了 29棵。【答案】29【例17】幼儿园里给小朋友分革果，42()个苹果正好均分。但今天刚好又新人园一位小朋友，这样每个小朋 友就要少分2个苹果。原来有一个小朋友。【考点】分解质因数的综合应用【难度】3星【题型】填空【关键词】走美杯，6年级，决赛，第8题，10分【解析】420 = 22x3x5x7 = 2x210 = 3