上海高中数学之立体几何练习(打印).

1、立体几何练习题26 / 12一、选择题1 .已知平面外不共线的三点 A, B,C到 的距离都相等，则正确的结论是A.平面ABC必平行于B.平面ABC必与 相交C.平面ABC必不垂直于D.存在 ABC的一条中位线平行于或在 内2 .若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上” 的(A)充分非必要条件；(B)必要非充分条件；(C)充要条件；(D)非充分非必要条件.3 .如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个芷交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的芷交线面对”的个数是(A) 48(B) 18(C) 24(D) 3

2、64 .已知二面角l的大小为600, m、n为异面直线，且m , n ，则m、n所成的角为(A) 300(B) 600(C) 900(D) 120O5 .已知球 O半径为1, A、B、C三点都在球面上， A、B两点和A、C两点的球面距离都是B、C两点的球面距离是则二面角B OA C的大小是43(A) (B) (C)一4327. 设m、n是两条不同的直线,是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是8. / , m ,n /C.,m , n/ m n D.8.设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确m, n m n的是9.A. AC与BD共面，则AD与BC共面B.若AC与BD

3、是异面直线，则 AD与BC是异面直线C.若 AB=AC,D.若 AB=AC,DB=DC,DB=DC,贝U AD=BC贝U AD BC若l为一条直线,为三个互不重合的平面，给出下面三个命题:，；，/;l / , l.其中正确的命题有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个10 .如图，。是半径为1的球心，点 A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧Ab与Ac的中点，则点E、f在该球面上的球面距离是(A)(D)(B)(C)43211 .如图，正三棱柱 ABC A1BC1的各棱长都为 2, E、F分别为AB、A1C1的中点，则EF的长是(A) 2(B) 33(C)4(D) &

4、amp;12 .若P是平面外一点，则下列命题正确的是(A)过P只能作一条直线与平面相交(B)过P可作无数条直线与平面垂直(C)过P只能作一条直线与平面平行(D)过P可作无数条直线与平面平行13 .对于任意的直线l与平面 ，在平面内必有直线 m,使m与l(A)平行 (B)相交 (C)垂直 (D)互为异面直线14 .对于平面和共面的直线m、n,下列命题中真命题是(A)若 m,mn,则 n/(B)若 mil,n /，则 mil n(C)若m,n/，则m/n (D)若m、n与所成的角相等，则miln15 .关于直线 m、n与平面 、，有下列四个命题：若m , n/ 且，则mn；若m , n 且 ，则m

5、n；若m , n / 且 / ，则m n;若m/ , n 且 ，则m/ n。其中真命题的序号式A. B. C. D.16 .给出下列四个命题：垂直于同一直线的两条直线互相平行垂直于同一平面的两个平面互相平行若直线11,12与同一平面所成的角相等，则1小2互相平行若直线l1,l2是异面直线，则与llJ2都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是(A) 1(B) 2(C) 3(D) 417.如图，平面平面，A,B, AB与两平面过A、B分别作两平面交线的垂线,垂足为A'、B，则AB: A'B'(A)2:1(B) 3:1(C) 3: 2(D) 4:318.如图,平面平面 ，

6、所成的角分别为一和一。,B,AB与两平面所成的角分别为B分别作两平面交线的垂线,垂足为(A) 4(B) 6A'、BY(C) 8一和一。过A、46AB=12 ,则 A'B'(D) 9计算题1.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形,AC BD,AC与BD相交于点O,且顶点P在底面上的射影恰为。点，又BO 2, PO 叵PB PD .(I)求异面直接 PD与BC所成角的余弦值；(n)求二面角P AB C的大小；(出)设点M在PC上，且胆 ，问为何值MC时，PC 平面BMD。【解】 解法一：Q PO 平面ABCD ,POAB / DC,BD又 PB PD,BO

7、2,PO 72,由平面几何知识得：OD 1,PD 3, PB.6(I)过D做DEBC交于AB于E,连结PE ,则与BC所成的角，Q四边形ABCD是等腰梯形，OC OD 1,OB OA 2,OA OBBC J5, AB 2 2,CD 2又ABDC四边形EBCD是平行四边形。ED BC . 5, BE CD . 2PDPDE或其叵下异面直线E是AB的中点，且AE J2又 PA PB .6,PEA为直角三角形,PE ,PA2 AE26-2 2在PED中，由余弦定理得:cos PDEPD2 DE2 PE22PD DE3542 152 3 515故异面直线PD与BC所成的角的余弦值为2.1515(n)连

8、结OE ,由(I)及三垂线定理知,PEO为二面角P ABC的平面角sin PEO PO 2 , PE 2PEO 450面角P AB C的大小为45°(出)连结 MD,MB,MO ,Q PC平面BMD ,OM平面BMD ,Q PCOM又在RtPOC 中，PCPD 3, OC1,PO 反,PMPMMC解法2时，PC 平面BMDQ PO 平面 ABCDPO又 PB PD ,BO 2,PO V2,由平面几何知识得：OD OC 1,BO AO 2以O为原点，OA,OB,OP分别为x, y, z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为 O(0,0,0),A(2,0,0),C( 1,0,0),

9、 D(0,1,0), P(0,0，百uur(D Q PD(0, 1, V2)，uuurBC(1,uuirPDuuur3, BC-uuur uuir5, PD BCcosuuir uurPD,BCBDB(0,2,0)2,0),o15U,MCuuur uuirPD BC33uuun AB 0由 uuu 得n AP 0故直线PD与BC所成的角的余弦值为15(n)设平面 PAB的一个法向量为n (x,y,z),uuuuuu_由于 AB ( 2,2,0) , AP ( 2,0,后,取n(1,1,J2),又已知平面ABCD的一个法向量m(0,0,1)，cos m, nm n 2 。又二面角PAB C为锐角

10、,所求二面角P ABC的大小为45o(m)设M (X0,0, zO),由于P,M ,C三点共线,金,Q PC 平面BMDOMPC(1,0, 、2) (%,0,4)X - 2z002由(1) (2)知：X0Z0322M ( - ,0,)33PM 2MC故 2时，PC 平面BMD。2.如图，a，3,an3=l , AC”，BC3，点A在直线l上的射影为Ai,点B在l的射影为 B1,已知 AB=2,AA 1=1, BB1=/，求：(I)直线AB分别与平面a , 3所成角的大小；(II)二面角A1AB B1的大小。【解】解法 ：(I)如图，连接A1B,AB1,a 1 3 , a n 3 =l ,AA1

11、L, BB1H,- AA 11 3 , BB11a .则/ BAB 1,/ABA 1 分别是 AB 与a和3所成的角.RtABB1A 中，BB1=V2 .sin/ BAB 1 = BB1 = AB,AB=2,普2 . / BAB 1=45°,AA 1Rt4AAB 中，AA1=1,AB=2, sin / ABA 1=7 =AB故AB与平面a ,3所成的角分别是 45° ,30° . / ABA 1= 30°(n) . BB11a平面ABBa。在平面a内过 A1作A1ELAB1交AB1于E,则AE，平面 ABB。过E作EF± AB交AB于F,连接A

12、1F,则由三垂线定 理得 A1FXAB , /A1FE就是所求二面角的平 面角.在 RtABBi 中，/ BABi=45° ,. . AB i=BiB=>/2. RtAAAiB 中，AiB=1aB2 AA i2 =业1 =小。由 AAi AiB=AiF . AB 得AA i - AiBAlF= ABi x V3 _ 立 -2- = T,在 RtAAiEF 中,sin / AiFE =AiEAF*，27 / 12，二面角 AiABBi的大小为arcsi解法二：(I )同解法一.(n) 如图,建立坐标系 , 则 Ai(0,0,0),A(0,0,i),B i(0,i,0),B(V2,

13、i,0).在 AB 上取一点F(x,y,z), 则存在 tCR,使得 AF=tAB , 即(x,y,zi)=t(V2,i,i),，点 F 的坐标为的t, t,i t).要使 Aid AB, 须 aIf AB=0, 即(J2t, t,it) (V2,i, i)=0, 2t+t (i t)=0， 解得 t=点F的坐标为(#1 4)AiF=(_2i 3、4 ,4, 4 ).设E为AB i的中点，则点E的坐标为(0,2, iEF=(C 11)4 , 4,4/又EF - ab4*，-1，1) .(Vii,i)= 2，/ Ai FE为所求二面角的平面角.i4 =0,.EF±AB ,又 cos/

14、AiFE=AiF , EF (4'4) i4)_9|AiF|EF|416+16+16 776+16+161+38 16 16131 = .13 =yj 4 2_33，二面角 AiABBi的大小为arcc营3.在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为 2的菱形，/ DAB =60，对角线AC与BD相交于点O, POL平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为 60 .(1)求四棱锥P-ABCD的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的 大小(结果用反三角函数值表示).【解】(1)在四棱锥P-ABCD中,由POL平面ABCD，得 /PBO是PB与平面 ABCD所成的角，/ P

15、BO=60 .在 RtAAOB 中 BO=ABsin30 =1,由 POXBO,于是， PO=BOtg60 =V3,而底面菱形的面积为 2J3.二四棱锥 P-ABCD 的体积 V= 1 X2 J3 xJ3 =2/3 '(2)解法一：以。为坐标原点，射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建 立空间直角坐标系.在 RtAAOB 中 OA= J3，于是，点 A、B、D、P的坐标分别是A(0, -3,0), B(1,0,0), D(1,0,0), P(0,0, V3)oE是PB的中点，则E(- ,0,)o22于是 DE =( ,0, - ), AP =(0, 3,3).223uuu

16、r uuu22. 2设 DE 与 AP 的夹角为 0, 有 cos 0 -2 ,0 =arccos。9 344% 3 3,4 4异面直线DE与PA所成角的大小是2 arccos4解法二：取AB的中点F,连接EF、DF.由E是PB的中点，得 EF/ PA, / FED是异面直线DE与PA所成角|(或它的补在 RtAAOB 中 AO=ABcos30 = <3 =OP,于是 在等腰RtA POA中,PA= <6，则EF=2在正 4ABD 和正 4PBD 中，DE=DF= 33 .1 一EFcos/ FED=-DE- 642、3=7异面直线DE与PA所成角的大小是.2 arccos44 .

17、在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， ABC 90o,AB BC 1 .(1)求异面直线B1cl与AC所成的角的大小；(2)若AC与平面ABC所成角为45°,求三棱锥A ABC的体积。【解】(1) BC / B1C1,/ ACB为异面直线B1C1与AC所成角(或它的补角) / ABC=90 ,AB=BC=1 ,/ ACB=45 ,异面直线B1C1与AC所成角为45 °.(2) AA平面 ABC,/ACA1是A1C与平面 ABC所成的角，/ ACA 1=45 °. AAi=V2 。 / ABC=90 , AB=BC=1 , AC= J2，三棱锥A1-ABC的体积V

18、=5.如图，四面体 ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点,CA CB CD BD 2, AB AD .2.(I)求证：AO 平面BCD;(II)求异面直线 AB与CD所成角的大小;(III)求点E到平面ACD的距离。【解】本小题主要考查直线与平面的位置关 系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本 知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算 能力。方法一 ：(I)证明：连结Q BO DO,AB AD,Q BO DO, BC CD,在AOC中，由已知可得而 AC 2, AO4OCAO BD.CO BD.AO 1,CO ,3.CO2 AC2.Q BD I OC O,AO 平面BCDAOC 90

19、o,即 AO OC.7229 / 12异面直线AB与CD所成角的大小为2 arccos4(II)取AC的中点M,连结OM、ME、OE,由E为BC的中点知ME/AB,OE/ DC直线OE与EM所成的锐角就是异面直线 AB与CD所成的角1 _2 _1 _ _.在 OME 中，EM AB ,OE DC 1,2 2212QOM是直角 AOC斜边AC上的中线，OM -AC 1, cos OEM ,(III) 设点E到平面ACD的距离为h.Q VE ACDVA CDE , hgS ACD 31gAOgS CDE. 3在 ACD 中，CA CD 2, AD 72,S _A ACD而 AO 1，SCDE 2

20、日hDES ACD1 2二2.21735 / 12点E到平面ACD的距离为 方法二：(I)同方法一。B(1,0,0), D( 1,0,0),(II)解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则C(0, 3,0), A。,"；与uur,0), BAuuur1,0,1),CD1,3,0).uuur uuur cos BA, CDuuu uuur BA.CD uuu uur BA CD_24异面直线AB与CD所成角的大小为arccos二r(III)解：设平面ACD的法向量为n(x, y, z),则r uuur n.AD r uuur n.AC(x, y,z).( 1,0, 1) 0,(x,y

21、,z).(0,3, 1) 0,0,0.r1,得n(J3,1,J3)是平面ACD的一个法向量。uuir 又EC,0),点E到平面ACD的距离uur r ECgnrn3 21T6.如图，在棱长为 1的正方体 ABCD A1B1C1D1中, (I)试确定m,使得直线AP与平面BD D1B1所成角的正切值为3贬；(n)在线段 A1C1上是否存在一个定点 Q,使得对 任意的m, D1Q在平面APD1上的射影垂直于 AP,并证 明你的结论。【解】本小题主要考查线面关系、直线与平面所 成角的有关知识及空间想像能力和推理运算能力。考查 应用向量知识解决数学问题的能力。解法 1 : (I)连AC,设AC I B

22、D O,P是侧棱CC1上的一点，CP=m,AP与面BDDB1交于点G,连OG.因为 PC/面BDD1B1 ,面BDD1 BI I 面APC OG,1m故 OGPC。所以 OG -PC - o 22又 AO DB,AO BB1,所以 AO 面BDD1 B1 .故 AGO即为AP与面BDDiBi所成的角。二在 RtAOG 中，tanAGO 2 3衣，即 m 1.32故当m 1时，直线AP与平面BDDiBi所成的角的正切值为3J2。(n )依题意，要在 AC 上找一点Q ,使得DiQ AP .可推测AiCi的中点Oi即为所求的Q点。因为 DiOi AiCi. Di Oi AA ,所以 DQ 面ACC

23、1Al.又 AP面ACC1Al.，故 DiOi AP o从而DiOi在平面ADi P上的射影与AP垂直,解法二：(I)建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(i,0,0),B(i,i,0),P(0,i, m), C(0,i,0),D(0Q0),Bi(i,i,i),Di(0Qi).uuruuuu所以 BD ( i, i,0),BBi(0,0,i),uuruuurAP ( i,i,m),AC ( i,i,0).uuur uur uuur uuuu uur又由AC BD 0, AC BBi 腹口 AC为平面BB, Di D的一个法向量设AP与面BDDiBi所成的角为则sincos(一 2uuu uuu

24、r、|AP AC I)-tuir-iuirI AP| | AC |22 .2 m2依题意有：-4 31,解得m 1 .2 .2 m2 J (3 .12)23故当m £时，直线AP与平面BDDM所成的角的正切值为 啦。(n)若在 ACi上存在这样的点 Q ,设此点的横坐标为 x ,uuuu则 Q(x,1 x,1),DQ(x,1 x,0)。依题意，又任意的 m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于 AP。等价于uuuuuuu uuuu1D1Q AP AP D1Q 0 x (1 x) 0 x -即Q为A C1的中点时，满足题设的要求。7.如图，已知正三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱长和底面边长为 1,M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN=2C1N 。(I)求二面角 B1 AM N的平面角的余弦值;(n )求点B1到平面AMN的距离。【解】本小题主要考查线面关系、二面角和点到平面距离的有关知识及空间想象能力和推理运算能力。考查应用向量知识解决数学问题的能力。解法1: (I)因为M是底面BC边上的中点，所以 AM BC,又AM CC1,所以AM 面BCC1B1 ,从而 AM BM , AM NM ,所以B1MN为二面角B1 AM N的