人教版数学八年级上册全册培优辅导资料讲义附期末模拟试卷

1、目录第一讲三角形 2第二讲 全等三角形的性质与判定 7第三讲角平分线的性质与判定 14第四讲 轴对称及轴对称变换 18第五讲等腰三角形 25第六讲 等边三角形 32第八讲 哥的运算 45第九讲整式乘法 50第十讲：整式乘法公式讲义 55第十一讲整式除法讲义 62第十二讲因式分解及其应用 66第十三讲 分式的概念？性质与运算 71第十四讲 分式的化简求值与证明 75第十五讲 分式方程及其应用 81人教版数学八年级上数学期末模拟试卷 2份（含答案） 109第一讲三角形考点,方法,破译1 . 了解与三角形有关的线段 （边、高、中线、角平分线），会画出任意三角形的高、中线、角平分线 .2 .知道三角形

2、两边的和大于第三边，两边之差小于第三边3 . 了解与三角形有关的角（内角、外角）.4 .掌握三角形三内角和等于 180 °,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和5 .会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题6 .会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法经典考题赏析【例1】若的三边分别为4, x, 9,则x的取值范围是 ,周长l的取值范围是 ;当周长为奇数时，x=.【变式题组】1 .若 ABC的三边分别为4, x, 9,且9为最长边，则x的取值范围是 ,周长l的取值范围 是.2 .设 ABC三边为a , b, c的长度均为正整数，且 avbvc, a+b+c= 1

3、3,则以a, b, c为边的三角形，共有 个.3 .用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是（）.A. 1B. 2C. 3D. 4【例2】已知等腰三角形的一边长为18cm,周长为58cm,试求三角形三边的长.【变式题组】1 .已知等腰三角形两边长分别为A. 24cm B. 30cm6cm, 12cm,则这个三角形的周长是 （C. 24cm 或 30cmD. 18cm2.已知三角形的两边长分别是A. 13cmB. 6cm4cm和9cm,则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是C. 5cm D. 4cm12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为3.

4、等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成【例3】如图AD是4ABC的中线，DE是4ADC的中线，EF是 DEC的中线，FG是4EFC的中线，若 Sa gfc2=1cm ,贝U Sa abc=.AG【变式题组】1 .如图，已知点 D、E、F分别是BC、AH BE的中点，Saabc=4,AAADEEFBCFCBB如图AEBDAABEEDDEFCCBCBOCAOBC3.如图，已知四边形 ABCD是矩形（AD>AB）D （第2题图）2.如图C （例4题图）1 .如图DE± AB 于 E, DFXACT F如图，已知/ A= 70°, BO、CO分别平分/ ABC /

5、ACB.腰上的高为 4cm,则DE+DF2 .如图，点D是等腰 ABC底边BC上任意E C（第3题图）F（第3题图）3.如图，贝U/ADB则字EFC=【变式题组】1 .如图，/ A= 70°, /B=40°, Z C= 20 °,则/ BOC=3.如图，/ O=140CP分另1J平分/ ABO、Z ACO,E D（例6题图）【变式题组】）如图，已知/ B=39°, / C= 61 °, BD±AC, AE 平分/ BAC,BFE2.如图，在 ABC中，/ ACB= 40°, AD平分/ BAC, / ACB的外角平分线交 A

6、D的延长线于点 P,点F是BC上一动点（F、D不重合），过点F作EF± BC 交于点E,下列结论：/ P+/DEF为定值，/ P/DEF为定值中，有且只 有一个答案正确，请你作出判断，并说明理由EA （第1题图）BVP（第2题图）B'C'J7 如图，在平面内将 ABC绕点A逆时针旋转至 ABC,使CC7/ AB, BAC= 70°,则旋转角 “=.【变式题组】1 .如图，用等腰直角三角形板画/ AOB= 45。，并将三角板沿 OB方向平移到如图所示的虚线后绕点M逆时针方向旋转22°,则三角板的斜边与射线 OA的直角“=.nMEe角度得到 OAB&#

7、39;,若点A'在AB上时，则旋转角 “=.如图，在平面内将 AOB绕点O顺时针旋转.（/ AOB= 90 °, / B= 30 ）.如图，4ABE和4ACD是4ABC沿着AB边，AC边翻折180形成的，若/ BAC= 130 °,则/ “=演练巩固反馈提高.如图，图中三角形的个数为 （）A. 5个 B. 6个C. 7个 D. 8个.如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定.有4条线段，长度分别是 4cm, 8cm, 10cm, 12cm,选其中三条组成三角形，可以组成三角形的个数是（）A

8、. 1个 B. 2个C. 3个 D. 4个.下列语句中，正确的是 （）A.三角形的一个外角大于任何一个内角B.三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和C.三角形的外角中，至少有两个钝角D.三角形的外角中，至少有一个钝角.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定.若一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定.如果等腰三角形的一边长是5cm,另一边长是9cm,则这个三角形的周长是 .三角形三条边长是三个连续的自然数，且三角形的周长不大于18,则这个三角

9、形的三条边长分别是23123456789.如图，在4ABC中，/A=42°, /B与/C的三等分线，分别交于点 D、E,则/ BDC的度数是B .（第逾图）A（第10题图）n之间来回反射,D（第11题图）已知10 .如图，光线l照射到平面镜上，然后在平面镜11 .如图，点 D、E、F分别是BC AD、BE的中点，12 .如图，已知：/1=/2, /3=/4, /BAC= 63且 S efx 1,则 Sa abc=二贝 U / DAC=113.如图，已知点 D、E是 BC上的点，且 BE= AB, CD= CA, / DAE= / BAC3求/ BAC的度数2.培优升级奥赛检测在 4A

10、BC 中，2/A= 3/B,且 / C30 °= / A+/ B,则ABC是(A.锐角三角形C.有一个角是30 °的直角三角形B.D.钝角三角形等腰直角三角形B.C.已知三角形的三边a、b、c的长都是整数，且ab<,如果b=7,则这样的三角形共有（A. 21 个B. 28 个C. 49 个 D. 54 个3.4.在 4ABC 中，/A=50°,高 BE、CF 交于。点，则 Z BOC=在等腰 ABC中，一腰上的高与另一腰的夹角为26。，则底角的度数为5.如图，BP平分/ABC交CD于点F, DP平分/ ADC交AB于点E,若/A=40°, /C =

11、 38°,则 /P= .口1.,且 AE= AB,点36 .如图，已知OABC是一个长方形，其中顶点A、B的坐标分别为（0,4和（9,打点£在AB上，-1F在OC上,且OF= - OC,点G在OA上，且使 4GEC的面积为16,试求 “的值.3OFC7.如图，已知四边形 ABCD中，/A+/DCB= 180 °,两组对边延长后分别交于P、Q两点，/ P、/ Q的平分线交于M ,求证PMXQM.第二讲全等三角形的性质与判定考点,方法,破译1 .能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；2 .全等三角形性质：全等三角形对应边相等，对应角相等

12、；全等三角形对应高、角平分线、中线 相等；全等三角形对应周长相等，面积相等；3 .全等三角形判定方法有：SASASAAASSSS对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL法；4 .证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法， 确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5.1. 明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需 要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取经典考题赏析【例1】如

13、图，AB/ EF/ DQ /ABC= 90°,AB=CD,那么图中有全等三角形（A. 5对 B. 4对 C. 3对 D. 2对【变式题组】1 .（武汉2011）下列判断中错误的是（）A.有两角和一边对应相等的两个三角形全等B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等C.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.有一边对应相等的两个等边三角形全等2.（黄冈）已知命题：如图，点A、D、判断这个命题是真命题还是假命题, 使它成为真命题，并加以证明.B、E在同一条直线上，且 AD= BE, /A=/FDE,则 AB8 DEE如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件3.

14、（上海）已知线段AC与BD相交于点O,连接AR DC, E为OB的中点，F为OC的中点，连接 EF （如图所示）.添加条件/ A=/D, / OEF= / OFE,求证：AB= DC;分另将“/ A=Z D”记为，"/ OEF= / OFE'记为, 论构成命题1;添加条件、，以为结论构成命题 命题（选择“真”或“假”填入空格）“AB= DC'记为，添加、，以为结2.命题1是.命题，命题2是【例 2 】已知 AB=DC, AE=DF, CF= FB 求证：AF= DE【变式题组】1 .如图，AD、BE是锐角 ABC的高,C. 4相交于点O,D. 5若 B0= AC, B

15、C= 7, CD= 2,贝U AO 的长为（）A. 2B. 32.如图，在 ABC 中，AB=AC, /CE= 2cm,则 BD=BD±AE于 D, DE= 4cm,3.（孝感2013）已知：如图，在 ABC中，/ ACB= 90°, CD，AB于点D,点E在AC上,CE= BC,过点E 作AC的垂线，交 CD的延长线于点 F.求证：AB= FC例3 如图， AB8 DEF将 ABC和4DEF的顶点B和顶点E重合，把 DEF绕点B顺时针方向旋 转，这时AC与DF相交于点O.当 DEF旋转至如图位置，点B （E）、C、D在同一直线上时，/ AFD与/ DCA的数量关系是DEF

16、继续旋转至如图位置时，中的结论成立吗？请说明理由【变式题组】1 .（绍兴2013）如图，D、E分别为 ABC的AC BC边的中点，将此三角形沿 DE折叠，使点C落在AB边 上的点P处.若/CDE= 48°,则/ APD等于（）A. 42°B, 48°C, 52° D, 58°2 .如图，RtA ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到DEF,下列结论中错误的是（）A. ABe DEFB. / DEF= 90°C. AC= DFD. EC= CFC3. 一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，

17、使点B、F、C、D在同一条直线上.求证：AB± ED;若PB= BC,找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明 例4 （第21届江苏竞赛试题）已知，如图，的延长线，BP= AC,点Q在CE上，CQ= AB.BD、CE分另1是4 求证：AP = AQ;ABC的边A C和AB边上的高，点 P在BD APXAQ【变式题组】1 .如图，已知 AB= AE, / B= / E, BA= ED,点F是CD的中点,求证：AFXCD.CF2 .（湖州市竞赛试题） 如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离D IIMA 为 am,此时梯子的倾斜角为 75°,如果梯子

18、底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为bm,梯子倾斜角为45。，这间房子的宽度是（a bB.2NCA第2题图r；B3.如图，已知五边形 ABCDE中，/ ABC= Z AED= 90°, AB= CD= AE= BC+ DE= 2,贝U五边形 ABCDE的面 积为演练巩固反馈提高1 .（海南2011）已知图中的两个三角形全等，则/ a度数是（）2 .如图， ACg&ACB, / BCE/ = 30°,则/ ACA的度数是（）A. 20° B, 30° C. 35°D. 40°3 .尺规作图作/ AOB

19、的平分线方法如下：以。为圆心，任意长为半径画弧交 OA OB于C D,再分别以点C D为圆心，以大于 -CD长为半径画弧，两弧交于点P,作射线 OP,由作法得 OC国ODP的根2据是（）A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS4 .（武汉2012）如图，已知 AB=AD,那么添加下列一个条件后，仍无法判定AB8 ADC的是（）B. / BAC= / DACD./ B=/ D= 90°A. CB= CDBC. / BCA= / DCAD5 .有两块不同大小的等腰直角三角板ABC和 BDE,将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当 A、B、D不在

20、一条直线上时，下面的结论不正确的是（）A. AABE CBDB. / ABE= / CBDC. /ABC= Z EBD= 45°D. AC/ BE6 .如图， ABC 和共顶点 A, AB = AE, /1 = /2, /B=/E. BC 交 AD 于 M, DE 交 AC 于 N,小华说：“一 定有AB8AED” 小明说：“ABM0AEN.” 那么（）A.小华、小明都对B.小华、小明都不对C.小华对、小明不对D.小华不对、小明对7 .如图，已知 AC= EC BC= CD, AB= ED,如果/ BCA= 119° , Z ACD= 98°，那么/ ECA的度数

21、是 8 .如图， AB8 ADE, BC延长线交 DE于 F, / B= 25°，/ACB= 105° , Z DAC= 10° ,则/ DFB 的度数 为.9 .如图，在 RtABC中，/C= 90°, DE±AB于 D, BC= BD. AC=3,那么 AE+ DE=10 .如图，BA± AC, CD/ AB.BC= DE,且BC± DE,若AB= 2,CD= 6,贝UAE=11 .如图，AB= CD, AB/CD. BC= 12cm,同时有P、Q两只蚂蚁从点 C出发，沿CB方向爬行，P的速度是0.1cm/s, Q的速度

22、是0.2cm/s.求爬行时间t为多少时， AP® QDCc"'dCBEADl的垂线，垂足12 .如图，ABC中，/ BCA= 90° , AC= BC, AE是BC边上的中线，过 C作CFL AE,垂足为F,过B作BD，BC交CF的延长线于D.求证：AE= CD;若ac= 12cm,求BD的长.13 .（吉林）如图，AB= AC,AD）± BC于点D,AD等于AE,AB平分/ DAE交DE于点F,请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14 .如图，将等腰直角三角板 ABC的直角顶点C放在直线 分别为D、E.找出图中的全等三角形，并加

23、以证明；若DE= a,求梯形DABE的面积.（温馨提示：补形法）15 .如图，AC± BC, AD± BD, AD= BC, CE!AB, DFXAB,垂足分别是 E、培优升级奥赛检测BF、CE相交于点O,连接AO并1 .如图，在 ABC中，AB= AC, E、F分别是 AB、AC上的点，且 AE= AF,延长交BC于点D,则图中全等三角形有（）A. 4对 B. 5对C. 6对 D. 7对2.如图，在 ABC中,AB=AC, OC= OD,下列结论中：/ A=/BDE= CE,连接 DE,则OE平分/AOB,正确的是（）A. B.C.D,3 .如图，A在DE上,F在AB上，

24、且 AC= CE, / 1 = /2=/3，贝U DE的长等于（）A. DCB. BCC. ABD.AE+ AC4 .下面有四个命题，其中真命题是（）A.两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B.两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C.有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D.两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等5 .在 ABC中，高AD和BE所在直线相交于 H点，且BH=AC,则/ ABC=.6 .如图，EB交AC于点M,交FC于点D, AB交FC于点N, / E= / F= 90°, / B= / C, AE= AF.给出下列结 论：/ 1 = /2;B

25、E= CF;ACN ABM;CD= DB,其中正确的结论有 .（填序号）7 .如图，AD为在4ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F,且有BF= AC, FD= CD.求证：BEX AC;若把条件" BF=AC'和结论" BEX AC'互换，这个命题成立吗？证明你的判定 8 .如图，D为在 ABC的边BC上一点，且 CD= AB, / BDA= /BAD, AE是ABD的中线.求证：AC= 2AE.ED9 .如图，在凸四边形 ABCD 中，E 为 4ACD 内一点，满足 AC= AD, AB = AE, / BAE+ / BCE= 90°,

26、/ BAC= /EAD.求证：/ CED= 90°.10 .如图，AB= AD, AC= AE, / BAD= / CA曰180°. AHAH 于 H, HA 的延长线交 DE于 G.求证：GD= GE第三讲 角平分线的性质与判定1 .角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等2 .角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上3 .有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形经典考题赏析【例1】如图，已知 OD平分/ AOB,在 OA、OB边上截取 OA= OB, PM± BD,PNAD.求证：PM=PN【变式题组】1 .如图，C

27、P、BP分别平分 ABC的外角/ BCM、/ CBN求证：点 P在/ BAC的平分线上.MPCAPBCACADB2PM= PN如图，在 ABC中B NE BABCD 中，AC 平分/ BAD, CEL AB 于点 E1 .如图，在 ABC中，CD平分/ ACB,2.如图，BD平分/ ABC, AB=BC,点P是BD延长线上的一点， PM± AD, PNCD.求证BAC= 90。, AB= AC, BE平分/ ABC, CE! BE 求证：CE= - BD2dn4CAE D三知 AB=a, AD= b.且BC= DC,对角线 AC平分/ BAD,问a与b的大 D= 180°

28、,请画图并证明你的结论 .2.（河北竞赛）在四边形ABCD中 小符合什么条件时，有/ B +AC= 5, BC= 3.求 SACD S CBDD<列2】（天津竞赛题）如图，已知四边形1（AB+AD）,如果/ D= 120 ,求/2CB【变式题组】1 .如图，已知 AC/ BD, EAEB分另I平分/ CAR / DBA, CD过点E,求证：AB= AC+ BD.2 .如图，在 ABC中，/ B = 60° , AD> CE分别是/ BAG / BCA的平分线，AD、CE相交于点F.请你判断FE和FD之间的数量关系，并说明理由;求证：AE+ CD= AC演练巩固反馈提高1

29、.如图，在 RtABC中，Z C= 90° , BD平分/ ABC交 AC于 D,若 CD= n, AB= m，则 ABD的面积是（）A. - mnB. mnC. mnD. 2 mn322 .如图，已知AB= AC, BE= CE,下面四个结论： BP CP;ADBC;AE平分/ BAC;/ PBC= / PCB 其中正确的结论个数有（）个A. 1B. 2C. 3D. 43 .如图，在 ABC中，P、Q分别是 BC AC上的点，作 PR±AB, PS, AC,垂足分别是 R S.若AQ= PQ,4.如图， ABC中,PR= PG 下列结论： AS= AR;PQ/ AR; B

30、R- CSP其中正确的是（）AB= AC, AD平分/ BAC, DE± AB, DF± AC,垂足分别是 E、F,则下列四个结论中：AD上任意一点到 B、C的距离相等；AD上任意一点到 AB AC的距离相等； AD, BC且BD= CD; / BDE= / CDF其中正确的是（）A.B.C.D.5 .如图，在 RtABC中，/ ACB= 90° , / CAB= 30° , / ACB的平分线与/ ABC的外角平分线交于 E点， 则/AEB的度数为（）A. 50°B, 45°C. 40°D, 35°6 .如图，P

31、是 ABC内一点，PD± AB于D, PE±BC于E, PF± AC于F,且PD= PE= PF,给出下列结论： AD= AF;AB+EC= AC+ BE;BC+ CF= AB+ AF;点 P是 ABC三条角平分线的交点.其中正确的 序号是（）A.B.C.D.7 .如图，点P>A ABC两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（）A.点P到 ABC三边的距离相等B.点P在/ABC的平分线上C. /P与/B的关系是：/ P+ - ZB=90° D. Z P与/B的关系是：/ B=- ZP8 .如图，BD平分/ ABC, CD平分/ ACE BD与

32、CD相交于D.给出下列结论： 点D至U AB AC的距离相等;/ BAC= 2/BDC;DA= DC;DB平分/ ADC其中正确的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9 .如图， ABC中，/ C= 90° AD是 ABC的角平分线，DELAB于E,下列结论中： AD平分/ CDE;/BAC= / BDE; DE平分/ ADB;AB= AC+ BE其中正确的个数有（）A. 3个B. 2个C. 1个D. 4个10 .如图，已知 BQ是/ ABC的内角平分线，CQ是/ ACB的外角平分线，由 Q出发，作点 Q至U BG AC和AB的垂线QM、QN和QK,垂足分别为 M、N、

33、K,则QM、QN、QK的关系是11 .如图，AD是/BAC的平分线，DE，AB于E,DF，AC于F,且DB= DC求证：BE=CF12.如图，在 ABC中，AD是/ BAC的平分线,DE± AB 于点 E, DF± AC于点 F.求证：ADXEF.= 4cm, AD= 8cm. DP 的长为 x(cm),那么x的范围是培优升级奥赛检测1 .如图，直线11、12、13表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等, 则可选择的地址有（）A. 一处B.二处C.三处D.四处2 .已知 RtABC中，/ C= 90° , AD平分/ BAC交 B

34、C于 D,若 BC= 32,且 BD: CD= 9:7 ,贝U D到 AB边的 距离为（）A. 18B. 16C. 14D. 123 .如图， ABC中，/ C= 90° , AD是 ABC的平分线，有一个动点 P从A向B运动.已知：DC= 3cm, DB/CD, PE± AB, PF± BD, PGJ± CD,垂足分另5 .如图，已知 AB/ CD,。为/CAR /ACD的平分线的交点， OE，AC,且OE= 2,则两平行线 AB、CD间 的距离等于16 .如图，AD平分/ BAC, EF，AD,垂足为P, EF的延长线于 BC的延长线相交于点 G.求

35、证：/G= (/ACB2-ZB)7 .如图，在4ABC中，AB> AQ AD是/ BAC的平分线，P为AC上任意一点.求证：ABAC> DB-DC8 .如图，在 ABC中，/ BAC= 60° , / ACB= 40° , P、Q分别在 BG AC上，并且 AP、BQ分别为/ BAG /ABC的角平分线上.求证：BQ+ AQ=AB+ BP第四讲轴对称及轴对称变换考点,方法,破译1 .轴对称及其性质把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫对称轴 .轴对称的两个图形有如下性质：关于某直线对称的两个图

36、形是全等形；对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.2 .线段垂直平分线线段垂直平分线也叫线段中垂线，它反映了与线段的两种关系：位置关系一一垂直；数量关系一一 平分.性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上3 .当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高(或垂线)、或求几条折线段的最小值等情况时，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件经典考题赏析【例1】(兰州)如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸

37、片展开后是()OOO OOO OOOOOOO CCCCD【变式题组】1.将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是(2.(荆州)如图，将矩形纸片 ABCD沿虚线EF折叠，使点A落在点G上，点D落在点H上；然后再沿虚线GH折叠，使B落在点E上，点C落在点F上，叠完后，剪一个直径在 BC上的半圆，再展开，则展开 后的图形为()【例2】(襄樊)如图，在边长为 1的正方形网格中，将 ABC向右平移两个单位长度得到 A' B' C',则 与点B'关于x轴对称的点的坐标是()A. (0, 1)B. (1, 1)C. (2, 1) D, (1, 1)【变式题

38、组】1 .若点P (2, 3)与点Q (a, b)关于x轴对称，则a、b的值分别是()A. - 2, 3 B. 2, 3C. -2,-3 D. 2,-32 .在直角坐标系中，已知点 P ( 3, 2),点Q是点P关于x轴的对称点，将点Q向右平移4个单位得到点 R,则点R的坐标是 .3 .(荆州)已知点 P (a+1, 2a1)关于x轴的对称点在第一象限，则 a的取值范 围为.【例3】如图，将一个直角三角形纸片ABC (Z ACB= 90° ),沿线段CD折叠，使点B 落在 B1 处，若/ ACB = 70° ,则/ ACD=()A. 30°B. 20°C

39、. 15° D. 10°【变式题组】1 .（孝感）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D'、C'的位置.若/EFB= 65。，则/ AED'等于（）A. 70°B. 65°C. 50° D, 25°2 .如图， ABC中，/A=30° ,以BE为边，将此三角形对折，其次，又以 BA为边，再一次对折，C点落 在BE上，此时/ CDB= 82° ,则原三角形中/ B=.【例4】如图，在 ABC中，AD为/ BAC的平分线, 于点F,求证：/ B=/ CAF.EF是AD的垂直平分

40、线,E为垂足，EF交BC的延长线【变式题组】1 .如图，点 D在4ABC的BC边上，且 BC= BD+ AD,则点D在 的垂直平分线上.,DE± AC 于 E,且 AE= EC,若 AB = 3cm,贝U DC=2 .如图，4ABC中，/ABC= 90° , / C= 15cm.3 .如图， ABC中，/ BAC= 126,DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则/EAG=4 . ABC中，AB= AC, AB边的垂直平分线交 AC于F,若AB=12cm, BCF的周长为20cm,则 ABC的周 长是 cm .【例5】（荆州）如图，在 3X3的正方形格点图中，有格点 AB

41、CA DEF,且 ABjL DEF关于某直线成 轴对称，请在下面的备用图中画出所有这样的DEF.【变式题组】1.如图，在2X2的正方形格点图中，有一个以格点为顶点的4 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 ABC,请你找出格点图中所有与 ABC 个.2.如图甲，正方形被划分成 16个 全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件: 涂黑部分的面积是原正方形面积的一半； 涂黑部分成轴对称图形。如图乙是一种涂法，请在图13中分别设计另外三种涂法.（在所设计的图案中，若牧童从A处出发牵牛到河岸牧童在A处放牛，其家在B处,CD处饮【例6】如图,水后回家，试问在何处饮水，所求路程最

42、短?【变式题组】1.（山西）设直线l是一条河，P、Q两地相距8千米，P、Q两地到l地距离分别为2千米、5千米，欲在l 上的某点M处修建一个水泵站向 P、Q两地供水.现在如下四种铺设管道方案，图中的实线表示辅设的 管道，则铺设的管道最短的是（）2.若点A、B是锐角/ MON内两点，请在 OM、ON上确定点 C点D,使四边形 ABCD周长最小，写出你 作图的主要步骤并标明你确定的点.演练巩固反馈提高1.(黄冈)如图，4ABC与AA' B' C'关于直线l对称，且/A = 78° , /C' =48 ；则/B的度数是().A. 48° B, 54&

43、#176;C. 74° D, 78°第1逑图第工卷图2.(泰州)如图，把一张长方形纸片对折，折痕为 AB,再以AB的中点。为顶点把平角/ AOB三等分，沿 平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是()A,正三角形 B.正方形 C.正五边形D,正六边形3.图1是四边形纸片 ABCD,其中/ B= 120° , / D=50° ,若将其右下角向内折出PCR恰使CP/ AB,RC/ AD,如图2所示，则/ C=()A. 80°B, 85°C. 95°

44、D, 110°4 .如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于y轴成轴对称的图形，若点 A的坐标是(1, 3),则点M和点N的坐标分别是()A. M (1, 3) , N ( 1, 3)B. M ( 1, 3) , N ( 1 , 3)C. M ( 1, 3) , N (1, 3)D, M (-1, 3) , N (1, - 3)5 .点P关于x轴对称的对称点 P'的坐标是(一3, 5),则点P关于y轴对称的对称点的坐标是()A. (3, 5) B. (5, 3)C. (3, 5)D, (5, 3)06.已知M (1a, 2a+2)关于y轴对称的点在第二象限，

45、则 a的取值范围是()A. - 1<a< 1B, - 1<a< 1C. a>1D. a>- 17 .如图，镜子中号码的实际号码是 .8 .如图，正方形 ABCD的边长为4cm,则图中阴影部分的面积为 cm2.9 .已知点 A (2a+3b, 2)和 B (8, 3a+2b)关于 x轴对称，则 a+b=.10 .如图，在 ABC中，OE、OF分别是 AB、AC中垂线，且/ ABO= 20° , / ABC= 45° ,求/ BAC和/ACB 的度数.11 .如图，C、D、E、F是一个长方形台球桌的4个顶点，A、B是桌面上的两个球，怎样击打A

46、球，才能使A球撞击桌面边缘 CF后反弹能够撞击 B球？请画出A球经过的路线，并写出作法.12 .如图，P为/ABC的平分线与 AC的垂直平分线的交点，PMLBC于M, PNLBA的延长线于 N.求证:AN= MC.13.（荆州）有如图“! 的8张纸条，用每4张拼成一个正方形图案，拼成的正方形的每一行和每列中，同色的小正方形仅为 出的两个图案不能全等）2个，且使每个正方形图案都是轴对称图形，在网格中画出你拼成的图.（画培优升级奥赛检测1 .（浙江竞赛试题）如图，直线11与直线12相交，/ "=60° ,点P在/ a内（不在1112上）.小明用下面的方法作 P的对称点：先以11

47、为对称轴作点P关于11的对 称点P1,再以12为对称轴作P1关于12的对称点P2,然后再以11为对称轴作P2关于 11的对称点P3,以12为对称轴作P3关于12的对称点P4,如此继续，得到一系 列R、P2、P3Pn与P重合，则n的最小值是（）A. 5 B. 6 C. 7 D. 82 .（宜昌）已知：如图， AF平分/ BAC BC± AF,垂足为E,点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF、AF相交于P、M.求证：AB= CD;若/ BAC= 2/MPC,请你判断/ F与/ MCD的数量关系，并说明理由.3 .在 ABC中，/ BAC= 90° ,点A关于BC边的对称点为

48、 A',点B关于AC边的对称点为 B',点C关于 AB边的对称点为 C',若空abc= 1 ,求生a，b，c .c*4 .小王同学在小组数学活动中，给本小组出了这样一道“对称跳棋”题：如图，在作业本上画一条直线1,在直线1两边各放一粒围棋子 A、B,使线段AB长a厘米，并关于直线1对称，在图中Pi处有一粒跳棋 子，Pi距A点b厘米、与直线l的距离C厘米，按以下程序起跳：第 1次，从Pi点以A为对称中心跳至 B点；第2次，从P2点以l为对称轴跳至P3点；第3次，从R点以B为对称中心跳至 P4点；第4次， 从P4以l为对称轴跳至Pi点；画出跳棋子这 4次跳过的路径并标注出各

49、点字母；(画图工具不限)棋子按上述程序跳跃 2011次后停下，假设 a=8, b=6, c= 3,计算这时它与 A的距离是多少？5 .(孝感)如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为 A (2, 3), B (4, 1).若P (p, 0)是x轴上的一个动点，则当 p =时， PAB的周长最短；若C (a, 0), D (a+3, 0)是x轴上的两个动点，则当 a=时，四边形ABCD的周长最 短；设M、N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M (m, 0)、N (0, n),使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出 m =, n = (不必写解答过程)；若不 存在，请说明

50、理由.第五讲等腰三角形1 .等腰三角形及其性质有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，因此它的性质有：等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即等 腰三角形三线合一）2 .等腰三角形的判定证明一个三角形是等腰三角形的基本方法是：从定义入手，证明一个三角形有两条边相等；从角入 手，证明一个三角形有两个角相等，依据是等腰三角形判定定理；等角对等边.角平分线+垂线（或高）=等腰三角形3 .构造等腰三角形的常用方法 角平分线+平行线=等腰三角形线段中垂线构造等腰三角形将2倍角转化为相等角构造等腰三角形经典考题赏析【例1】

51、等腰三角 形一腰上的高 与另一腰 所成的 夹角为 400,则 这个等腰 三角形的 底角为【变式题组】1 .（黄冈）在等腰ABC中，AB= AC, 一边上的中线 BD将这个三角形的周长分为 15和12两个部分，则这 个等腰三角形的底边长为（）A.7B.11C7 或 11D. 7 或 102 .（黄冈）在/ABC中，AB= AC,AB的垂直平分线与 AC所在的直线相交所得到锐角为 50°,则/ B= 度.3 .（襄樊）在ABC中，AB=AC= 12cm, BC= 6cm,D为BC的中点，动点 P从B点出发，以每秒 1cm的速度 沿B-A-C的方向运动.设运动时间为 t,那么当t =秒时，

52、过D、P两点的直线将ABC的 周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍.A【例2】 如图，在ABC中，AB=AC,点D在AC上，AD= BD= BC,求/ A的度数.【变式题组】1 .如图，在ABC中，AB=AC, BD= BCAD= DE= EB,求/ A的度数.2 .如图，在ABC中，AB=AC, BC= BD= ED= EA 求/A的大小.例3 已知坐标原点 。和点A （2, 2）, B是坐标轴上的一点.若 AOB是等腰三角形，则这样的点 B一共有（）个A. 4B. 5C. 6D. 8【变式题组】1 .（海南竞赛试题）在平面直角坐标系 xOy内，已知A （3, 3）,点P是y轴上一

53、点，则使AOP为等腰三 角形的点P共有（）A. 2个B. 3个C. 4个 D. 5个2 .如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1, 0）,点B的坐标是（0,错误！未找到引用源。），点C在坐第2题图标平面内.若以 A、B、C为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30度，则满足条件的点 C有（例4题图）3.（南昌）如图，已知长方形纸片ABCD,点E是AB的中点，点 G是BC上一点，/ BEG> 60°,现沿直线 EG将纸片折叠，使点 B落在纸片中的点 H处，连接AH,则与/ BEG相等的角的个数为（）A. 4B. 3C. 2D. 14.如图所示，矩形 ABCD中，AB= 4, BC=错误！未找到引用源。，点E是折线段 A DC上的一个动点（点 E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称 点.在点E运动的过