4月大数据精选模拟卷03(理科数学)(新课标Ⅰ卷)(解析版)

1、2020年4月高考数学大数据精选模拟卷03、选择题（本大题共12小题，每小题合题目要求的）设集合A （x,y）3.A. 4B.【解析】 A画出图形如下图,已知复数zA.2,2已知一2A. 13(x,y) x2由图可知,理科数学5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符(x,y) yC. 2AI B的子集的个数是D. 12y4，b (x,y) AAB= (x, y)APB的元素有2个，则APB的子集有22=4个.1 （i为虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数 iB.1,22C.2匕14x14a的取值范围是，实数(a i)(2i)(2 i)(2 i)a的取值范围是，若 C

2、OS ( a新2a 151213a 2.i ,在复平面内对应的点在第二象限,5.故选：C.sin ( a +03 r一，则5sin2 #2a5665166511一,所以02 3 ,3【解析】因为< 次二，所以 244又因为cos ( a-新54,cos-13512,sin ( a133 .一,所以sin5贝U sin2 3 sinsin coscos sin.故选：D. 654.为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站从中国5个传统节日(春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节)中随机选取3个节日来讲解其文化内涵，那么春节和中秋节都被选中的概率是A.3103 C.5D.710【解析】首先编号：

3、春节为1,中秋节为2,元宵节为3,清明节为4,端午节为5.从中任选 3个节目的选法有：1,2,3 , 1,2,4 , 1,2,5 , 1,3,4 , 1,3,5 , 1,4,52,3,4 , 2,3,5 , 2,4,5 , 3,4,5 共 10种选法.其中春节和中秋节都被选中的选法有1,2,3 , 1,2,4 , 1,2,5共3种选法，3 根据古典概型概率计算公式可知，春节和中秋节都被选中的概率是a.故选：a.105.等差数列an中，a12016,前n项和为& ,若1 风 2 ,则S2016A. 2014B. 2015C. 2016【答案】Cn(n 1)d【解析】设公差为d , Snn

4、引2 dann1210D.2017(nSSddq 上_102,2016 (12 1)-2016 (10 1)-2,解得 d 2,121022则 S2016 20162 2016 (2016 1)( 2) 2016,故选：C. 26,设函数f(x)在R上可导，其导函数为f (x),且函数f(x)在x2处取得极大值，则函数y xf (x)的【答案】D【解析】因为-2为极值点且为极大值点，故在 -2的左侧附近f x >0, -2的右侧f x <0,所以当x>-2且在-2的右侧附近时，xf' X 0排除BC,当x<-2且在-2的左侧附近时，xf' X 0, 排除

5、AC ,故选D.17 .设 524，b log1，C log3 3而 ,贝U3 10A. acb B. abcC. b a cD. b c a【答案】A【解析】因为5a 24 25 52 ,故a 2.又 c log 3 371T 1 log 3 布 1 log3 囱 1 1 2,故 c 2.又 b log1 log 3 110 1 log3 10 log3 3屈.故 a c b.故选：A31038 .某程序的框图如图所示，若执行该程序，输出的S值为CJS=QS + *给柬）k=k+2A. 45B. 36C. 25D. 16【答案】D【解析】初始值：k= 1,S = 0 ,1.8判断为1; k1

6、 2 3；2.8判断为3 2 5；3.8判断为9;5 2 7；4.8判断为16 ；7 2 9；5.8判断为否”;输出16.故选:D.9.已知函数f (x)2一,x 2 x(x 1)3,x若关于X的方程f(x)k有两个不同的实根， 则实数k的取值范围是A. 0 k 1B. 0 kC. 0D. k 0【解析】当x2时，函数f (x)2 ，一单调递减，且 xf(x)0,1 ，当x 2时,_3f (x) (x 1)单调递增，且f (x),1,作出函数f(x)图象的草图，如图,0 k 1.若要使方程f (x) k有两个不同的实根，则函数 y k与f (x)的图象应有两个交点,故选C.10.已知直三棱柱

7、ABC ABQi的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和2J3,此三棱柱的高为 J3,则该三棱柱的外接球的表面积为A. 16B. 2432C.364D.3【解析】由题意，将直三棱柱 ABC ABCi补成长方体，如图所示,则该长方体的体对角线为 J 2 J3 2 J3 2 12 4，设长方体的外接球的半径为R ,则2R 4,R 2,所以该长方体的外接球的表面积S 4 R2 16 ，故选：A.n Iv w -H-wr-m2 x11.已知双曲线C : -2 a2 y_ b21 a 0,b 0的左焦点为F ,过点F作圆O： x-b2的切线，切4点为M,且交双曲线C右支于点uuiruuuuN .右 F

8、N 2FM,则双曲线C的渐近线方程为y 0 b.x 3y 0C. 2x yD. x 2y 0【解析】设双曲线的右焦点为uuLrF1,FNuuuu2FM ，M为FN的中点,又。为FFi中点,OM/FiN , 2OM =FiN ,FNFi 90 ,NFib,由双曲线的定义可知,FN 2a b ,22a bb22c2a b 2 b2 4 a22则双曲线与2 a2 y b20,b0的渐近线方程为y 2x .故选：C.12 .已知f'(x)是定义域为R的函数f(x)的导函数，若对任意实数x都有f'(x) f(x) 1,且有 f(1) 1,则不等式f (x) 1 2ex1的解集为A.,1B

9、. 1,C. 1,eD.1 ,1 e【解析】不等式f x 1 2ex1可化为：f xx 1 2 0,e eg' xf' x exf x 1 exxe1,g0恒成立，故2-在R上单调递增。e0,0等价于2 r在R上单调递增可得:e所以不等式2ex 1的解集为:,1 .故选：A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）准备同时乘缆车观光，现有三辆不13 .今有6个人组成的旅游团，包括 4个大人，2个小孩，去庐山旅游,同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有 种（用数字作答）【答案】348【解析】根据题意，分 2种情

10、况讨论：13若6人乘坐2辆缆车，需要将6人分成2组，有一C3 10种分组方法，在三辆不同的缆车中任选22辆，安排2个组，有A； 6种情况，则此时有10 6 60种乘车方式；若6人乘坐2辆缆车，需要先将 4名大人分为2、1、1的三组，有C2 6种分组方法，将分好的三组对应三辆缆车，有 A 6种情况,若2名小孩作两辆缆车，需要在三辆不同的缆车中任选 2辆，安排2名小孩，有A； 6种情况,若2名小孩作一辆缆车，有 2种情况,则此时有6 6 6 2288种情况,则一共有60 288 348种不同的安排方法;故答案为：348.uuuuuuuuur14.设OA (1, 2), OB (a, 1), OC(

11、b,0) ， a0,b 0,0为坐标原点，若A、B、C三点共线,12 .一一贝U 的取小值是.a b【答案】8uuruuuuuruuuruuuruuur【解析】ABOBOA(a 1,1), ACOCOA( b 1,2),因为A、B、C三点共线，所以uur unrAB/AC12(a b)(2a b) 4,所以2（a1)b 2a2a豆8,11.12.当且仅当a = ,b = 一时等号成立，所以一一的取小值为8.42a b15.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是【解析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，如图所示长方体对角线长为，22一76,所以三棱锥外接球半径r为”2故所求外接球

12、的表面积S 4 r2 6故答案为：6 .16.已知直线y b分别与直线y x 2、曲线y 2e ex交于点A、B ,则线段AB长度的最小值为.（其中常数e2.71828,是自然对数的底数）【答案】4 1n 2【解析】由直线y b分别与直线y x 2、曲线y 2e ex交于点a、b,得b 0 ,由ex x ,易得2e ex x 2恒成立，即曲线y 2e ex在直线y x 2的上方，b设 2e ex1b,贝U X In 一，设 x2 2 b ,则 X2 b 2 ,2e一- b-1 b 1. 八则 AB h(b) x2 x1 b 2 Inb In b 3 1n 2, h(b) 1 - , b 0 ,

13、2eb b当 0 b 1 时，h (b) 0,当 b 1 时，h (b) 0 ,故函数y h(b)在(0,1)为减函数，在(1,)为增函数，即h(b)min h(1) 4 1n 2 .故答案为：4 1n2.三、解答题(本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)ur已知 ABC的内角A, B,C的对边分别为 a, b,c ,若向量 m (b 2c,cos B) , n ( a,cos A),且ir rm/n .(1)求角A的值;(2)已知 ABC的外接圆半径为 她，求3ABC周长的取值范围.【答案】(1)(2) (4,6. ir r【解析】(1

14、)由 m/n,得(b 2c)cos A acosB 0.由正弦定理，得 sin BcosA 2sin CcosA sin AcosB 0 ,即 2sinCcosA sin( A B) sin C .1在 VABC 中，由 sinC 0,得 cos A -. 2又A (0,),所以A -. 3(2)由题意得，得 a 2Rsin A - 2,32由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccosA (b c)2 3bc,2即 3bc (b c)2 4, 3 bc ，2整理得（b c）2, 16,当且仅当b c 2时，取等号，所以b c的最大值为4,又 b c a 2,所以 2 b c, 4,所以 4 a

15、 b g6,所以VABC的周长的取值范围为（4,6.18.（本小题满分12分）高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展.据统计，在2018年这一年内从 A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次.为了 解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本，得到下表（单位:人次）：满意度老年人中年人青年人乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机10分（满意）1212022015 分(f)2362490分（不满意）106344（1）在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；（2）在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取 2人次，

16、记其中老年人出行的人次为X .以频率作为概率，求 X的分布列和数学期望（3）如果甲将要从 A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机？并说明理由.【答案】（1） 29; （2）分布列见解析，数学期望 2; （3）建议甲乘坐高铁从 A市到B市，见解析. 505【解析】（1）设事件： 荏样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M ,由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19, 39, 42,所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率（2）由题意，X的所有可能取值为：0,1,2.P(M )19 39100295022因为在2018年从A市到B市乘坐

17、高铁的所有成年人中，随机选取1人次,，一15 1此人为老年人概率是 15 1 ,2) c2。275 5所以 P(X 0) C0(1 1)2,P(X 1) C21(1 1) ,P(X5255525所以随机变量X的分布列为:X012P1625825125故E（X） 0 15 1 252 :（3）答案不唯一，言之有理即可.如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下:由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为:52 10 12 5 11 011652 12 1115乘坐飞机的人满意度均值为:4 10 14 5 7 0 224 14 7511622因为 ，所以建议甲乘坐高铁从 A市到B市.15519.（本小题

18、满分12分）如图，在梯形 ABCD中，AB/ CD, ADDC BC 1 ,ABC 60 ,四边形ACFE为矩形,平面 ACFE 平面 ABCD, CF 1.证明：BCL平面ACFE;（2）设点M在线段EF上运动，平面 MAB与平面FCB所成锐二面角为，求cos的取值范围【答案】（1）证明见解析；（2） cos【解析】（1）证明：在梯形ABCD 中，因为 AB/CD , AD DC CB 1 ,ABC 60所以AB 2,所以AC222AB BC 2ABgBCgcos60 3 ,所以 AB2 AC2 BC2 ，所以 BC AC.因为平面ACFE 平面ABCD,平面ACFE 平面ABCD AC ,

19、因为BC 平面ABCD ,所以BC，平面ACFE.（2）由（1）可建立分别以直线 CA, CB, CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系,令 FM 073 ,则 C 0,0,0 , A 73,0,0 , B 0,1,0 , M ,0,1uuvABUULUI火,1,0 , BMuv1,1 .设nix, y,z为平面MAB的一个法向量,LV UUv由 Lv UUBv 0 得 3x y 0 ,取 x 1 ,则 n1,73,73ni BM 0 x y z 0UV1 n21,0,0是平面FCB的一个法向量,Uv Uvcosn1UV n1-uv732 1_ .1J3,，当 0时,cos有最小值7

20、3时，cos有取大值一.27 17 ,2 .20.(本小题满分12分)22已知椭圆与 4 1（a ba2b21-0)的离心率为一，点21,2在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆的右焦点 F作互相垂直的两条直线11、12,其中直线11交椭圆于P,Q两点，直线12交直线x 4于M点，求证：直线 OM平分线段PQ.22【答案】人 上 1 (2)见证明.433c2,c 1C【斛析】（1）由e 得a = 2c,所以b2 a 2由点以在椭圆上得1 j_解得a342 125b. a2c24c222所求椭圆方程为1.43(2)解法1：当直线5 f(x) 2 5的斜率不存在时，直线 OM平分线段PQ成立当

21、直线 5 f(x) 2 5的斜率存在时，设直线5 f (x) 2 5 方程为 y k x 1 ,y k x 1联立方程得 x2 v2，消去y得4k2 3 x2 8k2x 4k2 12 0一 y- 143因为5 f (x) 2 5过焦点，所以恒成立，设P K,y1 , Q x2, y2 ,则 x1x24, x1x24k2 324k2 124k2 3yy2k X 1k x2 1 k x1x2 26k2,4k 3所以PQ的中点坐标为24k2 3k4k2 3, 4k2 3 1直线l2方程为y k所以直线OM方程为y3一x , 4k4k23k2,24k2 3 4k2 3满足直线OM方程，即OM平分线段P

22、Q ,综上所述，直线 OM平分线段PQ.(2)解法2：因为直线h与x 4有交点，所以直线5 f(x) 2 5的斜率不能为0,可设直线 5 f(x) 2 5方程为x my 1,x my 1226my 9 0,联立方程得 x2 y2,消去x得3m 4 y143因为5 f(x) 2 5过焦点，所以恒成立,设 P X,y1 , Q &, y2 , y y6m2,3m 4YiY293m2 4xiX2m yiy23m3m2 4842 一28一，所以PQ的中点坐标为 一4一3m 43m 4直线12方程为ym x 1 , M 4,yM,由题可得M 4, 3m,所以直线OM方程为y3mx443m2 42

23、1.3m 满足直线OM方程，即OM平分线段PQ,3m 4综上所述，直线 OM平分线段PQ.(本小题满分12分)1已知函数f x e x ax b( e为自然对数的底数) 2(1)若a 1,判断f x极值点个数；若fx f x在x 1,1上恒成立，求a b的取值范围.1【答案】(1)当a 1时，f x有2个极值点；当a 1时，f x没有极值点；(2) a b-.2X 12【解析】(1)Qfx e -x ax b , 2_x_xf (x) e x a , x R , f (x) e 1 ,令 f (x) ex 1 0,解得 x (0,)；令 f (x) ex 1 0,解得 x (,0);可得函数f

24、 (x)在(，0)上单调递减，在(0,)单调递增，f (x)min f (0) 1 a,当 a 1 时，1 a 0,且 f(a) ea 0,取 b 0 ,使得 b ln(b a),f beb (b a) b a (b a) 0 ,即f (x)的图象与x轴有两个交点，此时f(x)极值点个数为2；当a 1时，f (x)-0,此时f(x)极值点个数为0;(2 ) f(x) - f (x)在 x 1 , 1上恒成立 ex 2 x2 ax b- ex x a 在 x 1 , 1上恒成立1 21 2a b 一 x ax x 在 x 1, 1上恒成乂.令 h(x) x ax x, x 1,1 22311当 1 a 0 时，h(x)max h( 1) - a-, a b , 22211当 1 a 0 时，h x max h 1 a 一 一， max22 *，、一1综上倚，a b .2请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系